В квантовая физика , то оператор сжатия для одиночной моды электромагнитного поля[1]
S ^ ( z ) = exp ( 1 2 ( z ∗ а ^ 2 − z а ^ † 2 ) ) , z = р е я θ {displaystyle {hat {S}} (z) = exp left ({1 over 2} (z ^ {*} {hat {a}} ^ {2} -z {hat {a}} ^ {кинжал 2}) ight), qquad z = r, e ^ {i heta}} где операторы внутри экспоненциальный являются лестничные операторы . Это унитарный оператор и поэтому подчиняется S ( ζ ) S † ( ζ ) = S † ( ζ ) S ( ζ ) = 1 ^ {displaystyle S (дзета) S ^ {кинжал} (дзета) = S ^ {кинжал} (дзета) S (дзета) = {шляпа {1}}} 1 ^ {displaystyle {hat {1}}}
Его действие на операторы аннигиляции и созидания производит
S ^ † ( z ) а ^ S ^ ( z ) = а ^ шиш р − е я θ а ^ † грех р и S ^ † ( z ) а ^ † S ^ ( z ) = а ^ † шиш р − е − я θ а ^ грех р {displaystyle {hat {S}} ^ {dagger} (z) {hat {a}} {hat {S}} (z) = {hat {a}} cosh re ^ {i heta} {hat {a}} ^ {dagger} sinh rqquad {ext {и}} qquad {hat {S}} ^ {dagger} (z) {hat {a}} ^ {dagger} {hat {S}} (z) = {hat {a }} ^ {dagger} cosh re ^ {- i heta} {hat {a}} sinh r} Оператор сжатия присутствует повсеместно в квантовая оптика и может работать в любом состоянии. Например, воздействуя на вакуум, оператор сжатия создает состояние сжатого вакуума.
Оператор отжима также может воздействовать на когерентные состояния и производить сжатые когерентные состояния . Оператор сжатия не коммутирует с оператор смещения :
S ^ ( z ) D ^ ( α ) ≠ D ^ ( α ) S ^ ( z ) , {displaystyle {hat {S}} (z) {hat {D}} (alpha) eq {hat {D}} (alpha) {hat {S}} (z),} при этом он не коммутируется с операторами лестничной диаграммы, поэтому нужно внимательно следить за тем, как используются операторы. Однако существует простое соотношение плетения: D ^ ( α ) S ^ ( z ) = S ^ ( z ) S ^ † ( z ) D ^ ( α ) S ^ ( z ) = S ^ ( z ) D ^ ( γ ) , куда γ = α шиш р + α ∗ е я θ грех р {displaystyle {hat {D}} (alpha) {hat {S}} (z) = {hat {S}} (z) {hat {S}} ^ {dagger} (z) {hat {D}} ( alpha) {hat {S}} (z) = {hat {S}} (z) {hat {D}} (гамма), qquad {ext {where}} qquad gamma = alpha cosh r + alpha ^ {*} e ^ {i heta} sinh r} [2]
Применение обоих вышеуказанных операторов к вакууму дает сжатые когерентные состояния :
D ^ ( α ) S ^ ( р ) | 0 ⟩ = | α , р ⟩ {displaystyle {hat {D}} (alpha) {hat {S}} (r) | 0angle = | alpha, rangle} Вывод действия на операторы уничтожения и созидания
Как упоминалось выше, действие оператора сжатия S ( z ) {displaystyle S (z)} а {displaystyle a}
S † ( z ) а S ( z ) = шиш ( | z | ) а − z | z | грех ( | z | ) а † . {displaystyle S ^ {dagger} (z) aS (z) = cosh (| z |) a- {frac {z} {| z |}} sinh (| z |) a ^ {dagger}.} Чтобы вывести это равенство, определим (косоэрмитов) оператор
А ≡ ( z а † 2 − z ∗ а 2 ) / 2 {displaystyle Aequiv (za ^ {dagger 2} -z ^ {*} a ^ {2}) / 2} , так что
S † = е А {displaystyle S ^ {dagger} = e ^ {A}} .
