WikiDer > Анатолий Карацуба

Анатолий Алексеевич Карацуба
Родившийся	(1937-01-31)31 января 1937 г. Грозный, Советский союз
Умер	28 сентября 2008 г.(2008-09-28) (71 год) Москва, Россия
Национальность	русский
Альма-матер	Московский Государственный Университет
Научная карьера
Поля	Математик

Анатолий Алексеевич Карацуба (его имя часто пишется Анатолий) (русский: Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба; Грозный, Советский союз, 31 января 1937 г. - Москва, Россия, 28 сентября 2008 г.^[1]) был русский математик работает в сфере аналитическая теория чисел, п-адические числа и Серия Дирихле.

Большую часть своей студенческой и профессиональной жизни он был связан с Механико-математический факультет из Московский Государственный Университет, защищая D.Sc. там под названием «Метод тригонометрических сумм и промежуточных теорем» в 1966 году.^[2] Позже он занимал должность в Математический институт им. В.А. Стеклова из Академия Наук.^[2]

Его учебник Основы Аналитическая теория чисел вышел в два выпуска, 1975 и 1983 гг.^[2]

В Алгоритм Карацубы самый ранний из известных разделяй и властвуй алгоритм за умножение и живет как особый случай его прямого обобщения, Алгоритм Тоома – Кука.^[3]

Основные исследования Анатолия Карацубы опубликованы более чем в 160 научных статьях и монографиях.^[4]

Его дочь, Екатерина Карацуба, тоже математик, построил FEE метод.

Награды и звания

• 1981: Премия им. П.Л. Чебышева АН СССР.
• 1999: Заслуженный деятель науки России.
• 2001: Премия им. И.М. Виноградова Российской академии наук.

Ранние работы по информатике

Будучи студенткой МГУ им. М.В. Ломоносова, Карацуба посетила семинар Андрей Колмогоров и нашел решение двух задач, поставленных Колмогоровым. Это было важно для развития теории автоматов и положило начало новому разделу в математике - теории быстрых алгоритмов.

Автоматы

В статье Эдвард Ф. Мур,^[5] ${displaystyle (n; m; p)}$, автомат (или машина) ${displaystyle S}$, определяется как устройство с ${displaystyle n}$ состояния, ${displaystyle m}$ входные символы и ${displaystyle p}$ выходные символы. Девять теорем о строении ${displaystyle S}$ и эксперименты с ${displaystyle S}$ доказаны. Позже такие ${displaystyle S}$ машины получил имя Машины Мура. В конце статьи, в главе «Новые задачи», Мур формулирует задачу улучшения оценок, полученных им в теоремах 8 и 9:

Теорема 8 (Мур). Учитывая произвольную ${displaystyle (n; m; p)}$ машина ${displaystyle S}$, так что каждые два состояния можно отличить друг от друга, существует эксперимент продолжительности ${displaystyle n (n-1) / 2}$ что определяет состояние ${displaystyle S}$ в конце этого эксперимента.

В 1957 г. Карацуба доказал две теоремы, полностью решившие проблему Мура об улучшении оценки продолжительности эксперимента в его работе. Теорема 8..

Теорема А (Карацуба). Если ${displaystyle S}$ это ${displaystyle (n; m; p)}$ машина такая, что каждые два ее состояния можно отличить друг от друга, то существует разветвленный эксперимент продолжительностью не более ${displaystyle (n-1) (n-2) / 2 + 1}$, с помощью которых можно найти состояние ${displaystyle S}$ в конце эксперимента.

Теорема B (Карацуба). Существует ${displaystyle (n; m; p)}$ машины, каждое состояние которой можно отличить друг от друга, так что длина самого короткого эксперимента, на котором определяется состояние машины в конце эксперимента, равна ${displaystyle (n-1) (n-2) / 2 + 1}$.

Эти две теоремы были доказаны Карацубой на 4-м курсе в качестве основы его 4-летнего проекта; Соответствующая статья поступила в журнал «Успехи матем. наук» 17 декабря 1958 г. и опубликована в июне 1960 г.^[6] Вплоть до сегодняшнего дня (2011 г.) этот результат Карацубы, впоследствии получивший название «теорема Мура-Карацубы», остается единственным точным (единственный точный нелинейный порядок оценки) нелинейным результатом как в теории автоматов, так и в теории автоматов. в аналогичных задачах теории сложности вычислений.

