WikiDer > Тихоновский куб

Tychonoff cube

В математика, более конкретно в общая топология, то Тихоновский куб является обобщением единичный куб от товар конечного числа единичные интервалы к продукту бесконечного, даже бесчисленный количество единичных интервалов. Куб Тихонова назван в честь Андрей Тихонов, который первым рассмотрел произвольное произведение топологические пространства и кто доказал в 1930-х годах, что Тихоновский куб компактный. Позже Тихонов обобщил это на произведение наборов произвольных компактных пространств. Этот результат теперь известен как Теорема Тихонова и считается одним из важнейших результатов в общей топологии.^[1]

Определение

Позволять ${ displaystyle I}$ обозначить единичный интервал ${ displaystyle [0,1]}$ . Учитывая количественное числительное ${ displaystyle kappa geq aleph _ {0}}$ , определим тихоновский куб вес ${ displaystyle kappa}$ как пространство ${ displaystyle I ^ { kappa}}$ с топология продукта, то есть продукт ${ displaystyle prod _ {s in S} I_ {s}}$ где ${ displaystyle kappa}$ это мощность из ${ displaystyle S}$ и для всех ${ displaystyle s in S}$ , ${ displaystyle I_ {s} = I}$ .

В Куб Гильберта, ${ displaystyle I ^ { aleph _ {0}}}$ , является частным случаем тихоновского куба.

Свойства

В аксиома выбора предполагается повсюду.

Куб Тихонова компактен.
Учитывая количественное числительное ${ displaystyle lambda leq kappa}$ , космос ${ displaystyle I ^ { lambda}}$ является встраиваемый в ${ displaystyle I ^ { kappa}}$ .
Тихоновский куб ${ displaystyle I ^ { kappa}}$ это универсальное пространство для каждого компактное пространство из вес ${ displaystyle kappa geq aleph _ {0}}$ .
Тихоновский куб ${ displaystyle I ^ { kappa}}$ это универсальное пространство для каждого Тихоновское пространство из вес ${ displaystyle kappa geq aleph _ {0}}$ .
Характер ${ Displaystyle х в я ^ { каппа}}$ является ${ displaystyle kappa}$ .