WikiDer > Слабая формулировка

Слабые составы являются важными инструментами для анализа математических уравнения которые разрешают передачу концепции из линейная алгебра для решения проблем в других областях, таких как уравнения в частных производных. В слабой формулировке уравнение больше не требуется для абсолютного выполнения (и это даже не определено четко), а вместо этого слабые решения только в отношении определенных "тестовых векторов" или "тестовые функции". Это равносильно постановке проблемы, требующей решения в смысле распространение.^{[нужна цитата]}

Мы вводим слабые формулировки на нескольких примерах и представляем основную теорему для решения: Теорема Лакса – Милграма. Теорема названа в честь Питер Лакс и Артур Милгрэм, который доказал это в 1954 году.

Общая концепция

Позволять ${ displaystyle V}$ быть Банахово пространство. Мы хотим найти решение ${ displaystyle u in V}$ уравнения

${ displaystyle Au = f}$,

куда ${ Displaystyle A двоеточие V to V '}$ и ${ displaystyle f in V '}$, с ${ displaystyle V '}$ будучи двойной из ${ displaystyle V}$.

Это эквивалентно нахождению ${ displaystyle u in V}$ такой, что для всех ${ displaystyle v in V}$ держит:

${ Displaystyle [Au] (v) = f (v)}$.

Здесь мы называем ${ displaystyle v}$ тестовый вектор или тестовая функция.

Мы приводим это в общую форму слабой формулировки, а именно находим ${ displaystyle u in V}$ такой, что

${ Displaystyle а (и, v) = е (v) четырехъядерный forall v в V,}$

путем определения билинейная форма

${ displaystyle a (u, v): = [Au] (v).}$

Поскольку это очень абстрактно, давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: линейная система уравнений

Теперь позвольте ${ Displaystyle V = mathbb {R} ^ {n}}$ и ${ displaystyle A: V to V}$ - линейное отображение. Тогда слабая формулировка уравнения

${ displaystyle Au = f}$

включает поиск ${ displaystyle u in V}$ такой, что для всех ${ displaystyle v in V}$ имеет место следующее уравнение:

${ Displaystyle langle Au, v rangle = langle f, v rangle,}$

куда ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ обозначает внутренний продукт.

С ${ displaystyle A}$ является линейным отображением, достаточно проверить с базисными векторами, и мы получаем

${ displaystyle langle Au, e_ {i} rangle = langle f, e_ {i} rangle quad i = 1, ldots, n.}$

Собственно, расширение ${ displaystyle u = sum _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} e_ {j}}$, получаем матричную форму уравнения

${ displaystyle mathbf {A} mathbf {u} = mathbf {f},}$

куда ${ displaystyle a_ {ij} = langle Ae_ {j}, e_ {i} rangle}$ и ${ displaystyle f_ {i} = langle f, e_ {i} rangle}$.

Билинейная форма, связанная с этой слабой формулировкой, есть

${ displaystyle a (u, v) = mathbf {v} ^ {T} mathbf {A} mathbf {u}.}$

Пример 2: уравнение Пуассона

Наша цель - решить Уравнение Пуассона

${ displaystyle - nabla ^ {2} и = е,}$

на домене ${ displaystyle Omega subset mathbb {R} ^ {d}}$ с ${ displaystyle u = 0}$ на его границе, и мы хотим указать пространство решений ${ displaystyle V}$ потом. Мы будем использовать ${ displaystyle L ^ {2}}$-скалярный продукт

${ displaystyle langle u, v rangle = int _ { Omega} uv , dx}$

чтобы вывести нашу слабую формулировку. Затем тестирование с дифференцируемыми функциями ${ displaystyle v}$, мы получили

${ displaystyle - int _ { Omega} ( nabla ^ {2} u) v , dx = int _ { Omega} fv , dx.}$

Мы можем сделать левую часть этого уравнения более симметричной, интеграция по частям с помощью Личность Грина и предполагая, что ${ displaystyle v = 0}$ на ${ displaystyle partial Omega}$:

${ displaystyle int _ { Omega} nabla u cdot nabla v , dx = int _ { Omega} fv , dx.}$