Работает в области теории чисел

Основные исследования А.А. Карацубы опубликованы более чем в 160 научных статьях и монографиях.^{[7][8][9][10]}

В п-адический метод

А.А. Карацуба построил новую ${displaystyle p}$-адический метод в теории тригонометрических сумм.^[11] Оценки так называемых ${displaystyle L}$-суммы формы

${displaystyle S = sum _ {x = 1} ^ {P} e ^ {2pi i (a_ {1} x / p ^ {n} + точки a_ {n} x ^ {n} / p)}, quad ( a_ {s}, p) = 1, quad 1leq sleq n,}$

вел^[12] к новым оценкам нулей Дирихле ${displaystyle L}$-серии по модулю степени простого числа, к асимптотической формуле для числа сравнения Варинга вида

${displaystyle x_ {1} ^ {n} + точки + x_ {t} ^ {n} Equiv N {pmod {p ^ {k}}}, quad 1leq x_ {s} leq P, quad 1leq sleq n, quad P$

к решению задачи о распределении дробных частей многочлена с целыми коэффициентами по модулю ${displaystyle p ^ {k}}$. А.А. Карацуба первым осознал^[13] в ${displaystyle p}$-адической формы «принцип вложения» Эйлера-Виноградова и для вычисления ${displaystyle p}$-адический аналог Виноградова ${displaystyle u}$-числа при оценке числа решений сравнения типа Варинга.

Предположить, что : ${displaystyle x_ {1} ^ {n} + точки + x_ {t} ^ {n} Equiv N {pmod {Q}}, quad 1leq x_ {s} leq P, quad 1leq sleq t, quad (1)}$ и более того : ${displaystyle P ^ {r} leq Q$

куда ${displaystyle p}$ - простое число. Карацуба доказал, что в этом случае для любого натурального числа ${displaystyle ngeq 144}$ существует ${displaystyle p_ {0} = p_ {0} (n)}$ такой, что для любого ${displaystyle p_ {0}> p_ {0} (n)}$ каждое натуральное число ${displaystyle N}$ можно представить в виде (1) для ${displaystyle tgeq 20r + 1}$, и для ${displaystyle t$ существуют ${displaystyle N}$ такое, что сравнение (1) не имеет решений.

Этот новый подход, обнаруженный Карацубой, привел к новому ${displaystyle p}$-адическое доказательство Виноградов теорема о среднем значении, играющая центральную роль в методе тригонометрических сумм Виноградова.

Еще один компонент ${displaystyle p}$-адический метод А.А. Карацуба - это переход от неполных систем уравнений к полным за счет локальных ${displaystyle p}$-адическая замена неизвестных.^[14]

Позволять ${displaystyle r}$ - произвольное натуральное число, ${displaystyle 1leq rleq n}$. Определить целое число ${displaystyle t}$ неравенством ${displaystyle m_ {t} leq rleq m_ {t + 1}}$. Рассмотрим систему уравнений

${displaystyle {egin {cases} x_ {1} ^ {m_ {1}} + точки + x_ {k} ^ {m_ {1}} = y_ {1} ^ {m_ {1}} + точки + y_ {k } ^ {m_ {1}} точки точки точки точки точки точки точки точки точки точки x_ {1} ^ {m_ {s}} + точки + x_ {k} ^ {m_ {s}} = y_ {1} ^ { m_ {s}} + точки + y_ {k} ^ {m_ {s}} x_ {1} ^ {n} + точки + x_ {k} ^ {n} = y_ {1} ^ {n} + точки + y_ {k} ^ {n} конец {случаи}}}$

${displaystyle 1leq x_ {1}, dots, x_ {k}, y_ {1}, dots, y_ {k} leq P, quad 1leq m_ {1}$

Карацуба доказал, что количество решений ${displaystyle I_ {k}}$ этой системы уравнений для ${displaystyle kgeq 6rnlog n}$ удовлетворяет оценке

${displaystyle I_ {k} ll P ^ {2k-delta}, quad delta = m_ {1} + точки + m_ {t} + (s-t + 1) r.}$

Для неполных систем уравнений, в которых переменные пробегают числа с малыми простыми делителями, Карацуба применил мультипликативный перенос переменных. Это привело к принципиально новой оценке тригонометрических сумм и новой теореме о среднем значении для таких систем уравнений.

Проблема Хуа Луогена о показателе сходимости сингулярного интеграла в проблеме Терри

${displaystyle p}$-адический метод А.А. Карацубы включает в себя методы оценки меры множества точек с малыми значениями функций в терминах значений их параметров (коэффициентов и т. д.) и, наоборот, методы оценки этих параметров в терминах мера этого набора в реальном и ${displaystyle p}$-адические метрики. Эта сторона метода Карацубы особенно ярко проявилась при оценивании тригонометрических интегралов, что привело к решению проблемы Хуа Луогэн. В 1979 году Карацуба вместе со своими учениками Г.И. Архипов, В. Чубариков получил полное решение^[15] задачи Хуа Луогена нахождения показателя сходимости интеграла:

${displaystyle vartheta _ {0} = int limits _ {- infty} ^ {+ infty} cdots int limits _ {- infty} ^ {+ infty} {iggl |} int limits _ {0} ^ {1} e ^ { 2pi i (alpha _ {n} x ^ {n} + cdots + alpha _ {1} x)} dx {iggr |} ^ {2k} dalpha _ {n} ldots dalpha _ {1},}$

куда ${displaystyle ngeq 2}$ фиксированное число.

