WikiDer > Теорема Винера – Икехары

В Теорема Винера – Икехары это Тауберова теорема представлен Шикао Икехара (1931). Это следует из Тауберова теорема Винера, и может использоваться для доказательства теорема о простых числах (PNT) (Чандрасекхаран, 1969).

Заявление

Позволять А(Икс) быть неотрицательным, монотонный неубывающая функция Икс, определенный для 0 ≤Икс <∞. Предположим, что

${displaystyle f (s) = int _ {0} ^ {infty} A (x) e ^ {- xs}, dx}$

сходится при ℜ (s)> 1 к функции ƒ(s) и что для некоторого неотрицательного числа c,

${displaystyle f (s) - {frac {c} {s-1}}}$

имеет расширение как непрерывная функция для ℜ (s) ≥ 1, тогда предел в качестве Икс уходит в бесконечность е^−Икс А(Икс) равно c.

Одно конкретное приложение

Важное теоретико-числовое приложение теоремы: Серия Дирихле формы

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} a (n) n ^ {- s}}$

куда а(п) неотрицательно. Если ряд сходится к аналитической функции в

${displaystyle Re (s) geq b}$

с простым полюсом вычета c в s = б, тогда

${displaystyle sum _ {nleq X} a (n) sim {frac {c} {b}} X ^ {b}.}$

Применяя это к логарифмической производной от Дзета-функция Римана, где коэффициенты ряда Дирихле являются значениями функция фон Мангольдта, можно вывести PNT из того факта, что дзета-функция не имеет нулей на линии

${displaystyle Re (s) = 1.}$

Рекомендации

• С. Икехара (1931), «Расширение теоремы Ландау в аналитической теории чисел», Журнал математики и физики Массачусетского технологического института, 10: 1–12, Zbl 0001.12902
• Винер, Норберт (1932), "Тауберовы теоремы", Анналы математики, Вторая серия, 33 (1): 1–100, Дои:10.2307/1968102, ISSN 0003-486X, JFM 58.0226.02, JSTOR 1968102
• К. Чандрасекхаран (1969). Введение в аналитическую теорию чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag. ISBN 3-540-04141-9.
• Хью Л. Монтгомери; Роберт К. Воан (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория. Кембриджские трактаты по высшей математике. 97. Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. С. 259–266. ISBN 0-521-84903-9.