WikiDer > Среднее арифметическое взвешенное
В средневзвешенное арифметическое похож на обычный среднее арифметическое (самый распространенный вид средний), за исключением того, что вместо того, чтобы каждая из точек данных вносила равный вклад в окончательное среднее значение, некоторые точки данных вносили больший вклад, чем другие. Понятие взвешенного среднего играет роль в описательная статистика а также встречается в более общей форме в нескольких других областях математики.
Если все веса равны, то средневзвешенное значение совпадает с среднее арифметическое. В то время как взвешенные средние обычно ведут себя аналогично средним арифметическим, у них действительно есть несколько нелогичных свойств, как, например, зафиксировано в Парадокс Симпсона.
Примеры
Базовый пример
Учитывая два школьных класса, один с 20 учениками и один с 30 учениками, оценки в каждом классе по тесту были:
- Утреннее занятие = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98
- Дневной класс = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93 , 94, 95, 96, 97, 98, 99
Среднее значение для утреннего класса составляет 80, а для дневного класса - 90. Невзвешенное среднее двух средних составляет 85. Однако это не учитывает разницу в количестве студентов в каждом классе (20 против 30); следовательно, значение 85 не отражает среднюю оценку учащегося (независимо от класса). Среднюю оценку студента можно получить путем усреднения всех оценок без учета классов (сложите все оценки и разделите на общее количество студентов):
Или это может быть достигнуто путем взвешивания средних значений класса по количеству учеников в каждом классе. Большему классу придается больший «вес»:
Таким образом, средневзвешенное значение позволяет найти среднюю оценку учащегося, не зная оценки каждого учащегося. Требуются только средства класса и количество учеников в каждом классе.
Пример выпуклой комбинации
Поскольку только относительный веса имеют значение, любое средневзвешенное значение может быть выражено с помощью коэффициентов, которые в сумме равны единице. Такая линейная комбинация называется выпуклое сочетание.
Используя предыдущий пример, мы получили бы следующие веса:
Затем примените такие веса:
Математическое определение
Формально средневзвешенное непустое конечное мультимножество данных с соответствующими неотрицательными веса является
который расширяется до:
Следовательно, элементы данных с высоким весом вносят больший вклад в средневзвешенное значение, чем элементы с низким весом. Вес не может быть отрицательным. Некоторые из них могут быть равны нулю, но не все (поскольку деление на ноль недопустимо).
Формулы упрощаются, если веса нормализованы так, что они в сумме составляют , то есть:
- .
Тогда для таких нормализованных весов средневзвешенное значение будет:
- .
Обратите внимание, что всегда можно нормализовать веса, сделав следующее преобразование исходных весов:
- .
Использование нормализованного веса дает те же результаты, что и при использовании исходных весов:
В обычное среднее является частным случаем взвешенного среднего, когда все данные имеют равные веса.
В стандартная ошибка среднего взвешенного (отклонения затрат на единицу), может быть показано через распространение неопределенности быть:
Статистические свойства
Средневзвешенное значение выборки, , сама по себе является случайной величиной. Его ожидаемое значение и стандартное отклонение связаны с ожидаемыми значениями и стандартными отклонениями наблюдений следующим образом. Для простоты мы предполагаем нормализованные веса (веса, суммирующие единицу).
Если наблюдения имеют ожидаемые значения
тогда средневзвешенное значение выборки имеет ожидание
В частности, если средства равны, , то ожидание средневзвешенного выборочного среднего будет этим значением,
Для некоррелированных наблюдений с отклонениями , дисперсия средневзвешенного выборочного значения равна[нужна цитата]
чей квадратный корень можно назвать стандартная ошибка средневзвешенного значения (общий случай).[нужна цитата]
Следовательно, если все наблюдения имеют одинаковую дисперсию, , средневзвешенное значение выборки будет иметь дисперсию
куда . Дисперсия достигает максимального значения, , когда все веса, кроме единицы, равны нулю. Его минимальное значение находится, когда все веса равны (т.е. невзвешенное среднее), и в этом случае мы имеем , т.е. вырождается в стандартная ошибка среднего, в квадрате.
Обратите внимание: поскольку всегда можно преобразовать ненормализованные веса в нормализованные веса, все формулы в этом разделе могут быть адаптированы к ненормализованным весам, заменив все .
Веса дисперсии
Для средневзвешенного списка данных, для которого каждый элемент потенциально происходит из другого распределение вероятностей с известными отклонение , один из возможных вариантов весов - величина, обратная дисперсии:
Средневзвешенное значение в этом случае:
и стандартная ошибка средневзвешенного значения (с весами дисперсии) является:
Обратите внимание, что это сводится к когда все .Это частный случай общей формулы из предыдущего раздела,
Приведенные выше уравнения можно объединить для получения:
Значение этого выбора в том, что это средневзвешенное значение является оценщик максимального правдоподобия среднего вероятностных распределений в предположении, что они независимы и нормально распределенный с тем же средним.
Корректировка чрезмерной или недостаточной дисперсии
Взвешенные средние обычно используются для нахождения взвешенного среднего исторических данных, а не теоретически сгенерированных данных. В этом случае будет некоторая ошибка в дисперсии каждой точки данных. Обычно экспериментальные ошибки могут быть недооценены из-за того, что экспериментатор не принимает во внимание все источники ошибок при вычислении дисперсии каждой точки данных. В этом случае необходимо скорректировать дисперсию средневзвешенного значения, чтобы учесть тот факт, что слишком большой. Исправление, которое необходимо сделать, это
куда это уменьшенный хи-квадрат:
Квадратный корень можно назвать стандартная ошибка средневзвешенного значения (веса дисперсии, скорректированная шкала).