В данном случае показатель сходимости означает значение ${displaystyle gamma}$, так что ${displaystyle vartheta _ {0}}$ сходится для ${displaystyle 2k> гамма + варепсилон}$ и расходится на ${displaystyle 2k$, куда ${displaystyle varepsilon> 0}$ произвольно мала. Было показано, что интеграл ${displaystyle vartheta _ {0}}$ сходится для ${displaystyle 2k> {гидроразрыв {1} {2}} (n ^ {2} + n) +1}$ и расходится на ${displaystyle 2kleq {frac {1} {2}} (n ^ {2} + n) +1}$.

При этом была решена аналогичная задача для интеграла: ${displaystyle vartheta _ {1} = int _ {- infty} ^ {+ infty} cdots int _ {- infty} ^ {+ infty} {iggl |} int _ {0} ^ {1} e ^ {2pi i ( альфа _ {n} x ^ {n} + alpha _ {m} x ^ {m} + cdots + alpha _ {r} x ^ {r})} dx {iggr |} ^ {2k} dalpha _ {n} dalpha _ {m} ldots dalpha _ {r},}$ куда ${displaystyle n, m, ldots, r}$ целые числа, удовлетворяющие условиям: ${displaystyle 1leq r$

Карацуба и его ученики доказали, что интегральная ${displaystyle vartheta _ {1}}$ сходится, если ${displaystyle 2k> n + m + ldots + r}$ и расходится, если ${displaystyle 2kleq n + m + ldots + r}$.

Интегралы ${displaystyle vartheta _ {0}}$ и ${displaystyle vartheta _ {1}}$ возникают при изучении так называемых Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта. Карацуба и его ученики получили ряд новых результатов, связанных с многомерным аналогом проблемы Тарри. В частности, они доказали, что если ${displaystyle F}$ является многочленом от ${displaystyle r}$ переменные (${displaystyle rgeq 2}$) формы:${displaystyle F (x_ {1}, ldots, x_ {r}), =, ограничения суммы _ {u _ {1} = 0} ^ {n_ {1}} ограничения суммы cdots _ {u _ {r} = 0 } ^ {n_ {r}} альфа (u _ {1}, ldots, u _ {r}) x_ {1} ^ {u _ {1}} ldots x_ {r} ^ {u _ {r}}, }$ с нулевым бесплатным сроком, ${displaystyle m = (n_ {1} +1) ldots (n_ {r} +1) -1}$, ${displaystyle {ar {alpha}}}$ это ${displaystyle m}$-мерный вектор, состоящий из коэффициентов ${displaystyle F}$, то интеграл: ${displaystyle vartheta _ {2} = int limits _ {- infty} ^ {+ infty} cdots int limits _ {- infty} ^ {+ infty} {iggl |} int limits _ {0} ^ {1} cdots int limits _ {0} ^ {1} e ^ {2pi iF (x_ {1}, ldots, x_ {r})} dx_ {1} ldots dx_ {r} {iggr |} ^ {2k} d {ar {alpha} }}$ сходится для ${displaystyle 2k> mn}$, куда ${displaystyle n}$ это наивысшее из чисел ${displaystyle n_ {1}, ldots, n_ {r}}$. Этот результат, не являясь окончательным, породил новое направление в теории тригонометрических интегралов, связанное с улучшением оценок показателя сходимости ${displaystyle vartheta _ {2}}$ (И. А. Икромов, М. А. Чахкиев и др.).

Кратные тригонометрические суммы

В 1966—1980 гг. Карацуба развивал^[16][17] (с участием его учеников Г.И. Архипова и В.Н. Чубарикова) теория множественных Герман Вейль тригонометрические суммы, то есть суммы вида

${displaystyle S = S (A) = sum _ {x_ {1} = 1} ^ {P_ {1}} dots sum _ {x_ {r} = 1} ^ {P_ {r}} e ^ {2pi iF ( x_ {1}, точки, x_ {r})}}$ , куда ${displaystyle F (x_ {1}, dots, x_ {r}) = sum _ {t_ {1} = 1} ^ {n_ {1}} dots sum _ {t_ {r} = 1} ^ {n_ {r }} альфа (t_ {1}, точки, t_ {r}) x_ {1} ^ {t_ {1}} точки x_ {r} ^ {t_ {r}}}$ ,

${displaystyle A}$ это система действительных коэффициентов ${displaystyle alpha (t_ {1}, dots, t_ {r})}$. Центральным пунктом этой теории, как и теории тригонометрических сумм Виноградова, является следующее теорема о среднем значении.

