WikiDer > Каменно-чешская компактификация

В математической дисциплине общая топология, Каменно-чешская компактификация (или Компактификация Чеха – Камня^[1]) - это техника построения универсального отображения из топологическое пространство Икс к компактный Пространство Хаусдорфа βX. Компактификация Стоуна – Чеха βX топологического пространства Икс является самым большим и наиболее общим компактным хаусдорфовым пространством, "порожденным" Икс, в том смысле, что любое непрерывное отображение из Икс в компактное хаусдорфово пространство факторы через βX (уникальным способом). Если Икс это Тихоновское пространство затем карта из Икс к его образу в βX это гомеоморфизм, так Икс можно рассматривать как (плотное) подпространство в βX; любое другое компактное хаусдорфово пространство, плотно содержащее Икс это частное из βX. Для общих топологических пространств Икс, карта из Икс к βX не обязательно быть инъективным.

Форма аксиома выбора требуется для доказательства того, что каждое топологическое пространство имеет компактификацию Стоуна – Чеха. Даже для довольно простых помещений Икс, доступное конкретное описание βX часто остается неуловимым. В частности, доказательства того, что βX \ Икс непусто не дают явного описания какой-либо конкретной точки в βX \ Икс.

Компактификация Стоуна – Чеха неявно происходит в статье автора Тихонов Андрей Николаевич (1930) и был явно задан Маршалл Стоун (1937) и Эдуард Чех (1937).

История

Андрей Николаевич Тихонов ввел в 1930 г. полностью регулярные пространства, чтобы избежать патологической ситуации Хаусдорфовы пространства единственными непрерывными действительными функциями которого являются постоянные отображения.^[2]

В той же статье 1930 г., в которой Тихонов определил вполне регулярные пространства, он также доказал, что каждое Тихоновское пространство (т.е. Хаусдорф вполне регулярное пространство) имеет хаусдорфово компактификация (в этой же статье он также доказал Теорема Тихонова). В 1937 году Чех расширил технику Тихонова и ввел обозначение βИкс для этой компактификации. Камень также построил βИкс в статье 1937 года, хотя использовался совсем другой метод. Несмотря на то, что статья Тихонова является первой работой по теме компактификации Стоуна-Чеха, и несмотря на то, что на статью Тихонова ссылаются и Стоун, и Чех, имя Тихонова редко ассоциируется с βИкс.^[3]

Универсальное свойство и функториальность

Компактификация Стоуна – Чеха топологического пространства. Икс компактное хаусдорфово пространство βX вместе с непрерывной картой я_Икс : Икс → βX что имеет следующие универсальная собственность: Любые непрерывная карта ж : Икс → K, где K компактное хаусдорфово пространство, однозначно продолжается до непрерывного отображения βf : βX → K, т.е. (βf)я_Икс = ж

Как обычно для универсальных свойств, это универсальное свойство характеризует βX вплоть до гомеоморфизм.

Как указано в разделе «Конструкции» ниже, можно доказать (используя Аксиому Выбора), что такая компактификация Стоуна – Чеха я_Икс : Икс → βX существует для любого топологического пространства Икс. Кроме того, изображение я_Икс(Икс) плотно в βX.

Некоторые авторы добавляют предположение, что стартовое пространство Икс быть Тихоновым (или даже локально компактным Хаусдорфом) по следующим причинам:

• Карта из Икс к его образу в βX является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда Икс Тихонов.
• Карта из Икс к его образу в βX является гомеоморфизмом открытого подпространства тогда и только тогда, когда Икс локально компактно по Хаусдорфу.

Конструкция Стоуна – Чеха может быть выполнена для более общих пространств. Икс, но в этом случае карта Икс → βX не обязательно должен быть гомеоморфизмом образа Икс (а иногда даже не инъекционный).

Как обычно для таких универсальных конструкций, свойство расширения делает β а функтор от верхний (в категория топологических пространств) к Чаус (категория компактных хаусдорфовых пространств). Далее, если мы позволим U быть функтор включения от Чаус в верхний, карты из βX к K (для K в Чаус) биективно соответствуют картам из Икс к Великобритания (учитывая их ограничение Икс и используя универсальное свойство βX). т.е.

