WikiDer > Присоединенный комплект

В математика, сопряженный пучок ^[1][2] это векторный набор естественно ассоциируется с любым основной пакет. Слои присоединенного пучка несут Алгебра Ли структура, превращающая присоединенный пучок в (неассоциативный) расслоение алгебры. Присоединенные расслоения имеют важные приложения в теории связи а также в калибровочная теория.

Формальное определение

Позволять грамм быть Группа Ли с Алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, и разреши п быть главный грамм-пучок через гладкое многообразие M. Позволять

${displaystyle mathrm {Ad}: G o mathrm {Aut} ({mathfrak {g}}) подмножество mathrm {GL} ({mathfrak {g}})}$

быть присоединенное представительство из грамм. В сопряженный пучок из п это связанный пакет

${displaystyle mathrm {ad} P = P imes ^ {mathrm {Ad}} {mathfrak {g}}}$

Присоединенное расслоение также обычно обозначают через ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {P}}$. Явно элементы присоединенного расслоения классы эквивалентности пар [п, Икс] за п ∈ п и Икс ∈ ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ такой, что

${displaystyle [pcdot g, x] = [p, mathrm {Ad} _ {g} (x)]}$

для всех грамм ∈ грамм. Поскольку структурная группа присоединенного расслоения состоит из алгебры Ли автоморфизмы, слои естественным образом несут структуру алгебры Ли, превращающую присоединенное расслоение в расслоение алгебр Ли над M.

Пример

Пусть G - любая группа Ли с замкнутой подгруппой H, и пусть L - алгебра Ли группы G. Поскольку G является группой топологических преобразований группы L присоединенным действием G, то есть для любого ${displaystyle uin G}$ , и ~${displaystyle lin L}$ , у нас есть ,

${displaystyle G imes Lightarrow L}$  определяется ${displaystyle (u, l) mapsto dalpha _ {u} (l)}$

куда ${displaystyle umapsto dalpha _ {u}}$ присоединенное представление группы G, ${displaystyle umapsto alpha _ {u}}$ является гомоморфизмом G в A, который является группой автоморфизмов G и ${displaystyle alpha _ {u}}$ отображение ${displaystyle rmapsto uru ^ {- 1}}$ G в себя. H - группа топологических преобразований L и, очевидно, для любого u в H ${displaystyle dalpha _ {u}: Lmapsto L}$ является автоморфизмом алгебры Ли.

поскольку H - замкнутая подгруппа группы Ли G, существует локально тривиальное главное расслоение над X = G / H, имеющее H в качестве структурной группы. Итак, существование координатных функций ${displaystyle g_ {ij}: U_ {i} cap U_ {j} ightarrow H}$ уверен, где ${displaystyle U_ {i}}$ - открытое покрытие для X. Тогда по теореме существования существует расслоение Ли ${displaystyle xi = (E, P, X, L, H)}$ с непрерывным отображением ${displaystyle Theta: xi oplus xi ightarrow xi}$ индуцируя на каждом слое скобку Ли.^[3]

Характеристики

Дифференциальные формы на M со значениями в ${displaystyle mathrm {ad} P}$ находятся во взаимно-однозначной переписке с горизонтальный, грамм-эквивариантный Алгебразначные формы Ли на п. Ярким примером является кривизна любой связь на п который можно рассматривать как 2-форму на M со значениями в ${displaystyle mathrm {ad} P}$.

Пространство сечений присоединенного расслоения естественным образом является (бесконечномерной) алгеброй Ли. Ее можно рассматривать как алгебру Ли бесконечномерной группы Ли калибровочные преобразования из п которые можно рассматривать как разделы пакета п ×^Ψ грамм где Ψ - действие грамм на себя спряжение.

Если ${displaystyle P = {mathcal {F}} (E)}$ это комплект кадров из векторный набор ${displaystyle E o M}$, тогда ${displaystyle P}$ имеет волокно общая линейная группа ${displaystyle operatorname {GL} (r)}$ (реальный или сложный, в зависимости от ${displaystyle E}$) куда ${displaystyle operatorname {rank} (E) = r}$. В этой структурной группе есть алгебра Ли, состоящая из всех ${displaystyle rimes r}$ матрицы ${displaystyle operatorname {Mat} (r)}$, и их можно рассматривать как эндоморфизмы векторного расслоения ${displaystyle E}$. Действительно, существует естественный изоморфизм ${displaystyle operatorname {ad} {mathcal {F}} (E) = operatorname {End} (E)}$.

Примечания

Рекомендации

• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, 1, Wiley Interscience, ISBN 0-471-15733-3
• Коларж, Иван; Михор, Питер; Словак, Ян (1993), Натуральные операторы в дифференциальной геометрии, Springer, стр. 161, 400, ISBN 978-3-662-02950-3. В качестве PDF