Позволять ${displaystyle n_ {1}, точки, n_ {r}, P_ {1}, точки, P_ {r}}$ быть натуральными числами, ${displaystyle P_ {1} = min (P_ {1}, точки, P_ {r})}$,${displaystyle m = (n_ {1} +1) точек (n_ {r} +1)}$. Кроме того, пусть ${displaystyle Omega}$ быть ${displaystyle m}$-мерный куб вида: ${displaystyle 0leq альфа (t_ {1}, точки, t_ {r}) <1}$ , ${displaystyle 0leq t_ {1} leq n_ {1}, точки, 0leq t_ {r} leq n_ {r}}$, в евклидовом пространстве: и :: ${displaystyle J = J (P_ {1}, точки, P_ {r}; n_ {1}, dots, n_ {r}; K, r) = {underset {Omega} {int dots int}} | S (A ) | ^ {2K} dA}$ . : Тогда для любого ${displaystyle au geq 0}$ и ${displaystyle Kgeq K_ {au} = m au}$ Значение ${displaystyle J}$ можно оценить следующим образом

${displaystyle Jleq K_ {au} ^ {2m au} varkappa ^ {4varkappa ^ {2} Delta (au)} 2 ^ {8mvarkappa au} (P_ {1} точки P_ {r}) ^ {2K} P ^ {- varkappa Delta (au)}}$ , :

куда ${displaystyle varkappa = n_ {1} u _ {1} + точки + n_ {r} u _ {r}}$ , ${displaystyle gamma varkappa = 1}$, ${displaystyle Delta (au) = {frac {m} {2}} (1- (1-gamma) ^ {au})}$ , ${displaystyle P = (P_ {1} ^ {n_ {1}} точки P_ {r} ^ {n_ {r}}) ^ {гамма}}$, а натуральные числа ${displaystyle u _ {1}, dots, u _ {r}}$ таковы, что: :: ${displaystyle -1 <{frac {P_ {s}} {P_ {1}}} - u _ {s} leq 0}$ , ${displaystyle s = 1, dots, r}$ .

Теорема о среднем значении и лемма о кратности пересечения многомерных параллелепипедов составляют основу оценки кратной тригонометрической суммы, полученной Карацубой (двумерный случай получен Г.И. Архиповым.^[18]). Обозначается ${displaystyle Q_ {0}}$ наименьшее общее кратное чисел ${displaystyle q (t_ {1}, dots, t_ {r})}$ с условием ${displaystyle t_ {1} + точки t_ {r} geq 1}$, за ${displaystyle Q_ {0} geq P ^ {1/6}}$ оценка верна

${displaystyle | S (A) | leq (5n ^ {2n}) ^ {ru (Q_ {0})} (au (Q_ {0})) ^ {r-1} P_ {1} точки P_ {r} Q ^ {- 0.1mu} + 2 ^ {8r} (rmu ^ {- 1}) ^ {r-1} P_ {1} точки P_ {r} P ^ {- 0.05mu}}$ ,

куда ${displaystyle au (Q)}$ - количество делителей целого числа ${displaystyle Q}$, и ${displaystyle u (Q)}$ - количество различных простых делителей числа ${displaystyle Q}$.

Оценка функции Харди в задаче Варинга

Применяя его ${displaystyle p}$-адическая форма метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана-Виноградова для оценки тригонометрических сумм, в котором суммирование ведется по числам с малыми простыми делителями, Карацуба получил^[19] новая оценка хорошо известного Харди функция ${displaystyle G (n)}$ в Проблема Варинга (за ${displaystyle ngeq 400}$):

${displaystyle! G (n) <2nlog n + 2nlog log n + 12n.}$

Многомерный аналог проблемы Варинга.

В своем последующем исследовании проблемы Варинга Карацуба получил^[20] следующее двумерное обобщение этой проблемы:

Рассмотрим систему уравнений

${displaystyle x_ {1} ^ {n-i} y_ {1} ^ {i} + точки + x_ {k} ^ {n-i} y_ {k} ^ {i} = N_ {i}}$ , ${displaystyle i = 0,1, dots, n}$ ,

куда ${displaystyle N_ {i}}$ заданы натуральные числа того же порядка или роста, ${displaystyle N_ {0} o + infty}$, и ${displaystyle x_ {varkappa}, y_ {varkappa}}$ неизвестные, которые также являются положительными целыми числами. У этой системы есть решения, если ${displaystyle k> cn ^ {2} log n}$ , и если ${displaystyle k$, то существуют такие ${displaystyle N_ {i}}$, что у системы нет решений.

