WikiDer > Уиллмор энергия

Willmore energy
Скульптура Willmore Surface в Даремском университете памяти Томаса Уиллмора

В дифференциальная геометрия, то Уиллмор энергия количественная мера того, сколько поверхность отклоняется от раунда сфера. Математически энергия Уиллмора гладкий; плавный закрытая поверхность встроенный в трехмерном Евклидово пространство определяется как интеграл площади средняя кривизна минус Гауссова кривизна. Назван в честь английского геометра. Томас Уиллмор.

Определение

Выраженная символически, энергия Уиллмора S является:

куда это средняя кривизна, это Гауссова кривизна, и dA это форма площади S. Для закрытой поверхности Теорема Гаусса – Бонне, интеграл от гауссовой кривизны может быть вычислен через Эйлерова характеристика поверхности, поэтому

который является топологический инвариант и, таким образом, не зависит от конкретного вложения в это было выбрано. Таким образом, энергия Уиллмора может быть выражена как

Альтернативная, но эквивалентная формула:

куда и являются основные кривизны поверхности.

Характеристики

Энергия Уиллмора всегда больше или равна нулю. Вокруг сфера имеет нулевую энергию Уиллмора.

Энергию Уиллмора можно рассматривать как функционал на пространстве вложений данной поверхности в смысле вариационное исчисление, и можно варьировать вложение поверхности, не изменяя ее топологию.

Критические точки

Основная проблема в вариационное исчисление найти критические точки и минимумы функционала.

Для данного топологического пространства это эквивалентно нахождению критических точек функции

поскольку эйлерова характеристика постоянна.

(Локальные) минимумы энергии Уиллмора можно найти с помощью градиентный спуск, который в этом контексте называется потоком Уиллмора.

Для вложений сферы в 3-пространство критические точки классифицированы:[1] они все конформные преобразования из минимальные поверхности, круглая сфера является минимумом, а все другие критические значения - целые числа больше или равные 4. Их называют поверхностями Уиллмора.

Уиллмор Флоу

В Уиллмор Флоу это геометрический поток соответствует энергии Уиллмора; это -градиентный поток.

куда ЧАС стоит за средняя кривизна из многообразие .

Линии потока удовлетворяют дифференциальному уравнению:

куда - точка, принадлежащая поверхности.

Этот поток приводит к проблеме эволюции в дифференциальная геометрия: поверхность эволюционирует во времени, чтобы следовать за вариациями наискорейшего спуска энергии. подобно поверхностная диффузия это поток четвертого порядка, так как изменение энергии содержит четвертые производные.

Приложения

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Брайант, Роберт Л. (1984), «Теорема двойственности для поверхностей Уиллмора», Журнал дифференциальной геометрии, 20 (1): 23–53, Г-Н 0772125.
  2. ^ Мюллер, Стефан; Рёгер, Маттиас (май 2014 г.). «Замкнутые конструкции с наименьшей энергией изгиба». Журнал дифференциальной геометрии. 97 (1): 109–139. Дои:10.4310 / jdg / 1404912105.

Рекомендации

  • Уиллмор, Т. Дж. (1992), "Обзор погружений Уилмора", Геометрия и топология подмногообразий, IV (Лёвен, 1991)., River Edge, NJ: World Scientific, стр. 11–16, Г-Н 1185712.