WikiDer > Трехчленное разложение

В математика, а трехчленное разложение представляет собой разложение степени суммы трех членов в мономы. Расширение дается

${ displaystyle (a + b + c) ^ {n} = sum _ { stackrel {i, j, k} {i + j + k = n}} {n select i, j, k} , a ^ {i} , b ^ {; ! j} ; ! c ^ {k},}$

где п - целое неотрицательное число, и сумма берется по всем комбинациям неотрицательных индексов я, j, и k такой, что я + j + k = п.^[1] В трехчленные коэффициенты даны

${ displaystyle {n choose i, j, k} = { frac {n!} {i! , j! , k!}} ,.}$

Эта формула является частным случаем полиномиальная формула для м = 3. Коэффициенты можно определить с помощью обобщения Треугольник Паскаля в трех измерениях, называемых Пирамида паскаля или тетраэдр Паскаля.^[2]

Свойства

Количество членов расширенного трехчлена - это треугольное число

${ displaystyle t_ {n + 1} = { frac {(n + 2) (n + 1)} {2}},}$

где п - показатель степени, до которого возводится трехчлен.^[3]

пример

Пример трехчленного разложения с ${ displaystyle n = 2}$ является :

${ displaystyle (a + b + c) ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + 2ab + 2bc + 2ca}$

Смотрите также

• Биномиальное разложение
• Пирамида паскаля
• Полиномиальный коэффициент
• Трехчленный треугольник

использованная литература