Проблема Артина о локальном представлении нуля формой

Эмиль Артин поставил проблему на ${displaystyle p}$-адическое представление нуля формой произвольной степени d. Артин первоначально предположил результат, который теперь можно было бы описать как p-адическое поле быть C₂ поле; другими словами, нетривиальное представление нуля произошло бы, если бы количество переменных было не менее d². Это не так на примере Гай Терджанян. Карацуба показал, что для того, чтобы иметь нетривиальное представление нуля формой, число переменных должно расти быстрее, чем полиномиально, по степени d; это число фактически должно иметь почти экспоненциальный рост, в зависимости от степени. Карацуба и его ученик Архипов доказали, что^[21] что для любого натурального числа ${displaystyle r}$ Существует ${displaystyle n_ {0} = n_ {0} (r)}$, что для любого ${displaystyle ngeq n_ {0}}$ есть форма с целыми коэффициентами ${displaystyle F (x_ {1}, dots, x_ {k})}$ степени меньше, чем ${displaystyle n}$, количество переменных которых равно ${displaystyle k}$, ${displaystyle kgeq 2 ^ {u}}$,

${displaystyle u = {frac {n} {(log _ {2} n) (log _ {2} log _ {2} n) dots underbrace {(log _ {2} dots log _ {2} n)} _ {r} underbrace {(log _ {2} dots log _ {2} n) ^ {3}} _ {r + 1}}}}$

который имеет лишь тривиальное представление нуля в 2-адических числах. Они также получили аналогичный результат для любого нечетного простого модуля ${displaystyle p}$.

Оценки коротких сумм Клоостермана

Карацуба разработала^[22][23][24] (1993—1999) новый метод оценки короткихСуммы Клоостермана, то есть тригонометрические суммы вида

${ограничения суммы displaystyle _ {nin A} exp {{iggl (} 2pi i, {frac {an ^ {*} + bn} {m}} {iggr)}},}$

куда ${displaystyle n}$ проходит через множество ${displaystyle A}$ чисел, взаимно простых с ${displaystyle m}$, количество элементов ${displaystyle | A |}$ в котором существенно меньше, чем ${displaystyle m}$, а символ ${displaystyle n ^ {*}}$ обозначает класс конгруэнции, обратный к ${displaystyle n}$ по модулю ${displaystyle m}$: ${displaystyle nn ^ {*} Equiv 1 (mod m)}$.

До начала 90-х годов прошлого века оценки такого типа были известны в основном для сумм, в которых число слагаемых было больше, чем ${displaystyle {sqrt {m}}}$ (Х. Д. Клоостерман, Виноградов И. М., Х. Салье, Л. Карлитц, С. Учияма, А. Вайль). Единственным исключением были специальные модули вида ${displaystyle m = p ^ {alpha}}$, куда ${displaystyle p}$ фиксированное простое число, а показатель степени ${displaystyle alpha}$ возрастает до бесконечности (этот случай исследовал Постников А.Г. методом Виноградова). Метод Карацубы позволяет оценивать суммы Клоостермана, в которых количество слагаемых не превышает

${displaystyle m ^ {varepsilon},}$

а в некоторых случаях даже

${displaystyle exp {{(ln m) ^ {2/3 + varepsilon}}},}$

куда ${displaystyle varepsilon> 0}$ - сколь угодно малое фиксированное число. Заключительный доклад Карацубы на эту тему^[25] был опубликован посмертно.

Различные аспекты метода Карацубы нашли применение в следующих задачах аналитической теории чисел:

• нахождение асимптотики сумм дробных частей вида: ${displaystyle {sum _ {nleq x}} '{iggl {} {frac {an ^ {*} + bn} {m}} {iggr}}, {sum _ {pleq x}}' {iggl {} {frac {ap ^ {*} + bp} {m}} {iggr}},}$ : куда ${displaystyle n}$ проходит один за другим целые числа, удовлетворяющие условию ${displaystyle (n, m) = 1}$, и ${displaystyle p}$ пробегает простые числа, не делящие модуль ${displaystyle m}$ (Карацуба);

• оценка снизу числа решений неравенств вида: ${displaystyle alpha <{iggl {} {frac {an ^ {*} + bn} {m}} {iggr}} leq eta}$ : в целых числах ${displaystyle n}$, ${displaystyle 1leq nleq x}$, взаимно проста с ${displaystyle m}$, ${displaystyle x <{sqrt {m}}}$ (Карацуба);

• точность приближения произвольного действительного числа в отрезке ${displaystyle [0,1]}$ по дробным частям формы:

${displaystyle {iggl {} {frac {an ^ {*} + bn} {m}} {iggr}},}$ : куда ${displaystyle 1leq nleq x}$, ${displaystyle (n, m) = 1}$, ${displaystyle x <{sqrt {m}}}$ (Карацуба);

