WikiDer > Уравнение Сильвестра

Sylvester equation

В математика, в области теория управления, а Уравнение Сильвестра это матрица уравнение формы:[1]

Тогда данные матрицы А, B, и C, проблема состоит в том, чтобы найти возможные матрицы Икс которые подчиняются этому уравнению. Предполагается, что все матрицы имеют коэффициенты в сложные числа. Чтобы уравнение имело смысл, матрицы должны иметь соответствующие размеры, например, все они могут быть квадратными матрицами одинакового размера. Но в более общем плане А и B должны быть квадратными матрицами размеров п и м соответственно, а затем Икс и C как есть п ряды и м столбцы.

Уравнение Сильвестра имеет единственное решение для Икс именно тогда, когда нет общих собственных значений А и -BВ общем, уравнение ТОПОР + XB = C рассматривался как уравнение ограниченные операторы на (возможно, бесконечномерном) Банахово пространство. В этом случае условие единственности решения Икс почти то же самое: существует единственное решение Икс именно тогда, когда спектры из А и -B находятся непересекающийся.[2]

Существование и уникальность решений

С использованием Кронекер продукт обозначения и оператор векторизации , мы можем переписать уравнение Сильвестра в виде

куда имеет размер , имеет размер , измерения и это единичная матрица. В таком виде уравнение можно рассматривать как линейная система измерения .[3]

Теорема. Данные матрицы и , уравнение Сильвестра имеет уникальное решение для любого если и только если и не имеют собственных значений.

Доказательство. Уравнение является линейной системой с неизвестных и столько же уравнений. Следовательно, он однозначно разрешим для любого данного тогда и только тогда, когда однородное уравнение допускает только тривиальное решение .

(i) Предположим, что и не имеют собственных значений. Позволять - решение упомянутого однородного уравнения. потом , который можно поднять до для каждого по математической индукции. Как следствие,для любого полинома . В частности, пусть - характеристический многочлен . потом из-за Теорема Кэли-Гамильтона; между тем, теорема о спектральном отображении говорит намкуда обозначает спектр матрицы. С и не имеют собственных значений, не содержит нуля, а значит неособое. Таким образом по желанию. Это доказывает «если» часть теоремы.

(ii) Теперь предположим, что и разделять собственное значение . Позволять - соответствующий правый собственный вектор для , - соответствующий левый собственный вектор для , и . потом , и Следовательно является нетривиальным решением вышеупомянутого однородного уравнения, оправдывая часть теоремы «только если». Q.E.D.

В качестве альтернативы теорема о спектральном отображении, неравномерность в части (i) доказательства также может быть продемонстрировано Личность Безу для взаимно простых многочленов. Позволять - характеристический многочлен . С и не имеют собственных значений, и взаимно просты. Следовательно, существуют многочлены и такой, что . Посредством Теорема Кэли – Гамильтона, . Таким образом , подразумевая, что несингулярный.

Теорема остается верной, если заменяется на повсюду. Доказательство части «если» все еще применимо; для части "только если" обратите внимание, что оба и удовлетворяют однородному уравнению , и они не могут быть равны нулю одновременно.

Правило удаления Рота

Учитывая две квадратные комплексные матрицы А и B, размером п и м, а матрица C размера п к м, то можно спросить, когда следующие две квадратные матрицы размера п + м находятся похожий друг другу: и . Ответ заключается в том, что эти две матрицы подобны именно тогда, когда существует матрица Икс такой, что ТОПОР − XB = C. Другими словами, Икс является решением уравнения Сильвестра. Это известно как Правило удаления Рота.[4]

Одно направление легко проверяется: если ТОПОР − XB = C тогда

Правило удаления Рота не распространяется на бесконечномерные ограниченные операторы в банаховом пространстве.[5]

Численные решения

Классическим алгоритмом численного решения уравнения Сильвестра является Алгоритм Бартельса – Стюарта, который состоит из преобразования и в Форма Шура по QR-алгоритм, а затем решая получившуюся треугольную систему с помощью обратная подстановка. Этот алгоритм, вычислительная стоимость которого составляет арифметические операции,[нужна цитата] используется, среди прочего, ЛАПАК и ляп функционировать в GNU Octave.[6] См. Также Сильвестр функционируют на этом языке.[7][8] В некоторых приложениях для обработки изображений производное уравнение Сильвестра имеет решение в замкнутой форме.[9]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Это уравнение также обычно записывают в эквивалентной форме ТОПОР − XB = C.
  2. ^ Бхатия и Розенталь, 1997 г.
  3. ^ Однако переписывать уравнение в этой форме не рекомендуется для численного решения, поскольку эта версия требует больших затрат и может быть плохо воспитанный.
  4. ^ Герриш, Ф; Ward, A.G.B (ноябрь 1998 г.). «Матричное уравнение Сильвестра и правило удаления Рота». Математический вестник. 82 (495): 423–430. Дои:10.2307/3619888. JSTOR 3619888.
  5. ^ Бхатиа и Розенталь, стр.3
  6. ^ "Справочник функций: Ляп".
  7. ^ "Функции матрицы (GNU Octave (версия 4.4.1))".
  8. ^ В syl команда устарела, так как GNU Octave Version 4.0
  9. ^ Wei, Q .; Dobigeon, N .; Турнере, Ж.-Й. (2015). «Быстрое объединение многополосных изображений на основе решения уравнения Сильвестра». IEEE. 24 (11): 4109–4121. arXiv:1502.03121. Bibcode:2015ITIP ... 24,4 · 109 Вт. Дои:10.1109 / TIP.2015.2458572. PMID 26208345.

Рекомендации

внешняя ссылка