Это то, что обычно называют слабой формулировкой Уравнение Пуассона. Нам еще предстоит указать пробел ${ displaystyle V}$ в котором нужно найти решение, но, как минимум, он должен позволить нам записать это уравнение. Поэтому мы требуем, чтобы функции в ${ displaystyle V}$ равны нулю на границе и имеют интегрируемые с квадратом производные. Подходящим пространством для удовлетворения этих требований является Соболевское пространство ${ displaystyle H_ {0} ^ {1} ( Omega)}$ функций с слабые производные в ${ Displaystyle L ^ {2} ( Omega)}$ и с нулевыми граничными условиями, поэтому положим ${ Displaystyle V = H_ {0} ^ {1} ( Omega)}$

Мы получаем общий вид, полагая

${ Displaystyle а (и, v) = int _ { Omega} набла и cdot набла v , dx}$

и

${ Displaystyle f (v) = int _ { Omega} fv , dx.}$

Теорема Лакса – Милграма

Это формулировка Теорема Лакса – Милграма которое опирается на свойства симметричной части билинейная форма. Это не самая общая форма.

Позволять ${ displaystyle V}$ быть Гильбертово пространство и ${ Displaystyle а ( cdot, cdot)}$ а билинейная форма на ${ displaystyle V}$, который

1. ограниченный: ${ Displaystyle | а (и, v) | Leq С | и | | v |}$ и
2. принудительный: ${ Displaystyle а (и, и) geq с | и | ^ {2}.}$

Тогда для любого ${ displaystyle f in V '}$, есть уникальное решение ${ displaystyle u in V}$ к уравнению

${ Displaystyle а (и, v) = е (v) quad forall v in V}$

и он держит

${ displaystyle | u | leq { frac {1} {c}} | f | _ {V '}.}$

Применение к примеру 1

Здесь применение теоремы Лакса – Милграма определенно является более сильным результатом, чем необходимо, но мы все же можем использовать его и придать этой проблеме ту же структуру, что и другие.

• Ограниченность: все билинейные формы на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ ограничены. В частности, у нас есть

  ${ Displaystyle | а (и, v) | Leq | A | , | и | , | v |}$

• Коэрцитивность: на самом деле это означает, что действительные части собственных значений ${ displaystyle A}$ не меньше чем ${ displaystyle c}$. Поскольку это, в частности, означает, что никакое собственное значение не равно нулю, система разрешима.

Дополнительно получаем оценку

${ displaystyle | u | leq { frac {1} {c}} | f |,}$

куда ${ displaystyle c}$ - минимальная действительная часть собственного значения ${ displaystyle A}$.

Применение к примеру 2

Здесь, как мы упоминали выше, мы выбираем ${ Displaystyle V = H_ {0} ^ {1} ( Omega)}$ с нормой

${ Displaystyle | v | _ {V}: = | набла v |,}$

где норма справа - это ${ displaystyle L ^ {2}}$-норма на ${ displaystyle Omega}$ (это дает истинную норму ${ displaystyle V}$ посредством Неравенство ПуанкареНо мы видим, что ${ Displaystyle | а (и, и) | = | набла и | ^ {2}}$ и по Неравенство Коши – Шварца, ${ Displaystyle | а (и, v) | leq | набла и | , | набла v |}$.

Поэтому для любого ${ displaystyle f in [H_ {0} ^ {1} ( Omega)] '}$, есть уникальное решение ${ displaystyle u in V}$ из Уравнение Пуассона и имеем оценку

${ displaystyle | nabla u | leq | f | _ {[H_ {0} ^ {1} ( Omega)] '}.}$

Смотрите также

• Теорема Бабушки – Лакса – Милграма
• Теорема Лайонса – Лакса – Милграма

Рекомендации

• Лакс, Питер Д.; Милгрэм, Артур Н. (1954), "Параболические уравнения", Вклад в теорию дифференциальных уравнений в частных производных, Анналы математических исследований, 33, Принстон, Н. Дж.: Princeton University Press, стр. 167–190, Дои:10.1515/9781400882182-010, Г-Н 0067317, Zbl 0058.08703

внешняя ссылка

• Страница MathWorld по теореме Лакса – Милграма