• более точная константа ${displaystyle c}$ в Теорема Бруна – Титчмарша. :

${displaystyle pi (x; q, l) <{frac {cx} {varphi (q) ln {frac {2x} {q}}}},}$ : куда ${displaystyle pi (x; q, l)}$ это количество простых чисел ${displaystyle p}$, не превышающий ${displaystyle x}$ и принадлежащие арифметической прогрессии ${displaystyle pequiv l {pmod {q}}}$ (Дж. Фридлендер, Х. Иванец);

• нижняя оценка наибольшего простого делителя произведения чисел вида:

${displaystyle n ^ {3} +2}$, ${displaystyle N$ (Д. Р. Хит-Браун);

• доказывая, что существует бесконечно много простых чисел вида:

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {4}}$ (Дж. Фридлендер, Х. Иванец);

• комбинаторные свойства множества чисел:

${displaystyle n ^ {*} {pmod {m}}}$${displaystyle 1leq nleq m ^ {varepsilon}}$ (А. А. Глибичук).

Дзета-функция Римана

Зеро Сельберга

В 1984 году Карацуба доказал, что^[26][27] что для фиксированного ${displaystyle varepsilon}$ удовлетворяющий условию${displaystyle 0$, достаточно большой ${displaystyle T}$ и ${displaystyle H = T ^ {a + varepsilon}}$, ${displaystyle a = {frac {27} {82}} = {frac {1} {3}} - {frac {1} {246}}}$, интервал ${displaystyle (T, T + H)}$ содержит как минимум ${displaystyle cHln T}$ настоящие нули Дзета-функция Римана ${displaystyle zeta {Bigl (} {frac {1} {2}} + it {Bigr)}}$.

Особый случай ${displaystyle Hgeq T ^ {1/2 + varepsilon}}$ было доказано Атле Сельберг ранее в 1942 г.^[28] Оценки Атле Сельберг и Карацуба не может быть улучшена по порядку роста как ${displaystyle T o + infty}$.

Распределение нулей дзета-функции Римана на коротких отрезках критической прямой

Карацуба тоже получил ^[29] ряд результатов о распределении нулей ${displaystyle zeta (s)}$ на «коротких» интервалах критической линии. Он доказал, что аналог Гипотеза Сельберга выполняется для «почти всех» интервалов ${displaystyle (T, T + H]}$, ${displaystyle H = T ^ {varepsilon}}$, куда ${displaystyle varepsilon}$ - сколь угодно малое фиксированное положительное число. Карацуба разработал (1992) новый подход к исследованию нулей дзета-функции Римана на «сверхкоротких» интервалах критической прямой, то есть на интервалах ${displaystyle (T, T + H]}$, длина ${displaystyle H}$ из которых растет медленнее любого, даже в сколь угодно малой степени ${displaystyle T}$. В частности, он доказал, что для любых заданных чисел ${displaystyle varepsilon}$, ${displaystyle varepsilon _ {1}}$ удовлетворяющие условиям ${displaystyle 0$ почти все интервалы ${displaystyle (T, T + H]}$ за ${displaystyle Hgeq exp {{(ln T) ^ {varepsilon}}}}$ содержать как минимум ${displaystyle H (ln T) ^ {1-varepsilon _ {1}}}$ нули функции ${displaystyle zeta {igl (} {frac {1} {2}} + it {igr)}}$. Эта оценка довольно близка к той, которая следует из Гипотеза Римана.

Нули линейных комбинаций L-ряда Дирихле

Карацуба разработал новый метод ^[30][31] исследования нулей функций, которые можно представить в виде линейных комбинаций Дирихле ${displaystyle L}$-серии. Простейшим примером функции этого типа является функция Давенпорта-Хейльбронна, определяемая равенством

${displaystyle f (s) = {frac {1} {2}} (1-ikappa) L (s, chi) + {frac {1} {2}} (1, +, ikappa) L (s, {ar {chi}}),}$

куда ${displaystyle chi}$ неглавный характер по модулю ${displaystyle 5}$ (${displaystyle chi (1) = 1}$, ${displaystyle chi (2) = i}$, ${displaystyle chi (3) = - i}$, ${displaystyle chi (4) = - 1}$, ${displaystyle chi (5) = 0}$, ${displaystyle chi (n + 5) = chi (n)}$ для любого ${displaystyle n}$),

${displaystyle kappa = {frac {{sqrt {10-2 {sqrt {5}}}} - 2} {{sqrt {5}} - 1}}.}$

За ${displaystyle f (s)}$ Гипотеза Римана неверно, однако критическая линия ${displaystyle Re s = {гидроразрыв {1} {2}}}$ тем не менее обычно содержит много нулей.

