WikiDer > Преобразование Стирлинга - Википедия

В комбинаторный математика, то Преобразование Стирлинга последовательности { а_п : п = 1, 2, 3, ...} чисел - это последовательность { б_п : п = 1, 2, 3, ...}, задаваемое формулой

${ displaystyle b_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} left {{ begin {matrix} n k end {matrix}} right } a_ {k},}$

куда ${ displaystyle left {{ begin {matrix} п k end {matrix}} right }}$ это Число Стирлинга второго рода, также обозначаемый S(п,k) (с большой буквы S), то есть количество перегородки набора размеров п в k части.

Обратное преобразование:

${ displaystyle a_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} s (n, k) b_ {k},}$

куда s(п,k) (в нижнем регистре s) - число Стирлинга первого рода.

Берштейн и Слоан (цитируются ниже) заявляют: «Если а_п - количество объектов в некотором классе с точками, помеченными 1, 2, ..., п (все метки различны, т.е. обычные помеченные структуры), то б_п - количество объектов с точками, обозначенными 1, 2, ..., п (с разрешенными повторами) ".

Если

${ displaystyle f (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} {a_ {n} over n!} x ^ {n}}$

это формальный степенной ряд (обратите внимание, что нижняя граница суммирования равна 1, а не 0), и

${ displaystyle g (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} {b_ {n} over n!} x ^ {n}}$

с а_п и б_п как указано выше, то

${ Displaystyle г (х) = е (е ^ {х} -1). ,}$

Точно так же обратное преобразование приводит к тождеству производящей функции

${ Displaystyle е (х) = г ( журнал (1 + х)).}$

Смотрите также

• Биномиальное преобразование
• Преобразование производящей функции
• Список факториальных и биномиальных тем

Рекомендации

• Бернштейн, М .; Слоан, Н. Дж. А. (1995). «Некоторые канонические последовательности целых чисел». Линейная алгебра и ее приложения. 226/228: 57–72. arXiv:математика / 0205301. Дои:10.1016/0024-3795(94)00245-9..
• Христо Н. Бояджиев, Заметки о биномиальном преобразовании, теории и таблице с приложением о преобразовании Стирлинга (2018), World Scientific.