Hom (βX, K) ≅ Hom (Икс, Великобритания),

которое значит что β является левый смежный к U. Это означает, что Чаус это отражающая подкатегория из верхний с отражателем β.

Примеры

Если Икс компактное хаусдорфово пространство, то оно совпадает со своей компактификацией Стоуна – Чеха. Большинство других компактификаций Стоуна – Чеха не имеют конкретных описаний и чрезвычайно громоздки.^{[нужна цитата]} Исключения включают:

Компактификация Стоуна – Чеха первый несчетный порядковый номер ${ displaystyle omega _ {1}}$, с топология заказа, это порядковый номер ${ displaystyle omega _ {1} +1}$. Компактификация Стоуна – Чеха удалена Тихоновская доска это Тихоновская доска.^[4]

Конструкции

Строительство с использованием продуктов

Одна попытка построить компактификацию Стоуна – Чеха Икс состоит в том, чтобы закрыть образ Икс в

${ displaystyle prod nolimits _ {f: X to K} K}$

где продукт находится на всех картах из Икс компактным хаусдорфовым пространствам K. От Теорема Тихонова это произведение компактных пространств компактно, и замыкание Икс в этом пространстве поэтому также компактно. Это работает интуитивно, но не работает по технической причине, что набор всех таких карт является правильный класс а не набор. Есть несколько способов изменить эту идею, чтобы она работала; например, можно ограничить компактные хаусдорфовы пространства K иметь базовый набор п(п(Икс)) ( набор мощности силового комплекса Икс), который достаточно велик, чтобы иметь мощность, по крайней мере, равную мощности любого компактного хаусдорфова множества, которому Икс можно отобразить с плотным изображением.

Построение с использованием единичного интервала

Один способ построения βX это позволить C быть набором всех непрерывные функции от Икс в [0, 1] и рассмотрим отображение ${ displaystyle f: X к [0,1] ^ {C}}$ где

${ Displaystyle х mapsto (е (х)) _ {е в C}}$

Это можно увидеть как непрерывную карту на свое изображение, если [0, 1]^C дается топология продукта. От Теорема Тихонова у нас есть [0, 1]^C компактно, поскольку [0, 1] компактно. Следовательно, закрытие Икс в [0, 1]^C компактификация Икс.

Фактически, это замыкание и есть компактификация Стоуна – Чеха. Чтобы проверить это, нам просто нужно проверить, что замыкание удовлетворяет соответствующему универсальному свойству. Мы делаем это сначала для K = [0, 1], где желаемое расширение ж : Икс → [0, 1] - это просто проекция на ж координата в [0, 1]^C. Чтобы затем получить это для общего компактного Хаусдорфа K мы используем приведенное выше, чтобы отметить, что K можно вложить в некоторый куб, расширить каждую из координатных функций, а затем взять произведение этих расширений.

Особое свойство единичного интервала, необходимого для работы этой конструкции, состоит в том, что это когенератор категории компактных хаусдорфовых пространств: это означает, что если А и B компактные хаусдорфовы пространства и ж и г отличные карты от А к B, то есть карта час : B → [0, 1] такие, что hf и hg различны. В этом строительстве можно использовать любой другой когенератор (или когенерационную установку).

Строительство с использованием ультрафильтров

В качестве альтернативы, если Икс является дискретный, можно построить βX как набор всех ультрафильтры на ИКС, с элементами Икс соответствующий основные ультрафильтры. Топология на множестве ультрафильтров, известная как Каменная топология, порождается множествами вида ${ displaystyle {F: U in F }}$ для U подмножество ИКС.

Снова проверяем универсальность: для ж : Икс → K с участием K компактный Хаусдорф и F ультрафильтр на Икс у нас есть ультрафильтр ж(F) на K, толчок F. У этого есть уникальный предел, потому что K компактно по Хаусдорфу, скажем Икс, и мы определяем βf(F) = Икс. Можно проверить, что это является непрерывным продолжением ж.

Эквивалентно можно взять Каменное пространство из полная булева алгебра всех подмножеств Икс как компактификация Стоуна – Чеха. На самом деле это та же конструкция, поскольку пространство Стоуна этой булевой алгебры представляет собой набор ультрафильтров (или, что эквивалентно, простых идеалов или гомоморфизмов двухэлементной булевой алгебры) булевой алгебры, которая совпадает с набором ультрафильтров на Икс.