Карацуба доказал (1989), что интервал ${displaystyle (T, T + H]}$, ${displaystyle H = T ^ {27/82 + varepsilon}}$, содержит не менее

${displaystyle H (ln T) ^ {1/2} e ^ {- c {sqrt {ln ln T}}}}$

нули функции ${displaystyle f {igl (} {frac {1} {2}} + it {igr)}}$. Аналогичные результаты были получены Карацубой и для линейных комбинаций, содержащих произвольное (конечное) число слагаемых; показатель степени ${displaystyle {frac {1} {2}}}$ здесь заменяется меньшим числом ${displaystyle eta}$, который зависит только от вида линейной комбинации.

Граница нулей дзета-функции и многомерная задача дивизоров Дирихле

Карацубе принадлежит новый прорывной результат ^[32] в многомерной задаче о дивизорах Дирихле, связанной с нахождением числа ${displaystyle D_ {k} (x)}$ решений неравенства ${displaystyle x_ {1} * ldots * x_ {k} leq x}$ в натуральных числах ${displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {k}}$ в качестве ${displaystyle x o + infty}$. За ${displaystyle D_ {k} (x)}$ существует асимптотическая формула вида

${Displaystyle D_ {k} (x) = xP_ {k-1} (ln x) + R_ {k} (x)}$ ,

куда ${displaystyle P_ {k-1} (u)}$ является многочленом степени ${displaystyle (k-1)}$, коэффициенты которого зависят от ${displaystyle k}$ и можно найти явно и ${displaystyle R_ {k} (x)}$ - остаточный член, все известные оценки которого (до 1960 г.) имели вид

${Displaystyle | R_ {k} (x) | leq x ^ {1-альфа (k)} (cln x) ^ {k}}$ ,

куда ${displaystyle alpha = {frac {1} {ak + b}}}$, ${displaystyle a, b, c}$ - некоторые абсолютные положительные константы.

Карацуба получил более точную оценку ${displaystyle R_ {k} (x)}$, в котором значение ${displaystyle alpha (k)}$ был в порядке ${displaystyle k ^ {- 2/3}}$ и уменьшалась намного медленнее, чем ${displaystyle alpha (k)}$ в предыдущих оценках. Оценка Карацубы едина в ${displaystyle x}$ и ${displaystyle k}$; в частности, значение ${displaystyle k}$ может расти как ${displaystyle x}$ растет (как некоторая степень логарифма ${displaystyle x}$). (Похожий, но более слабый результат был получен в 1960 году немецким математиком Рихертом, работа которого оставалась неизвестной советским математикам по крайней мере до середины семидесятых.)

Доказательство оценки ${displaystyle R_ {k} (x)}$ основана на серии утверждений, по существу эквивалентных теореме о границе нулей дзета-функции Римана, полученной методом Виноградова, то есть теореме о том, что ${displaystyle zeta (s)}$ не имеет нулей в регионе

${displaystyle Re sgeq 1- {frac {c} {(ln | t |) ^ {2/3} (ln ln | t |) ^ {1/3}}}, quad | t |> 10}$ .

Карацуба найден ^[33](2000) обратная связь оценок значений ${displaystyle R_ {k} (x)}$ с поведением${displaystyle zeta (s)}$ возле линии ${displaystyle Re s = 1}$. В частности, он доказал, что если ${displaystyle alpha (y)}$ - произвольная невозрастающая функция, удовлетворяющая условию ${displaystyle 1 / yleq alpha (y) leq 1/2}$, так что для всех ${displaystyle kgeq 2}$ оценка

${Displaystyle | R_ {k} (x) | leq x ^ {1-альфа (k)} (cln x) ^ {k}}$

держит, то ${displaystyle zeta (s)}$ не имеет нулей в регионе

${displaystyle Re sgeq 1-c_ {1}, {frac {alpha (ln | t |)} {ln ln | t |}}, quad | t | geq e ^ {2}}$

(${displaystyle c, c_ {1}}$ - некоторые абсолютные константы).

Оценки снизу максимума модуля дзета-функции в малых областях критической области и на малых участках критической линии

Карацуба представил и изучил ^[34] функции ${displaystyle F (T; H)}$ и ${displaystyle G (s_ {0}; Delta)}$, определяемый равенствами

${displaystyle F (T; H) = max _ {| tT | leq H} {igl |} zeta {igl (} {frac {1} {2}} + it {igr)} {igr |}, quad G ( s_ {0}; Delta) = max _ {| s-s_ {0} | leq Delta} | zeta (s) |.}$

Здесь ${displaystyle T}$ - достаточно большое положительное число, ${displaystyle 0$, ${displaystyle s_ {0} = sigma _ {0} + iT}$, ${displaystyle {frac {1} {2}} leq sigma _ {0} leq 1}$, ${displaystyle 0$. Оценка ценностей ${displaystyle F}$ и ${displaystyle G}$ снизу показано, насколько велики (по модулю) значения ${displaystyle zeta (s)}$ может занимать короткие интервалы критической прямой или в малых окрестностях точек, лежащих в критической полосе ${displaystyle 0leq Re sleq 1}$. Дело ${displaystyle Hgg ln ln T}$ ранее изучался Рамачандрой; дело ${displaystyle Delta> c}$, куда ${displaystyle c}$ является достаточно большой постоянной, тривиально.

