WikiDer > Симплектическое наполнение

В математика, а начинка из многообразие Икс это кобордизм W между Икс и пустой набор. Более того, п-размерный топологическое многообразие Икс это граница из (п + 1) -мерное многообразие W. Возможно, наиболее активная область текущих исследований - это когда п = 3, где можно рассматривать определенные типы начинок.

Есть много типов пломб, и несколько примеров этих типов (возможно, в ограниченной перспективе) приведены ниже.

• An ориентированный заполнение любого ориентируемого многообразия Икс это еще одно многообразие W такая, что ориентация Икс задается граничной ориентацией W, в котором первый базисный вектор касательное пространство в каждой точке границы есть точка, указывающая прямо из W, относительно избранного Риманова метрика. Математики называют эту ориентацию сначала внешний нормальный соглашение.

Все следующие кобордизмы ориентированы с ориентацией на W заданной симплектической структурой. Обозначим через ξ ядро из Форма обратной связи α.

• А слабый симплектический заполнение контактный коллектор (Икс,ξ) это симплектическое многообразие (W,ω) с ${displaystyle partial}$W = Икс такой, что ${displaystyle omega | _ {xi}> 0}$.
• А сильный симплектическое заполнение контактного многообразия (Икс, ξ) - симплектическое многообразие (W, ω) с ${displaystyle partial}$W = Икс такой, что ω точный вблизи границы (что Икс) и α примитив для ω. То есть ω = dα в район границы ${displaystyle partial}$W = X.
• Штейновское заполнение контактного коллектора (Икс, ξ) является Многообразие Штейна W у которого есть Икс как его строго псевдовыпуклая граница а ξ - множество комплексных касаний к Икс - то есть касательные плоскости к Икс которые являются сложными относительно сложной структуры на W. Каноническим примером этого является 3-сфера

${displaystyle {xin mathbb {C} ^ {2}: | x | = 1},}$

где сложная структура на ${displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$ это умножение на ${displaystyle {sqrt {-1}}}$ в каждой координате и W это мяч {|Икс| <1}, ограниченный этой сферой.

Известно, что этот список строго усложняется в том смысле, что есть примеры контактных 3-многообразий со слабым, но не сильным заполнением, и другие, которые имеют сильное, но не штейновское заполнение. Кроме того, можно показать, что каждый тип заполнения является примером предыдущего, так что, например, заполнение Штейна является сильным симплектическим заполнением. Раньше говорили о полуфабрикаты в этом контексте, что означает, что Икс один из, возможно, многих граничные компоненты из W, но было показано, что любое полузаполнение может быть преобразовано в заполнение того же типа, одного и того же трехмерного многообразия в симплектическом мире (многообразия Штейна всегда имеют одну граничную компоненту).

Рекомендации

• Ю. Элиашберг, Несколько замечаний о симплектическом заполнении, Геометрия и топология 8, 2004, с. 277–293 arXiv:математика / 0311459
• Дж. Этнир, О симплектических наполнениях Algebr. Геом. Тополь. 4 (2004), стр. 73–80 онлайн
• Х. Гейгес, Введение в контактную топологию, Cambridge University Press, 2008 г.