WikiDer > Уравнение Янга – Бакстера

Yang–Baxter equation

В физика, то Уравнение Янга – Бакстера (или же связь звезда – треугольник) это уравнение согласованности который был впервые представлен в области статистическая механика. Это зависит от идеи, что в некоторых ситуациях рассеяния частицы могут сохранять свой импульс при изменении своих квантовых внутренних состояний. В нем говорится, что матрица , действуя на два объекта из трех, удовлетворяет

В одномерных квантовых системах - матрица рассеяния, и если она удовлетворяет уравнению Янга – Бакстера, то система имеет вид интегрируемый. Уравнение Янга – Бакстера также появляется при обсуждении теория узлов и группы кос куда соответствует замене двух нитей. Поскольку можно поменять местами три нити двумя разными способами, уравнение Янга – Бакстера требует, чтобы оба пути были одинаковыми.

Иллюстрация уравнения Янга – Бакстера

Он получил свое название от самостоятельной работы К. Н. Ян с 1968 г. и Р. Дж. Бакстер с 1971 г.

Общий вид уравнения Янга – Бакстера, зависящего от параметров

Позволять быть единый ассоциативный алгебра. В самом общем виде зависящее от параметров уравнение Янга – Бакстера представляет собой уравнение для , зависящий от параметра элемент тензорное произведение (здесь, и параметры, которые обычно находятся в диапазоне действительные числа ℝ в случае аддитивного параметра или более положительные действительные числа+ в случае мультипликативного параметра).

Позволять за , с гомоморфизмами алгебр определяется по

Общий вид уравнения Янга – Бакстера имеет вид

для всех значений , и .

Независимая от параметров форма

Позволять - ассоциативная алгебра с единицей. Не зависящее от параметров уравнение Янга – Бакстера представляет собой уравнение для , обратимый элемент тензорного произведения . Уравнение Янга – Бакстера имеет вид

куда , , и .

Альтернативная форма и представления группы кос

Позволять быть модуль из , и . Позволять линейное отображение, удовлетворяющее для всех . Тогда уравнение Янга – Бакстера имеет следующую альтернативную форму в терминах на .

.

В качестве альтернативы мы можем выразить это в тех же обозначениях, что и выше, определяя , в этом случае альтернативная форма

В частном случае, не зависящем от параметров, когда не зависит от параметров, уравнение сводится к

,

и представление из группа кос, , можно построить на к за . Это представление можно использовать для определения квазиинвариантов косы, узлы и ссылки.

Параметризации и примеры решений

Общий анзац для вычислительных решений - свойство разности, , где R зависит только от одного (аддитивного) параметра. Аналогичным образом, логарифмируя, мы можем выбрать параметризацию , и в этом случае говорят, что R зависит от мультипликативного параметра. В этих случаях мы можем сократить YBE до двух свободных параметров в форме, упрощающей вычисления:

для всех значений и . Для мультипликативного параметра уравнение Янга – Бакстера имеет вид

для всех значений и .

Плетеные формы читаются как:

В некоторых случаях определитель может исчезнуть при определенных значениях спектрального параметра . Немного матрицы превращаются в одномерный проектор при . В этом случае можно определить квантовый детерминант[требуется разъяснение].

Примеры решений зависимого от параметров YBE

  • Особенно простой класс решений, зависящих от параметров, может быть получен из решений не зависящего от параметров YBE, удовлетворяющих , где соответствующее представление группы кос является представлением группы перестановок. В этом случае, (эквивалентно, ) является решением (аддитивного) зависящего от параметра YBE. В случае, когда и , это дает матрицу рассеяния Спиновая цепочка Heisenberg XXX.

Смотрите также

Рекомендации

  • Джимбо, Мичио (1989). «Введение в уравнение Янга-Бакстера». Международный журнал современной физики A. 4 (15): 3759–3777. Дои:10.1142 / S0217751X89001503. МИСТЕР 1017340.
  • Х.-Д. Добнер, Ж.-Д. Хенниг, ред. Квантовые группы, Труды 8-го Международного семинара по математической физике, Институт Арнольда Зоммерфельда, Клаусталь, ФРГ, 1989, Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9.
  • Виджаянти Чари и Эндрю Прессли, Руководство по квантовым группам(1994), Cambridge University Press, Кембридж ISBN 0-521-55884-0.
  • Жак Х. Х. Перк и Хелен Ау-Ян, "Уравнения Янга – Бакстера", (2006), arXiv:math-ph / 0606053.

внешняя ссылка