WikiDer > Теорема Виноградова о среднем значении - Википедия

В математике Теорема Виноградова о среднем значении оценка количества равных суммы полномочий.Это важное неравенство в аналитическая теория чисел, названный в честь Виноградов И. М..

В частности, пусть ${ Displaystyle J_ {s, k} (X)}$ подсчитать количество решений системы ${ displaystyle k}$ одновременный Диофантовы уравнения в ${ displaystyle 2s}$ переменные, заданные

${ displaystyle x_ {1} ^ {j} + x_ {2} ^ {j} + cdots + x_ {s} ^ {j} = y_ {1} ^ {j} + y_ {2} ^ {j} + cdots + y_ {s} ^ {j} quad (1 leq j leq k)}$

с

${ Displaystyle 1 Leq X_ {I}, Y_ {I} Leq X, (1 Leq я Leq s)}$.

То есть подсчитывает количество равных сумм степеней с равным количеством членов (${ displaystyle s}$) и равных показателей (${ displaystyle j}$),вплоть до ${ displaystyle k}$th полномочия и до полномочий ${ displaystyle X}$. Альтернативное аналитическое выражение для ${ Displaystyle J_ {s, k} (X)}$ является

${ Displaystyle J_ {s, k} (X) = int _ {[0,1) ^ {k}} | f_ {k} ( mathbf { alpha}; X) | ^ {2s} d mathbf { alpha}}$

куда

${ displaystyle f_ {k} ( mathbf { alpha}; X) = sum _ {1 leq x leq X} exp (2 pi i ( alpha _ {1} x + cdots + alpha _ {k} x ^ {k})).}$

Теорема Виноградова о среднем дает верхняя граница по стоимости ${ Displaystyle J_ {s, k} (X)}$.

Сильная оценка для ${ Displaystyle J_ {s, k} (X)}$ является важной частью Метод Харди-Литтлвуда для нападения Проблема Варинга а также для демонстрации нулевой свободной области для Дзета-функция Римана в критическая полоса.^[1] Были получены различные оценки для ${ Displaystyle J_ {s, k} (X)}$, справедливо для разных относительных диапазонов ${ displaystyle s}$ и ${ displaystyle k}$. Классическая форма теоремы применима, когда ${ displaystyle s}$ очень большой с точки зрения ${ displaystyle k}$.

Анализ доказательств гипотезы Виноградова о среднем значении можно найти в докладе Бурбаки Семинаре Лилиан Пирс.^[2]

Нижние границы

Учитывая ${ Displaystyle X ^ {s}}$ решения, где

${ Displaystyle х_ {я} = у_ {я}, (1 leq я leq s)}$

можно видеть, что ${ Displaystyle J_ {s, k} (X) gg X ^ {s}}$.

Более тщательный анализ (см. Vaughan ^[3] уравнение 7.4) дает нижнюю оценку

${ displaystyle J_ {s, k} gg X ^ {s} + X ^ {2s - { frac {1} {2}} k (k + 1)}.}$

Основная гипотеза и объявление о доказательстве

Основная гипотеза теоремы Виноградова о среднем состоит в том, что верхняя оценка близка к этой нижней. В частности, для любого ${ displaystyle epsilon> 0}$ у нас есть

${ displaystyle J_ {s, k} (X) ll X ^ {s + epsilon} + X ^ {2s - { frac {1} {2}} k (k + 1) + epsilon}.}$

Если

${ displaystyle s geq { frac {1} {2}} к (к + 1)}$

это эквивалентно оценке

${ displaystyle J_ {s, k} (X) ll X ^ {2s - { frac {1} {2}} k (k + 1) + epsilon}.}$

Аналогично, если ${ displaystyle s leq { frac {1} {2}} к (к + 1)}$ гипотетическая форма эквивалентна оценке

${ displaystyle J_ {s, k} (X) ll X ^ {s + epsilon}.}$

Более сильные формы теоремы приводят к асимптотическому выражению для ${ displaystyle J_ {s, k}}$, в частности для крупных ${ displaystyle s}$ относительно ${ displaystyle k}$ выражение

${ Displaystyle J_ {s, k} sim { mathcal {C}} (s, k) X ^ {2s - { frac {1} {2}} k (k + 1)},}$

куда ${ Displaystyle { mathcal {C}} (s, k)}$ фиксированное положительное число, зависящее не более чем от ${ displaystyle s}$ и ${ displaystyle k}$, держит.

4 декабря 2015 г. Жан Бургейн, Киприан Деметер и Ларри Гут объявил доказательство теоремы Виноградова о среднем значении.^[4][5]

Связка Виноградова

Оригинальная теорема Виноградова 1935 г. ^[6] показал, что для фиксированных ${ displaystyle s, k}$ с

${ displaystyle s geq k ^ {2} log (k ^ {2} + k) + { frac {1} {4}} k ^ {2} + { frac {5} {4}} k +1}$

существует положительная постоянная ${ Displaystyle D (s, k)}$ такой, что

${ Displaystyle J_ {s, k} (X) Leq D (s, k) ( log X) ^ {2s} X ^ {2s - { frac {1} {2}} k (k + 1) + { frac {1} {2}}}.}$

Хотя это был новаторский результат, он не соответствует всей предполагаемой форме. Вместо этого он демонстрирует предполагаемую форму, когда

${ displaystyle epsilon> { frac {1} {2}}}$.

Последующие улучшения

Подход Виноградова усовершенствовал Карацуба^[7] и Стечкин^[8] кто показал это для ${ displaystyle s geq k}$ существует положительная постоянная ${ Displaystyle D (s, k)}$ такой, что

${ Displaystyle J_ {s, k} (X) leq D (s, k) X ^ {2s - { frac {1} {2}} k (k + 1) + eta _ {s, k} },}$

куда

${ displaystyle eta _ {s, k} = { frac {1} {2}} k ^ {2} left (1 - { frac {1} {k}} right) ^ { left [ { frac {s} {k}} right]} leq k ^ {2} e ^ {- s / k ^ {2}}.}$

Отмечая, что для

${ Displaystyle s> к ^ {2} (2 журнал к- журнал эпсилон)}$

у нас есть

${ displaystyle eta _ {s, k} < epsilon}$,

это доказывает, что гипотетическая форма верна для ${ displaystyle s}$ такого размера.

Далее метод может быть уточнен для доказательства асимптотической оценки

${ Displaystyle J_ {s, k} sim { mathcal {C}} (s, k) X ^ {2s - { frac {1} {2}} k (k + 1)},}$

для больших ${ displaystyle s}$ с точки зрения ${ displaystyle k}$.

В 2012 году Вули^[9] улучшил диапазон ${ displaystyle s}$ для которого имеет место гипотетическая форма. Он доказал, что для

${ Displaystyle к geq 2}$ и ${ Displaystyle с GEQ К (к + 1)}$

и для любого ${ displaystyle epsilon> 0}$ у нас есть

${ displaystyle J_ {s, k} (X) ll X ^ {2s - { frac {1} {2}} k (k + 1) + epsilon}.}$

Форд и Вули^[10] показали, что гипотетическая форма устанавливается для малых ${ displaystyle s}$ с точки зрения ${ displaystyle k}$. В частности, они показывают, что для

${ displaystyle k geq 4}$

и

${ displaystyle 1 leq s leq { frac {1} {4}} (к + 1) ^ {2}}$

для любого ${ displaystyle epsilon> 0}$

у нас есть

${ displaystyle J_ {s, k} (X) ll X ^ {s + epsilon}.}$

Рекомендации