WikiDer > Теорема о сфере

В Риманова геометрия, то теорема о сфере, также известный как теорема о четверть сжатой сфере, сильно ограничивает топологию многообразий, допускающих метрики с определенной границей кривизны. Точная формулировка теоремы заключается в следующем. Если M это полный, односвязный, п-размерный Риманово многообразие с секционная кривизна принимая значения в интервале ${displaystyle (1,4]}$ тогда M является гомеоморфный к п-сфера. (Чтобы быть точным, мы имеем в виду, что кривизна сечения каждой касательной 2-плоскости в каждой точке должна лежать в ${displaystyle (1,4]}$.) Другой способ сформулировать результат: если M не гомеоморфен сфере, то метрику на M с кривизной вчетвертью.

Обратите внимание, что вывод неверен, если изгибы секций могут принимать значения в закрыто интервал ${displaystyle [1,4]}$. Стандартный контрпример: сложное проективное пространство с Метрика Фубини – Этюд; секционная кривизна этой метрики принимает значения от 1 до 4, включая конечные точки. Другие контрпримеры можно найти среди первых симметричные пространства.

Теорема о дифференцируемой сфере

Первоначальное доказательство теоремы о сфере не заключало, что M был обязательно диффеоморфный к п-сфера. Это осложнение связано с тем, что сферы в более высоких измерениях допускают гладкие конструкции которые не диффеоморфны. (Подробнее см. Статью о экзотические сферы.) Однако в 2007 г. Саймон Брендл и Ричард Шон использованный Риччи поток чтобы доказать, что с приведенными выше гипотезами, M обязательно диффеоморфно п-сфера со стандартной гладкой структурой. Более того, в доказательстве Брендла и Шона используется только более слабое предположение о поточечном, а не глобальном сжатии. Этот результат известен как теорема о дифференцируемой сфере.

История теоремы о сфере

Хайнц Хопф предположил, что односвязное многообразие с защемленной секционной кривизной является сферой.^{[нужна цитата]} В 1951 г. Гарри Раух показал, что односвязное многообразие кривизны в [3 / 4,1] гомеоморфно сфере.^{[нужна цитата]} В 1960 г. Марсель Бергер и Вильгельм Клингенберг доказал топологический вариант теоремы о сфере с оптимальной константой защемления.^{[нужна цитата]}

Рекомендации

• Брендл, Саймон (2010). Поток Риччи и теорема о сфере. Аспирантура по математике. 111. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. Дои:10,1090 / г / м2 / 111. ISBN 0-8218-4938-7. МИСТЕР 2583938.
• Брендл, Саймон; Шен, Ричард (2009). «Коллекторы с кривизной на 1/4 ножки представляют собой пространственные формы». Журнал Американского математического общества. 22 (1): 287–307. arXiv:0705.0766. Bibcode:2009JAMS ... 22..287B. Дои:10.1090 / s0894-0347-08-00613-9. МИСТЕР 2449060.
• Брендл, Саймон; Шен, Ричард (2011). «Кривизна, теоремы о сфере и поток Риччи». Бюллетень Американского математического общества. 48 (1): 1–32. arXiv:1001.2278. Дои:10.1090 / s0273-0979-2010-01312-4. МИСТЕР 2738904.