WikiDer > Сферическое среднее - Википедия

Spherical mean - Wikipedia

Сферическое среднее функции

{ displaystyle u}

(показан красным) - среднее значение

{ Displaystyle и (у)}

(вверху синим) с

{ displaystyle y}

на «сфере» заданного радиуса вокруг заданной точки (внизу, синим цветом).

В математика, то сферическое среднее из функция вокруг точки - это среднее значение всех значений этой функции на сфере заданного радиуса с центром в этой точке.

Определение

Рассмотрим открытый набор U в Евклидово пространство р^п и непрерывная функция ты определено на U с настоящий или же сложный значения. Позволять Икс быть точкой в U и р > 0 так, чтобы закрыто мяч B(Икс, р) центра Икс и радиус р содержится в U. В сферическое среднее по сфере радиуса р сосредоточен на Икс определяется как

{ displaystyle { frac {1} { omega _ {n-1} (r)}} int limits _ { partial B (x, r)} ! u (y) , mathrm {d } S (y)}

где ∂B(Икс, р) это (п−1) -сфера формирование граница из B(Икс, р), dS обозначает интегрирование по сферическая мера и ω_п−1(р) - это "площадь поверхности" этого (п−1) -сфера.

Эквивалентно, сферическое среднее определяется как

{ displaystyle { frac {1} { omega _ {n-1}}} int limits _ { | y | = 1} ! u (x + ry) , mathrm {d} S (y)}

куда ω_п−1 это площадь (п−1) -сфера радиуса 1.

Среднее сферическое значение часто обозначают как

{ Displaystyle int limits _ { partial B (x, r)} ! ! ! ! ! ! ! ! ! - , u (y) , mathrm {d} S (y).}

Сферическое среднее также естественным образом определяется для римановых многообразий.

Свойства и использование

Из непрерывности ${ displaystyle u}$ следует, что функция

{ displaystyle r to int limits _ { partial B (x, r)} ! ! ! ! ! ! ! ! ! - , u (y) , mathrm {d} S (y)}

непрерывно, и что его предел в качестве

{ displaystyle r to 0}

является

{ Displaystyle и (х).}

Сферические средние могут использоваться для решения задачи Коши для волновое уравнение ${ displaystyle partial _ {t} ^ {2} u = c ^ {2} Delta u}$ в нечетном пространственном измерении. Результат, известный как формула Кирхгофа, получается с помощью сферических средств для сокращения волнового уравнения в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ (для нечетных ${ displaystyle n}$ ) к волновому уравнению в ${ Displaystyle mathbb {R}}$ , а затем используя формула даламбера. Само выражение представлено в статья о волновом уравнении.

Если ${ displaystyle U}$ это открытый набор в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ и ${ displaystyle u}$ это C² функция, определенная на ${ displaystyle U}$ , тогда ${ displaystyle u}$ является гармонический если и только если для всех ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle U}$ и все ${ displaystyle r> 0}$ такой, что закрытый шар ${ Displaystyle В (х, г)}$ содержится в ${ displaystyle U}$ надо