Конструкция может быть обобщена на произвольные тихоновские пространства, используя максимальные фильтры нулевые наборы вместо ультрафильтров.^[5] (Фильтры замкнутых множеств достаточно, если пространство нормальное.)

Построение с использованием C * -алгебр

Компактификация Стоуна – Чеха естественно гомеоморфна компактификации спектр из C_б(Икс).^[6] Здесь C_б(Икс) обозначает C * -алгебра всех непрерывных ограниченных комплекснозначных функций на Икс с sup-norm. Обратите внимание, что C_б(Икс) канонически изоморфна алгебра множителей из C₀(Икс).

Компактификация Стоуна – Чеха натуральных чисел

В случае, когда Икс является локально компактный, например N или р, образ Икс образует открытое подмножество βXили любой компактификации (это также необходимое условие, поскольку открытое подмножество компактного хаусдорфового пространства локально компактно). В этом случае часто исследуют оставшуюся часть пространства, βX \ Икс. Это закрытое подмножество βX, и поэтому компактно. Мы считаем N с этими дискретная топология и написать βN \ N = N* (но это не кажется стандартным обозначением для общих Икс).

Как объяснено выше, можно просмотреть βN как набор ультрафильтры на N, с топологией, порожденной множествами вида ${ displaystyle {F: U in F }}$ для U подмножество N. Набор N соответствует набору основные ультрафильтры, а множество N* к набору бесплатные ультрафильтры.

Изучение βN, и в частности N*, это основная область современной теоретико-множественная топология. Основные результаты, мотивирующие это: Теоремы Паровиченко, по существу характеризующий его поведение в предположении гипотеза континуума.

В них говорится:

• Каждое компактное хаусдорфово пространство вес в большинстве ${ displaystyle aleph _ {1}}$ (увидеть Число Алеф) - непрерывный образ N* (для этого не нужна гипотеза континуума, но при ее отсутствии она менее интересна).
• Если гипотеза континуума верна, то N* уникальный Пространство Паровиченко, с точностью до изоморфизма.

Первоначально это было доказано путем рассмотрения Булевы алгебры и применяя Каменная двойственность.

Ян ван Милль описал βN как «трехголовое чудовище» - три головы представляют собой улыбающуюся и дружелюбную голову (поведение при допущении гипотезы континуума), уродливая голова независимости, которая постоянно пытается вас сбить с толку (определение того, какое поведение возможно в различных моделях теория множеств), а третья голова самая маленькая из всех (что вы можете доказать об этом в ZFC).^[7] Относительно недавно было замечено, что эта характеристика не совсем верна - на самом деле существует четвертая глава βN, в котором навязывание аксиом и аксиомы типа Рамсея дают свойства βN почти диаметрально противоположен гипотезе континуума, давая очень мало карт из N* действительно. Примеры этих аксиом включают комбинацию Аксиома мартина и Открытая аксиома раскраски которые, например, доказывают, что (N*)² ≠ N*, тогда как гипотеза континуума предполагает обратное.

Приложение: двойственное пространство к пространству ограниченных последовательностей вещественных чисел.

Компактификация Стоуна – Чеха βN может использоваться для характеристики ${ Displaystyle ell ^ { infty} ( mathbf {N})}$ (в Банахово пространство всех ограниченных последовательностей в скалярном поле р или C, с участием верхняя норма) и это двойное пространство.

Для ограниченной последовательности ${ Displaystyle а ин ell ^ { infty} ( mathbf {N})}$ существует замкнутый шар B в скалярном поле, содержащем изображение а. а тогда функция из N к B. поскольку N дискретна и B компактно и хаусдорфово, а непрерывно. Согласно универсальному свойству существует единственное расширение βa : βN → B. Это расширение не зависит от мяча. B мы считаем.

Мы определили отображение продолжения из пространства ограниченных скалярнозначных последовательностей в пространство непрерывных функций над βN.

${ Displaystyle ell ^ { infty} ( mathbf {N}) к С ( бета mathbf {N})}$

Это отображение биективно, поскольку каждая функция из C(βN) должен быть ограничен, а затем может быть ограничен до ограниченной скалярной последовательности.

