WikiDer > Тождество Вайнштейна – Ароншайна

В математика, то Тождество Вайнштейна – Ароншайна заявляет, что если ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ находятся матрицы размера м × п и п × м соответственно (один или оба из которых могут быть бесконечными), то при условии ${ displaystyle AB}$ имеет класс трассировки (а значит, и ${ displaystyle BA}$),

${ Displaystyle Det (I_ {m} + AB) = Det (I_ {n} + BA),}$

куда ${ displaystyle I_ {k}}$ это k × k единичная матрица.

Это тесно связано с Лемма о детерминанте матрицы и его обобщение. Это детерминант аналог Тождество матрицы Вудбери для обратных матриц.

Доказательство

Тождество можно доказать следующим образом.^[1] Позволять ${ displaystyle M}$ быть матрицей, состоящей из четырех блоки ${ displaystyle I_ {m}}$, ${ displaystyle -A}$, ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle I_ {n}}$.

${ displaystyle M = { begin {pmatrix} I_ {m} & - A B & I_ {n} end {pmatrix}}.}$

Потому что я_м является обратимый, формула для определителя блочной матрицы дает

${ displaystyle det { begin {pmatrix} I_ {m} & - A B & I_ {n} end {pmatrix}} = det (I_ {m}) det (I_ {n} -BI_ {m } ^ {- 1} (- A)) = det (I_ {n} + BA).}$

Потому что я_п обратима, формула определителя блочной матрицы дает

${ displaystyle det { begin {pmatrix} I_ {m} & - A B & I_ {n} end {pmatrix}} = det (I_ {n}) det (I_ {m} - (- A ) I_ {n} ^ {- 1} B) = det (I_ {m} + AB).}$

Таким образом

${ displaystyle det (I_ {n} + BA) = det (I_ {m} + AB).}$

Приложения

Эта идентификация полезна при разработке Байесовская оценка за многомерные гауссовские распределения.

Идентичность также находит применение в теория случайных матриц связывая определители больших матриц с определителями меньших матриц.^[2]

Рекомендации

Этот линейная алгебра-связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это. v т е