WikiDer > Однолистная функция

В математика, в ветке комплексный анализ, а голоморфная функция на открытое подмножество из комплексная плоскость называется однозначный если это инъективный.^[1]

Примеры

Рассмотрим приложение ${ displaystyle phi _ {a}}$ отображение открытого единичный диск себе такой, что

${ displaystyle phi _ {a} (z) = { frac {z-a} {1 - { bar {a}} z}}.}$

У нас есть это ${ displaystyle phi _ {a}}$ однозначно, когда ${ Displaystyle | а | <1}$.

Основные свойства

Можно доказать, что если ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle Omega}$ два открытых связаны наборы в комплексной плоскости, и

${ displaystyle f: G to Omega}$

- однолистная функция такая, что ${ Displaystyle f (G) = Omega}$ (то есть, ${ displaystyle f}$ является сюръективный), то производная от ${ displaystyle f}$ никогда не равно нулю, ${ displaystyle f}$ является обратимый, и его обратное ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ также голоморфен. Более того, у одного Правило цепи

${ displaystyle (f ^ {- 1}) '(f (z)) = { frac {1} {f' (z)}}}$

для всех ${ displaystyle z}$ в ${ displaystyle G.}$

Сравнение с реальными функциями

За настоящий аналитические функциив отличие от комплексных аналитических (т. е. голоморфных) функций, эти утверждения не выполняются. Например, рассмотрим функцию

${ Displaystyle f: (- 1,1) к (-1,1) ,}$

данный ƒ(Икс) = Икс³. Эта функция явно инъективна, но ее производная равна 0 при Икс = 0, и обратный ему не является аналитическим и даже не дифференцируемым на всем интервале (−1, 1). Следовательно, если мы расширим область до открытого подмножества грамм комплексного плана он не должен быть инъективным; и это так, поскольку (например) ж(εω) = ж(ε) (где ω - примитивный кубический корень из единицы а ε - положительное действительное число, меньшее, чем радиус грамм как окрестность 0).

Смотрите также

• Функция Шлихта

Рекомендации

Эта статья включает материал из однолистной аналитической функции по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.