WikiDer > Функционал тонкой пластины

Thin plate energy functional

Точный функционал энергии тонкой пластины (TPEF) для функции является

куда и являются основные кривизны карты поверхности в момент [1][2] Это поверхностный интеграл из следовательно в подынтегральном выражении.

Минимизация точного функционала энергии тонкой пластины приведет к системе нелинейных уравнений. Поэтому на практике часто используется приближение, приводящее к линейным системам уравнений.[1][3][4] Приближение получено в предположении, что градиент равно 0. В любой точке, где то первая фундаментальная форма карты поверхности - единичная матрица, а вторая основная форма является

.

Мы можем использовать формулу для средняя кривизна [5] определить это и формула для Гауссова кривизна [5] (куда и - определители второй и первой фундаментальных форм соответственно), чтобы определить, что С и [5] подынтегральное выражение точного TPEF равно Выражения, которые мы только что вычислили для средней кривизны и гауссовой кривизны как функций частных производных от показать, что подынтегральное выражение точного TPEF равно

Таким образом, приблизительный функционал энергии тонкой пластины равен

Вращательная инвариантность

Вращение (x, y) на тета вокруг оси z до (X, Y)
Исходная поверхность с точкой (x, y)
Повернутая поверхность с повернутой точкой (X, Y)

TPEF инвариантен относительно вращения. Это означает, что если все точки поверхности повернуты на угол о -оси, TPEF в каждой точке поверхности равняется TPEF вращаемой поверхности при вращении Формула для поворот на угол о ось

 

 

 

 

(1)

Тот факт, что стоимость поверхности при равно значение вращаемой поверхности при вращении математически выражается уравнением

куда - обратное вращение, то есть Так а цепное правило подразумевает

 

 

 

 

(2)

В уравнении (2), средства средства средства и средства Уравнение (2) и все последующие уравнения в этом разделе используют нетензорное соглашение о суммировании, то есть суммы берутся по повторяющимся индексам в члене, даже если оба индекса являются нижними индексами. Цепное правило также необходимо для дифференцирования уравнения (2) поскольку на самом деле композиция

.

Замена имен индексов и дает

 

 

 

 

(3)

Увеличение суммы для каждой пары дает

Вычисление TPEF для повернутой поверхности дает

 

 

 

 

(4)

Вставка коэффициентов матрицы вращения из уравнения (1) в правую часть уравнения (4) упрощает его до

Подгонка данных

Приблизительный функционал энергии тонкой пластины можно использовать для соответствия B-шлиц поверхности к разрозненным одномерным данным на двумерной сетке (например, данные цифровой модели местности).[6][3] Назовите точки сетки за и ) и значения данных Чтобы соответствовать однородному B-шлицу к данным, уравнение

 

 

 

 

(5)

(куда - «параметр сглаживания») минимизируется. Большие значения приводит к более гладкой поверхности, а меньшие значения приводят к более точному соответствию данным. Следующие изображения иллюстрируют результаты подгонки поверхности B-сплайна к некоторым данным ландшафта с использованием этого метода.

В шлифовальный шлиц тонкой пластины также минимизирует уравнение (5), но он намного дороже в вычислении, чем B-сплайн, и не такой гладкий (это всего лишь в «центрах» и имеет там неограниченные вторые производные).

Рекомендации

  1. ^ а б Грейнер, Гюнтер (1994). «Вариационный дизайн и обтекание шлицевых поверхностей» (PDF). Еврография '94. Получено 3 января, 2016.
  2. ^ Мортон, Генри П. (1992). «Функциональная оптимизация для качественного дизайна поверхностей» (PDF). Компьютерная графика. Получено 4 января, 2016.
  3. ^ а б Эк, Матиас (1996). «Автоматическое восстановление B-сплайнов поверхностей произвольного топологического типа» (PDF). Труды SIGGRAPH 96, Computer Graphics Proceedings, Annual Conference Series. Получено 3 января, 2016.
  4. ^ Холстед, Марк (1993). «Эффективная, справедливая интерполяция с использованием поверхностей Катмулла-Кларка» (PDF). Материалы 20-й ежегодной конференции по компьютерной графике и интерактивным техникам.. Получено 4 января, 2016.
  5. ^ а б c Крейсциг, Эрвин (1991). Дифференциальная геометрия. Минеола, Нью-Йорк: Дувр. стр.131. ISBN 0-486-66721-9.
  6. ^ Хьелле, Ойвинд (2005). "Многоуровневая аппроксимация методом наименьших квадратов разбросанных данных по двоичной триангуляции" (PDF). Вычислительная техника и визуализация в науке. Получено 14 января, 2016.