WikiDer > Теорема Виттса - Википедия

«Теорема Витта» или «теорема Витта» могут также относиться к Теорема Бурбаки – Витта о неподвижной точке теории порядка.

В математике Теорема Витта, названный в честь Эрнст Витт, является основным результатом алгебраической теории квадратичные формы: любой изометрия между двумя подпространствами неособого квадратичное пространство через поле k может быть расширен до изометрии всего пространства. Аналогичное утверждение верно и для кососимметричных, эрмитовых и косоэрмитовых билинейные формы над произвольными полями. Теорема применима к классификации квадратичных форм над k и, в частности, позволяет определить Группа Витта W(k), описывающая "стабильную" теорию квадратичных форм над полем k.

Заявление

Позволять (V, б) - конечномерное векторное пространство над поле k из характеристика отличается от 2 вместе с невырожденным симметричным или кососимметричным билинейная форма. Если ж : U → U′ является изометрия между двумя подпространствами V тогда ж распространяется на изометрию V.

Из теоремы Витта следует, что размерность максимального полностью изотропное подпространство (пустое пространство) из V инвариант, называемый индекс или же Индекс Витта из б,^[1] и более того, что группа изометрии из (V, б) действует транзитивно на множестве максимальных изотропных подпространств. Этот факт играет важную роль в теории структуры и теория представлений группы изометрий и в теории редуктивные дуальные пары.

Теорема Витта об отмене

Позволять (V, q), (V₁, q₁), (V₂, q₂) - три квадратичных пространства над полем k. Предположить, что

${ displaystyle (V_ {1}, q_ {1}) oplus (V, q) simeq (V_ {2}, q_ {2}) oplus (V, q).}$

Тогда квадратичные пространства (V₁, q₁) и (V₂, q₂) изометричны:

${ displaystyle (V_ {1}, q_ {1}) simeq (V_ {2}, q_ {2}).}$

Другими словами, прямое слагаемое (V, q) появляющиеся в обеих частях изоморфизма между квадратичными пространствами могут быть «сокращены».

Теорема Витта о разложении

Позволять (V, q) быть квадратичным пространством над полем k. Тогда он допускает Разложение Витта:

${ displaystyle (V, q) simeq (V_ {0}, 0) oplus (V_ {a}, q_ {a}) oplus (V_ {h}, q_ {h}),}$

куда V₀ = ker q это радикальный из q, (V_а, q_а) является анизотропное квадратичное пространство и (V_час, q_час) это разделить квадратичное пространство. Кроме того, анизотропное слагаемое, названное основная форма, и гиперболическое слагаемое в разложении Витта (V, q) определены однозначно с точностью до изоморфизма.^[2]

Квадратичные формы с одинаковой основной формой называются похожий или же Эквивалент Витта.

Цитаты

Рекомендации

• Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра, стр.121
• Лам, Цит-Юэн (2005), Введение в квадратичные формы над полями, Аспирантура по математике, 67, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1095-2, МИСТЕР 2104929, Zbl 1068.11023
• Лоренц, Фалько (2008), Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и продвинутые темы, Springer-Verlag, стр. 15–27, ISBN 978-0-387-72487-4, Zbl 1130.12001
• О'Мира, О. Тимоти (1973), Введение в квадратичные формы, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 117, Springer-Verlag, Zbl 0259.10018