WikiDer > Скобка Тоды

В математике Скобка Тоды является операцией на гомотопических классах отображений, в частности на гомотопические группы сфер, названный в честь Хироши Тода, который определил их и использовал для вычисления гомотопических групп сфер в (Тода 1962).

Определение

Видеть (Кочман 1990 г.) или же (Тода 1962) для получения дополнительной информации.

${displaystyle W {stackrel {f} {o}} X {stackrel {g} {o}} Y {stackrel {h} {o}} Z}$

последовательность отображений между пространствами, такая что композиции ${displaystyle gcirc f}$ и ${displaystyle hcirc g}$ оба нулевой гомотопный. Учитывая пространство ${displaystyle A}$, позволять ${displaystyle CA}$ обозначить конус из ${displaystyle A}$. Тогда мы получаем (неединственное) отображение

${displaystyle Fcolon CW o Y}$

вызванный гомотопия из ${displaystyle gcirc f}$ на тривиальную карту, которая после составления ${displaystyle h}$ дает карту

${displaystyle hcirc Fcolon CW o Z}$.

Аналогично получаем неуникальную карту ${displaystyle Gcolon CX o Z}$ индуцированный гомотопией из ${displaystyle hcirc g}$ к тривиальной карте, которая при составлении с ${displaystyle C_ {f} двоеточие CW o CX}$, конус карты ${displaystyle f}$, дает другую карту,

${displaystyle Gcirc C_ {f} двоеточие CW o Z}$.

Соединив эти два конуса на ${displaystyle W}$ и карты от них до ${displaystyle Z}$, мы получаем карту

${displaystyle langle f, g, hangle двоеточие SW o Z}$

представляющий элемент в группе ${displaystyle [SW, Z]}$ гомотопических классов отображений из надстройки ${displaystyle SW}$ к ${displaystyle Z}$, называется Скобка Тоды из ${displaystyle f}$, ${displaystyle g}$, и ${displaystyle h}$. Карта ${displaystyle langle f, g, hangle}$ не определен однозначно с точностью до гомотопии, потому что был некоторый выбор при выборе отображений из конусов. Изменение этих карт изменяет скобку Тоды, добавляя элементы ${displaystyle h [SW, Y]}$ и ${displaystyle [SX, Z] f}$.

Существуют также более высокие скобки Тоды для нескольких элементов, определяемые, когда исчезают подходящие нижние скобки Тоды. Это соответствует теории Продукция Massey в когомология.

Скобка Тоды для стабильных гомотопических групп сфер

В прямая сумма

${displaystyle pi _ {ast} ^ {S} = igoplus _ {kgeq 0} pi _ {k} ^ {S}}$

стабильных гомотопических групп сфер является суперкоммутативный оцененный звенеть, где умножение (называемое композиционным произведением) задается композицией отображающих карт, а любой элемент ненулевой степени равен нильпотентный (Нисида 1973).

Если ж и грамм и час являются элементами ${displaystyle pi _ {ast} ^ {S}}$ с ${displaystyle fcdot g = 0}$ и ${displaystyle gcdot h = 0}$, Существует Скобка Тоды ${displaystyle langle f, g, hangle}$ этих элементов. Скобка Тоды не совсем элемент стабильной гомотопической группы, потому что она определена только с точностью до сложения композиционных произведений некоторых других элементов. Хироши Тода использовал композиционное произведение и скобки Тоды для обозначения многих элементов гомотопических групп.Коэн (1968) показал, что каждый элемент стабильных гомотопических групп сфер может быть выражен с помощью композиционных произведений и более высоких скобок Тоды в терминах некоторых хорошо известных элементов, называемых элементами Хопфа.

Скобка Тоды для общих триангулированных категорий

В случае генерала триангулированная категория скобку Тоды можно определить следующим образом. Снова предположим, что

${displaystyle W {stackrel {f} {o}} X {stackrel {g} {o}} Y {stackrel {h} {o}} Z}$

последовательность морфизма в триангулированная категория такой, что ${displaystyle gcirc f = 0}$ и ${displaystyle hcirc g = 0}$. Позволять ${displaystyle C_ {f}}$ обозначим конус ж так что мы получаем точный треугольник

${displaystyle W {stackrel {f} {o}} X {stackrel {i} {o}} C_ {f} {stackrel {q} {o}} W [1]}$

Соотношение ${displaystyle gcirc f = 0}$ подразумевает, что грамм факторы (не однозначно) через ${displaystyle C_ {f}}$ в качестве

${displaystyle X {stackrel {i} {o}} C_ {f} {stackrel {a} {o}} Y}$

для некоторых ${displaystyle a}$. Тогда соотношение ${displaystyle hcirc acirc i = hcirc g = 0}$ подразумевает, что ${displaystyle hcirc a}$ факторы (не однозначно) через W [1] в качестве

${displaystyle C_ {f} {stackrel {q} {o}} W [1] {stackrel {b} {o}} Z}$

для некоторых б. Этот б является (выбором) скобкой Тоды ${displaystyle langle f, g, hangle}$ в группе ${displaystyle operatorname {hom} (W [1], Z)}$.

Рекомендации

• Коэн, Джоэл М. (1968), "Разложение стабильной гомотопии", Анналы математики, Вторая серия, 87 (2): 305–320, Дои:10.2307/1970586, JSTOR 1970586, МИСТЕР 0231377, ЧВК 224450.
• Кочман, Стэнли О. (1990), «Скобки Тоды», Стабильные гомотопические группы сфер. Компьютерный подход, Конспект лекций по математике, 1423, Берлин: Springer-Verlag, стр. 12–34, Дои:10.1007 / BFb0083797, ISBN 978-3-540-52468-7, МИСТЕР 1052407.
• Нисида, Горо (1973), «Нильпотентность элементов стабильных гомотопических групп сфер», Журнал математического общества Японии, 25 (4): 707–732, Дои:10.2969 / jmsj / 02540707, ISSN 0025-5645, МИСТЕР 0341485.
• Тода, Хироши (1962), Методы композиции в гомотопических группах сфер, Анналы математических исследований, 49, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09586-8, МИСТЕР 0143217.