WikiDer > Вейвлет Стрёмберга

Strömberg wavelet

В математика, то Вейвлет Стрёмберга это определенный ортонормированный вейвлет обнаружен Ян-Оловом Стрёмбергом и представлен в статье, опубликованной в 1983 году.[1] Хотя Вейвлет Хаара ранее было известно, что это ортонормированный вейвлет, вейвлет Стрёмберга был первым гладким ортонормированным вейвлетом, который был обнаружен. Период, термин вейвлет не был придуман во время публикации открытия вейвлета Стрёмберга, и мотивацией Стрёмберга было найти ортонормированную основу для Пространства Харди.[1]

Определение

Le м быть любым неотрицательное целое число. Позволять V быть любым дискретное подмножество из набора р из действительные числа. потом V раскол р в неперекрывающиеся интервалы. Для любого р в V, позволять яр обозначим интервал, определяемый V с р в качестве левой конечной точки. Позволять п(м)(V) обозначают множество всех функции ж(т) над р удовлетворяющие следующим условиям:

Если А0 знак равно . . , -2, -3/2, -1, -1/2} ∪ {0} ∪ {1, 2, 3,. . .} и А1 = А0 ∪ {1/2}, затем Вейвлет Стрёмберга порядка м это функция Sм(т), удовлетворяющие следующим условиям:[1]

  • , то есть,
  • является ортогональный к , то есть, для всех

Свойства набора п(м)(V)

Ниже приведены некоторые свойства набора. п(м)(V):

  1. Пусть количество различных элементов в V быть двумя. потом ж(т) ∈ п(м)(V) если и только если ж(т) = 0 для всех т.
  2. Если количество элементов в V три или больше, чем п(м)(V) содержит ненулевые функции.
  3. Если V1 и V2 дискретные подмножества р такой, что V1V2 тогда п(м)(V1) ⊂ п(м)(V2). Особенно, п(м)(А0) ⊂ п(м)(А1).
  4. Если ж(т) ∈ п(м)(А1) тогда ж(т) = грамм(т) + α λ (т) где α постоянна и грамм(т) ∈ п(м)(А0) определяется грамм(р) = ж(р) за рА0.

Вейвлет Стрёмберга как ортонормированный вейвлет

Следующий результат устанавливает вейвлет Стрёмберга как ортонормированный вейвлет.[1]

Теорема

Позволять Sм быть вейвлетом Стрёмберга порядка м. Тогда следующий набор

это полный ортонормированный система в пространстве квадратично интегрируемых функций над р.

Вейвлеты Стрёмберга порядка 0

График вейвлета Стрёмберга порядка 0. График масштабируется так, что значение вейвлет-функции в 1 равно 1.

В частном случае вейвлетов Стрёмберга порядка 0 могут наблюдаться следующие факты:

  1. Если ж(т) ∈ п0(V) тогда ж(т) однозначно определяется дискретным подмножеством {ж(р) : рV} из р.
  2. Для каждого sА0, специальная функция λs в А0 ассоциирован: он определяется λs(р) = 1, если р = s и λs(р) = 0, если sрА0. Эти специальные элементы в п(А0) называются простые палатки. Специальная простая палатка λ1/2(т) обозначается λ (т)

Вычисление вейвлета Стрёмберга порядка 0

Как уже отмечалось, вейвлет Стрёмберга S0(т) полностью определяется множеством { S0(р) : рА1 }. Используя определяющие свойства вейвлета Стрёмбега, можно вычислить точные выражения для элементов этого набора, и они приведены ниже.[2]

за
за

Здесь S0(1) постоянна такая, что ||S0(т)|| = 1.

Некоторые дополнительные сведения о вейвлете Стрёмберга порядка 0

Вейвлет Стрёмберга порядка 0 обладает следующими свойствами.[2]

  • Вейвлет Стрёмберга S0(т) колеблется о т-ось.
  • Вейвлет Стрёмберга S0(т) имеет экспоненциальный спад.
  • Ценности S0(т) для положительных целых значений т а для отрицательных полуцелых значений т связаны следующим образом: за

Рекомендации

  1. ^ а б c d Янош-Олов Стрёмберг, Модифицированная система Франклина и сплайновые системы более высокого порядка на Rп как безусловные основы для Пространства Харди, Конференция по гармоническому анализу в честь А. Зигмонда, Vol. II, W. Beckner, et al (ред.) Wadsworth, 1983, стр. 475-494.
  2. ^ а б П. Войтащик (1997). Математическое введение в вейвлеты. Издательство Кембриджского университета. стр.5–14. ISBN 0521570204.