Таким образом, левая часть равенства имеет вид е А а е − А {displaystyle e ^ {A} ae ^ {- A}}
е А B е − А = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! [ А , [ А , … , [ А ⏟ k раз , B ] … ] ] , {displaystyle e ^ {A} Be ^ {- A} = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1} {k!}} [underbrace {A, [A, dots, [A} _ { k, {ext {times}}}, B] точек]],} что верно для любой пары операторов
А {displaystyle A} и
B {displaystyle B} . Вычислить
е А а е − А {displaystyle e ^ {A} ae ^ {- A}} таким образом сводится к проблеме вычисления повторяющихся коммутаторов между
А {displaystyle A} и
а {displaystyle a} .Как нетрудно проверить, имеем
[ А , а ] = 1 2 [ z а † 2 − z ∗ а 2 , а ] = z 2 [ а † 2 , а ] = − z а † , {displaystyle [A, a] = {frac {1} {2}} [za ^ {dagger 2} -z ^ {*} a ^ {2}, a] = {frac {z} {2}} [a ^ {dagger 2}, a] = - za ^ {dagger},} [ А , а † ] = 1 2 [ z а † 2 − z ∗ а 2 , а † ] = − z ∗ 2 [ а 2 , а † ] = − z ∗ а . {displaystyle [A, a ^ {dagger}] = {frac {1} {2}} [za ^ {dagger 2} -z ^ {*} a ^ {2}, a ^ {dagger}] = - {frac {z ^ {*}} {2}} [a ^ {2}, a ^ {dagger}] = - z ^ {*} a.} Используя эти равенства, получаем
[ А , [ А , … , [ А ⏟ п , а ] … ] ] = { | z | п а , за п четное , − z | z | п − 1 а † , за п странный . {displaystyle [underbrace {A, [A, dots, [A} _ {n}, a] dots]] = {egin {case} | z | ^ {n} a, & {ext {for}} n {ext {четное}}, - z | z | ^ {n-1} a ^ {dagger}, & {ext {for}} n {ext {odd}}. end {cases}}}
так что наконец мы получаем
е А а е − А = а ∑ k = 0 ∞ | z | 2 k ( 2 k ) ! − а † z | z | ∑ k = 0 ∞ | z | 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! = а шиш | z | − а † е я θ грех | z | . {displaystyle e ^ {A} ae ^ {- A} = asum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {| z | ^ {2k}} {(2k)!}} - a ^ {dagger} { frac {z} {| z |}} sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {| z | ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} = acosh | z | -a ^ {кинжал} e ^ {i heta} sinh | z |.}
Смотрите также
Рекомендации
^ Джерри, К. И Найт, П. (2005). Введение в квантовую оптику ISBN 978-0-521-52735-4 ^ М. М. Нието и Д. Труакс (1995), «Преобразования Голштейна – Примакова / Боголюбова и мультибозонная система». arXiv :Quant-ph / 9506025 Дои :10.1002 / prop.2190450204 . γ {displaystyle gamma} θ → θ + π {displaystyle heta ightarrow heta + pi} Общий
Пространство и время Частицы Операторы для операторов
Квантовая
Фундаментальный Энергия Угловой момент Электромагнетизм Оптика Физика элементарных частиц
![{displaystyle e ^ {A} Be ^ {- A} = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1} {k!}} [underbrace {A, [A, dots, [A} _ { k, {ext {times}}}, B] точек]],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d1944da09e2049fd780aa580393cfc9a2af10e)
![{displaystyle [A, a] = {frac {1} {2}} [za ^ {dagger 2} -z ^ {*} a ^ {2}, a] = {frac {z} {2}} [a ^ {dagger 2}, a] = - za ^ {dagger},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f62585473e2b387edf0ebde45d723db1030f641f)
![{displaystyle [A, a ^ {dagger}] = {frac {1} {2}} [za ^ {dagger 2} -z ^ {*} a ^ {2}, a ^ {dagger}] = - {frac {z ^ {*}} {2}} [a ^ {2}, a ^ {dagger}] = - z ^ {*} a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed65b76372543b52560b3dec6418505d316586cb)
![{displaystyle [underbrace {A, [A, dots, [A} _ {n}, a] dots]] = {egin {case} | z | ^ {n} a, & {ext {for}} n {ext {четное}}, - z | z | ^ {n-1} a ^ {dagger}, & {ext {for}} n {ext {odd}}. end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395689a9e95946dc1e764370e9ae28bfd361b073)