Когда все отклонения данных равны, , они сокращаются в средневзвешенной дисперсии, , что снова сводится к стандартная ошибка среднего (в квадрате), , сформулированные в терминах стандартное отклонение выборки (в квадрате),
Проверка загрузки
Это было показано самонастройка методы, которые являются точной оценкой квадрата стандартной ошибки среднего (общий случай):[1]
куда . Дальнейшее упрощение приводит к
Взвешенная дисперсия выборки
Обычно при вычислении среднего значения важно знать отклонение и стандартное отклонение о том, что имею ввиду. Когда взвешенное среднее , дисперсия взвешенной выборки отличается от дисперсии невзвешенной выборки.
В пристрастный взвешенный выборочная дисперсия определяется аналогично нормальному пристрастный выборочная дисперсия :
куда , который для нормированных весов. Если веса частотные веса (и, следовательно, являются случайными величинами), можно показать, что оценка максимального правдоподобия за iid Гауссовские наблюдения.
Для небольших образцов принято использовать объективный оценщик для дисперсии населения. В нормальных невзвешенных выборках N в знаменателе (соответствующем размеру выборки) заменяется на N - 1 (см. Поправка Бесселя). Во взвешенной настройке на самом деле есть две разные несмещенные оценки, одна для случая частотные веса и еще один для случая веса надежности.
Частотные веса
Если веса частотные веса[необходимо определение], то несмещенная оценка:
Это эффективно применяет поправку Бесселя для частотных весов.
Например, если значения взяты из одного и того же распределения, то мы можем рассматривать этот набор как невзвешенную выборку, или мы можем рассматривать его как взвешенную выборку с соответствующими весами , и в любом случае мы получим тот же результат.
Если частотные веса нормализованы к 1, то правильное выражение после поправки Бесселя становится
где общее количество выборок (нет ). В любом случае информация об общем количестве образцов необходима для получения объективной поправки, даже если имеет другое значение, кроме частотного веса.
Обратите внимание, что оценка может быть несмещенной, только если веса не стандартизированный ни нормализованный, эти процессы изменяют среднее значение и дисперсию данных и, таким образом, приводят к потеря базовой ставки (подсчет населения, необходимый для поправки Бесселя).
Весы надежности
Если веса вместо этого не случайны (веса надежности[необходимо определение]), мы можем определить поправочный коэффициент, чтобы получить несмещенную оценку. Предполагая, что каждая случайная величина выбирается из одного и того же распределения со средним значением и фактическая дисперсия , принимая наши ожидания,
куда . Следовательно, смещение в нашей оценке равно , аналогично смещение в невзвешенной оценке (также обратите внимание, что это эффективный размер выборки). Это означает, что для получения объективной оценки нашей оценки нам необходимо предварительно разделить на , гарантируя, что ожидаемое значение оцененной дисперсии равно фактической дисперсии выборочного распределения.
Окончательная объективная оценка дисперсии выборки:
- ,[2]
куда .
Степени свободы взвешенной несмещенной дисперсии выборки соответственно изменяются от N - от 1 до 0.
Стандартное отклонение - это просто квадратный корень из приведенной выше дисперсии.
В качестве дополнительного примечания были описаны другие подходы для вычисления взвешенной дисперсии выборки.[3]
Ковариация взвешенной выборки
Во взвешенной выборке каждый вектор-строка (каждый набор отдельных наблюдений по каждому из K случайные величины) присваивается вес .
Тогда средневзвешенное значение вектор дан кем-то
А матрица взвешенной ковариации имеет вид:[4]
Как и в случае взвешенной выборочной дисперсии, существуют две разные несмещенные оценки в зависимости от типа весов.
Частотные веса
Если веса частотные веса, то беспристрастный взвешенная оценка ковариационной матрицы , с поправкой Бесселя, определяется как:[4]
Обратите внимание, что эта оценка может быть несмещенной, только если веса не стандартизированный ни нормализованный, эти процессы изменяют среднее значение и дисперсию данных и, таким образом, приводят к потеря базовой ставки (подсчет населения, необходимый для поправки Бесселя).
Весы надежности
В случае веса надежности, веса нормализованный:
(Если это не так, разделите веса на их сумму для нормализации перед вычислением :
Тогда средневзвешенное значение вектор можно упростить до
и беспристрастный взвешенная оценка ковариационной матрицы является:[5]
Рассуждения здесь те же, что и в предыдущем разделе.
Поскольку мы предполагаем, что веса нормализованы, тогда и это сводится к:
Если все веса одинаковы, т.е. , затем взвешенное среднее и ковариация сводятся к невзвешенному выборочному среднему и ковариации, указанным выше.
Векторнозначные оценки
Сказанное легко обобщается на случай усреднения векторных оценок. Например, оценки положения на самолете могут иметь меньшую уверенность в одном направлении, чем в другом. Как и в скалярном случае, средневзвешенное значение нескольких оценок может дать максимальная вероятность оценивать. Мы просто заменяем дисперсию посредством ковариационная матрица и арифметический обратный посредством матрица обратная (оба обозначаются одинаково, через верхний индекс); матрица весов будет выглядеть так:[6]
Средневзвешенное значение в этом случае:
(где порядок матрично-векторное произведение не является коммутативный) в терминах ковариации взвешенного среднего:
Например, рассмотрим средневзвешенное значение точки [1 0] с высокой дисперсией во втором компоненте и [0 1] с высокой дисперсией в первом компоненте. потом