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Es ¹H-Atom im Isotopentabelle

EIN Wasserstoffatom ist ein Atom des chemischen Elements Wasserstoff. Es elektrisch neutrales Atom enthält ein positiv geladenes Proton und ein negativ geladenes Elektron, die an den Kern gebunden ist durch die Coulomb-Kraft. Das Üblichste Isotop, Protium (auch Wasserstoff-1 oder leichter Wasserstoff genannt), enthält kein Neutronen; andere Isotope von Wasserstoff, wie z Deuterium und Tritium, enthalten ein bzw. zwei Neutronen.

Wasserstoffatom als Modellsystem der Quantenmechanik mechanic

Das Wasserstoffatom ist das einfachste realistische System, das mit dem . behandelt werden kann Quantenmechanik. Denn es ist ein zweiteiliges Problem ist, und die beiden Teilchen (das Elektron und das Proton, die es "umkreist") auf der Skala des Atoms als Punktmassein Betracht gezogen werden kann, kann unter dieser (in der Praxis jedenfalls vernünftigen) Annahme eine exakte Lösung für die Schrödinger-Gleichung (das Wasserstoffatom ist also auch das einzige Atom, für das die Schrödinger-Gleichung exakt gelöst werden kann). Auf diese Weise wurden genaue quantitative Vorhersagen gemacht, was einer der Gründe dafür ist, dass die Quantenmechanik zu einer erfolgreichen physikalischen Theorie geworden ist.

Der sichtbare Teil der Balmer-Serie

Einschließlich der Frequenzen aus verschiedenen Serien Spektrallinien (insbesondere die Balmer-Serie und der Lyman-Serie) kann auf diese Weise aus "ersten Prinzipien" berechnet werden, wo vorher nur empirisch Formeln standen zur Verfügung.

Das Orbitalstruktur von Wasserstoff ist in der Theoretische Chemie und Computerchemie weiterhin ein wichtiges theoretisches und praktisches Instrument zur Beschreibung der elektronische Struktur anderer Atome und von Molekülen (obwohl man die Gleichungen für solche Systeme auch im in Born-Oppenheimer-Ansatz).

Lösung der Schrödinger-Gleichung

Die Schrödinger-Gleichung für die Wellenfunktion ${Anzeigestil Psi}$ des Elektrons mit konstanter Energie ${displaystyle mathrm {E} }$ wellt sich im Coulomb-Feld des Atomkerns, ist

${displaystyle mathrm {E} Psi ({vec {r}})=-{frac {hbar ^{2}}{2m_{e}}}Delta Psi ({vec {r}})-{frac {e^{ 2}}{4pi Epsilon _{0}}}{frak {1}{r}}Psi ({vec {r}})}$

Das Laplazianer${Anzeigestil Delta }$ wird in Kugelkoordinaten ausgeschrieben und für die Wellenfunktion werden die Variablen getrennt:${Anzeigestil Psi (r,vartheta,varphi)=R(r)Y(vartheta,varphi)}$

Die Gleichung kann dann so geschrieben werden, dass die linke Seite von ${displaystyle r}$ und die rechte Seite hängt nur von den Winkelkoordinaten ab ${displaystyle vartheta ,varphi }$. Linke und rechte Seite sind daher konstant Die Schrödinger-Gleichung zerfällt in zwei Gleichungen, eine für ${Anzeigestil R}$ und einer für ${Anzeigestil Y}$:

${displaystyle {frac {hbar ^{2}}{2m_{e}}}links[{1 über r^{2}}{partiell über partiellem r}left(r^{2}{partial R(r) über partiell rechts) - {l(l 1)R(r) über r^{2}}ight] {frac {1}{4pi epsilon _{0}}}{frac {e^{2}}{r} }R(r) ER(r)=0}$

und

${displaystyle {frac {1}{sin heta }}{frac {partial }{partial heta }}left[sin heta {frac {partial }{partial heta }}Y(heta,varphi)ight] {frac {1}{ sin ^{2} heta }},{frac {partiell ^{2}}{partial heta ^{2}}}Y(heta,varphi) l(l 1)Y(heta,varphi)=0}$

Diesen Gleichungen gemeinsam ist nur die Konstante, die geschrieben wird als ${Anzeigestil l(l 1)}$. Die zweite Gleichung hat dann für ${Anzeigestil l=0,1,2,ldots}$Kugelfunktionen${displaystyle Y_{lm}}$ als Lösung. Für jedes ${displaystyle l}$ gibt es ${Displaystil 2l 1}$ Lösungen, gekennzeichnet durch den Index ${displaystyle m}$.