Если мы далее рассмотрим оба пространства с sup norm, отображение расширения станет изометрией. В самом деле, если в построении выше мы возьмем наименьший возможный шар B, мы видим, что sup-норма расширенной последовательности не растет (хотя изображение расширенной функции может быть больше).

Таким образом, ${ Displaystyle ell ^ { infty} ( mathbf {N})}$ можно отождествить с C(βN). Это позволяет нам использовать Теорема Рисса о представлении и обнаруживаем, что двойственное пространство ${ Displaystyle ell ^ { infty} ( mathbf {N})}$ можно отождествить с пространством конечных Борелевские меры на βN.

Наконец, следует отметить, что этот метод обобщается на L^∞ пространство произвольного измерить пространство Икс. Однако вместо того, чтобы просто рассматривать пространство βX ультрафильтров на Икс, правильный способ обобщить эту конструкцию - рассмотреть Каменное пространство Y алгебры меры Икс: пробелы C(Y) и L^∞(Икс) изоморфны как C * -алгебры, пока Икс удовлетворяет разумному условию конечности (что любой набор положительной меры содержит подмножество конечной положительной меры).

Моноидная операция над компактификацией натуральных чисел Стоуна – Чеха

Натуральные числа образуют моноид под дополнение. Оказывается, эту операцию можно расширить (обычно более чем одним способом, но однозначно при следующих условиях) до βN, превращая это пространство также в моноид, хотя, на удивление, некоммутативный.

Для любого подмножества А, из N и положительное целое число п в N, мы определяем

${ displaystyle A-n = {k in mathbf {N} mid k + n in A }.}$

Учитывая два ультрафильтра F и г на N, определим их сумму как

${ Displaystyle F + G = { Big {} A substeq mathbf {N} mid {n in mathbf {N} mid An in F } in G { Big }} ;}$

можно проверить, что это снова ультрафильтр, и что операция + ассоциативный (но не коммутативная) на βN и расширяет добавление на N; 0 служит нейтральным элементом для работы + на βN. Операция также является непрерывной справа в том смысле, что для каждого ультрафильтра F, карта

${ displaystyle { begin {case} beta mathbf {N} to beta mathbf {N} G mapsto F + G end {cases}}}$

непрерывно.

В более общем смысле, если S - полугруппа с дискретной топологией, операция S может быть расширен до βS, получая непрерывную справа ассоциативную операцию.^[8]

Смотрите также

• Компактификация по одной точке
• Компактификация Уоллмана
• Набор короны пространства, дополнение его образа в компактификации Стоуна – Чеха.
• Компактификация (математика)

Заметки

использованная литература

• Чех, Эдуард (1937), «О бикомпактных пространствах», Анналы математики, 38 (4): 823–844, Дои:10.2307/1968839, HDL:10338.dmlcz / 100420, JSTOR 1968839
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы, часть I: общая теория (Ред. Wiley Classics). Джон Вили и сыновья. п. 276.
• Хиндман, Нил; Штраус, Дона (1998), Алгебра в компактификации Стоуна – Чеха. Теория и приложения, Выставки де Грюйтера по математике, 27 (2-е исправленное и дополненное издание 2012 г.), Берлин: Walter de Gruyter & Co., стр. Xiv + 485 с., Дои:10.1515/9783110809220, ISBN 978-3-11-015420-7, Г-Н 1642231
• Кошевникова, И. (2001) [1994], «Каменно-чешская компактификация», Энциклопедия математики, EMS Press
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Шилдс, Аллен (1987), «Много лет назад», Математический интеллигент, 9 (2): 61–63, Дои:10.1007 / BF03025901
• Стоун, Маршалл Х. (1937), "Приложения теории булевых колец к общей топологии", Труды Американского математического общества, 41 (3): 375–481, Дои:10.2307/1989788, JSTOR 1989788
• Тихонов Андрей (1930), "Uber die topologische Erweiterung von Räumen", Mathematische Annalen, 102: 544–561, Дои:10.1007 / BF01782364, ISSN 0025-5831

внешние ссылки

• Компактификация Стоуна-Чеха в Planet Math
• Дрор Бар-Натан, Ультрафильтры, компактность и компактификация Стоуна – Чеха