WikiDer > Уравнения Вейнгартена

Weingarten equations

Уравнения Вейнгартена дают разложение производной единичного вектора нормали к поверхности через первые производные вектор положения этой поверхности. Эти формулы были установлены в 1861 году немецким математиком Юлиус Вайнгартен.[1]

Утверждение в классической дифференциальной геометрии

Позволять S быть поверхностью в трехмерном Евклидово пространство который параметризуется вектором положения р(ты, v) поверхности. Позволять п = п(ты, v) - неподвижная точка на этой поверхности. потом

два касательных вектора в точке п.

Позволять п быть единицей нормальный вектор и разреши (E, F, грамм) и (L, M, N) - коэффициенты при первый и вторые основные формы этой поверхности соответственно. Уравнение Вейнгартена дает первую производную единичного вектора нормали п в точке п в терминах касательных векторов рты и рv:

В индексных обозначениях это можно компактно выразить как

,

куда Kab - компоненты тензора кривизны поверхности.

Примечания

  1. ^ Дж. Вайнгартен (1861 г.). "Ueber eine Klasse auf einander abwickelbarer Flächen". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 59: 382–393.

Рекомендации