Die erste Gleichung wird durch eine Reihe von Substitutionen transformiert. Dies ist am einfachsten, wenn die Gleichung in geschrieben ist Atomeinheiten^[1]. Ersatz von ${Anzeigestil E=-1/2n^{2}}$, ${displaystyle r=ho n/2}$ und dann ${displaystyle R=ho ^{l}e^{-ho /2}w(ho)}$ endlich liefert

${displaystyle ho w'' (2l 2-ho )w' (n-l-1)w=0}$

dessen Lösung ${Anzeigestil w}$ ist aus der Theorie der Laguerre-Polynome bekannt. Für jedes ${displaystyle l}$ es gibt unendlich viele lösungen ${displaystyle R_{nl}}$, nämlich für jedes Ganze ${Anzeigestil n>l}$.

Das Ergebnis in gewöhnlichen Einheiten ist:

${displaystyle Psi_{nlm}(r,vartheta,varphi)=R_{nl}(r);Y_{lm}(vartheta,varphi)}$

${displaystyle R_{nl}(r)={sqrt {{left({frac {2}{na_{0}}}ight)}^{3}{frac {(nl-1)!}{2n[(nl )!]}}}};e^{-ho /2};ho ^{l};L_{nl-1}^{2l 1}(ho )}$

${displaystyle Y_{lm}(vartheta ,varphi )}$ sein sphärische Harmonische

${displaystyle a_{0}=hbar /m_{e}calpha }$ das Bohrstraße des H-Atoms, ${displaystyle alpha }$ das Feinstrukturkonstante, ${displaystyle ho =2r/na_{0}}$ und

${Anzeigestil L_{n-l-1}^{2l 1}(ho)}$verallgemeinerte Laguerre-Polynome.

Das Quantenzahlen kann folgende Werte haben:

${Anzeigestil n=1,2,3,ldots}$

${Anzeigestil l=0,1,2,ldots,n-1}$

${displaystyle m=-l,ldots,l}$

Nur diese Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind akzeptable Wellenfunktionen: normiert, monovalent und endlich.

Energieniveaus

Die Energieniveaus des Elektrons hängen nur von ${displaystyle n}$ aus

${displaystyle E_{n}=-{{m_{e}c^{2}alpha ^{2}} über {2n^{2}}}}={E_{1} über n^{2}},quad E_ {1}=-13{,}6}$eV,

negativ, weil es Energie braucht, um das Elektron aus dem Atom zu entfernen Wasserstoffspektrum. Die Frequenzen der Lyman-Reihe sind

${displaystyle (E_{n}-E_{1})/h=u _{H}(1-1/n^{2}),quad }$ vor dem ${Anzeigestil n>1}$,

für die Balmer-Serie

${displaystyle (E_{n}-E_{2})/h=u _{H}(1/4-1/n^{2}),quad }$ vor dem ${Anzeigestil n>2}$,

usw. ${Displaystil u_{H}=cR_{H}ungefähr 3{,}3}$PHZ; ${displaystyle R_{H}}$ ist die Rydberg-Konstante.

Golffunktionen für nein=1 und nein=2

Grundzustand

${displaystyle Psi _{100}={sqrt {1 über pi a_{0}^{3}}}e^{-r/a_{0}}}$

Erster angeregter Zustand

${displaystyle Psi _{200}={sqrt {1 over 32pi a_{0}^{3}}}left(2-{r over a_{0}}ight)e^{-r/2a_{0}}}$

${displaystyle Psi _{210}={sqrt {1 over 32pi a_{0}^{3}}}left({r over a_{0}}ight)e^{-r/2a_{0}}cos vartheta }$

${displaystyle Psi _{2,1,pm 1}={sqrt {1 over 64pi a_{0}^{3}}}left({r over a_{0}}ight)e^{-r/2a_{0 }}sünde vartheta ;e^{pm ivarphi }}$

Korrekturen

Das obige Modell ist eine sehr gute Näherung, obwohl die Masse des Atomkerns ${Anzeigestil M}$ wird als unendlich groß angenommen im Vergleich zu ${displaystyle m_{e}}$ und relativistische Korrekturen werden nicht berücksichtigt.

Die endliche Kernmasse lässt sich in den Formeln leicht korrigieren durch ${displaystyle m_{e}}$ durch die ersetzt werden reduzierte Masse${displaystyle m_{r}=m_{e}M/(M m_{e})}$.

Aufgrund relativistischer Korrekturen sind die Energieniveaus nicht mehr nur von ${displaystyle n}$ abhängig. Die Spektrallinien haben a Feine Struktur.

Wasserstoffähnliche Ionen

Das Modell gilt auch für 1-Elektronen-Ionen He⁺, Li²⁺ usw. mit Kernladung Ze, wenn in der Schrödinger-Gleichung e² durch Ze² ersetzt wird. In der Lösung a. ändert sich₀ in einem₀/Z und E_nein fügt einen Faktor von Z² hinzu. Die Energieniveaus liegen dann um den Faktor Z² tiefer.