WikiDer > Теорема Винера – Леви

Wiener–Lévy theorem

Теорема Винера – Леви это теорема в Анализ Фурье, который утверждает, что функция абсолютно сходящегося ряда Фурье при некоторых условиях имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. Теорема была названа в честь Норберт Винер и Поль Леви.

Норберт Винер впервые доказано Винера 1 /ж теорема^[1] видеть Теорема Винера. В нем говорится, что если $ж$ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье и никогда не равен нулю, то его обратный $1/ ж$ также имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье.

Теорема Винера – Леви

Пол Леви обобщенный результат Винера,^[2] показывая это

Позволять ${ Displaystyle F ( theta) = sum limits _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {k} e ^ {ik theta}, quad theta in [0,2 pi ]}$ - абсолютно сходящийся ряд Фурье с

{ displaystyle | F | = sum limits _ {k = - infty} ^ { infty} | c_ {k} | < infty.}

Ценности ${ Displaystyle F ( theta)}$ лежать на кривой ${ displaystyle C}$ , и ${ displaystyle H (t)}$ является аналитической (не обязательно однозначной) функцией комплексной переменной, регулярной в каждой точке ${ displaystyle C}$ . потом ${ Displaystyle Н [F ( theta)]}$ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье.

Доказательство можно найти в классической книге Зигмунда. Тригонометрический ряд.^[3]

Пример

Позволять ${ Displaystyle Н ( тета) = пер ( тета)}$ и ${ Displaystyle F ( theta) = sum limits _ {k = 0} ^ { infty} p_ {k} e ^ {ik theta}, ( sum limits _ {k = 0} ^ { infty} p_ {k} = 1}$ ) является характеристическая функция дискретного распределения вероятностей. Так ${ Displaystyle F ( theta)}$ является абсолютно сходящимся рядом Фурье. Если ${ Displaystyle F ( theta)}$ не имеет нулей, то имеем

{ displaystyle H [F ( theta)] = ln left ( sum limits _ {k = 0} ^ { infty} p_ {k} e ^ {ik theta} right) = sum _ {k = 0} ^ { infty} c_ {k} e ^ {ik theta},}

куда ${ displaystyle | H | = sum limits _ {k = 0} ^ { infty} | c_ {k} | < infty.}$

Статистическое применение этого примера можно найти в дискретных псевдо составное распределение Пуассона^[4] и модель без наддува.

Если дискретная с.в.  ${ displaystyle X}$  с  ${ Displaystyle Pr (X = я) = P_ {я}}$ ,  ${ Displaystyle я в mathbb {N}}$ , имеет производящую функцию вероятности вида

{ displaystyle P (z) = sum limits _ {i = 0} ^ { infty} P_ {i} z ^ {i} = exp left { sum limits _ {i = 1} ^ { infty} alpha _ {i} lambda (z ^ {i} -1) right }, z = e ^ {ik theta}}

куда ${ Displaystyle сумма пределы _ {я = 1} ^ { infty} альфа _ {я} = 1}$ , ${ displaystyle sum limits _ {i = 1} ^ { infty} left | alpha _ {i} right | < infty}$ , ${ displaystyle alpha _ {я} in mathbb {R}}$ , и ${ displaystyle lambda> 0}$ . потом ${ displaystyle X}$ имеет дискретное псевдосоставное распределение Пуассона, сокращенно DPCP.