Карацуба, в частности, доказал, что если значения ${displaystyle H}$ и ${displaystyle Delta}$ превышают некоторые достаточно малые постоянные, то оценки

${displaystyle F (T; H) geq T ^ {- c_ {1}}, quad G (s_ {0}; Delta) geq T ^ {- c_ {2}},}$

держи, где ${displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$ - некие абсолютные константы.

Поведение аргумента дзета-функции на критической прямой

Карацуба получил ряд новых результатов^[35][36] связанных с поведением функции ${displaystyle S (t) = {frac {1} {pi}} arg {zeta {igl (} {frac {1} {2}} + it {igr)}}}$, который называется аргументом Дзета-функция Римана на критической линии (здесь ${displaystyle arg {zeta {igl (} {frac {1} {2}} + it {igr)}}}$ является приращением произвольной непрерывной ветви ${displaystyle arg zeta (s)}$ по пунктирной линии, соединяющей точки ${displaystyle 2,2 + it}$ и ${displaystyle {frac {1} {2}} + it}$). Среди этих результатов - теоремы о среднем значении для функции ${displaystyle S (t)}$ и его первый интеграл ${displaystyle S_ {1} (t) = int _ {0} ^ {t} S (u) du}$ на отрезках вещественной прямой, а также теорему о том, что каждый отрезок ${displaystyle (T, T + H]}$ за ${displaystyle Hgeq T ^ {27/82 + varepsilon}}$ содержит как минимум

${displaystyle H (ln T) ^ {1/3} e ^ {- c {sqrt {ln ln T}}}}$

точки, где функция ${displaystyle S (t)}$ меняет знак. Ранее аналогичные результаты были получены Атле Сельберг для случая${displaystyle Hgeq T ^ {1/2 + varepsilon}}$.

Персонажи Дирихле

Оценки коротких сумм характеров в конечных полях

В конце шестидесятых Карацуба, оценивая короткие суммы в Персонажи Дирихле, развитый ^[37] новый метод, позволяющий получать нетривиальные оценки коротких сумм характеров в конечные поля. Позволять${displaystyle ngeq 2}$ быть фиксированным целым числом, ${displaystyle F (x) = x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + ldots + a_ {1} x + a_ {0}}$ полином, неприводимый над полем ${displaystyle mathbb {Q}}$ рациональных чисел, ${displaystyle heta}$ корень уравнения ${displaystyle F (heta) = 0}$, ${displaystyle mathbb {Q} (heta)}$ соответствующее расширение поля ${displaystyle mathbb {Q}}$, ${displaystyle omega _ {1}, ldots, omega _ {n}}$ основа ${displaystyle mathbb {Q} (heta)}$, ${displaystyle omega _ {1} = 1}$, ${displaystyle omega _ {2} = heta}$, ${displaystyle omega _ {3} = heta ^ {2}, ldots, omega _ {n} = heta ^ {n-1}}$. Кроме того, пусть ${displaystyle p}$ - достаточно большое простое число, такое что ${displaystyle F (x)}$ неприводимо по модулю ${displaystyle p}$,${displaystyle mathrm {GF} (p ^ {n})}$ то Поле Галуа с основой ${displaystyle omega _ {1}, omega _ {2}, ldots, omega _ {n}}$, ${displaystyle chi}$ неосновной Dirichlet персонаж поля ${displaystyle mathrm {GF} (p ^ {n})}$. Наконец, пусть ${displaystyle u _ {1}, ldots, u _ {n}}$ быть некоторыми неотрицательными целыми числами, ${displaystyle D (X)}$ набор элементов ${displaystyle {ar {x}}}$ поля Галуа ${displaystyle mathrm {GF} (p ^ {n})}$,

${displaystyle {ar {x}} = x_ {1} omega _ {1} + ldots + x_ {n} omega _ {n}}$ ,

такой, что для любого ${displaystyle i}$, ${displaystyle 1leq ileq n}$, выполняются следующие неравенства:

${displaystyle u _ {i}$ .

Карацуба доказал, что для любого фиксированного ${displaystyle k}$, ${displaystyle kgeq n + 1}$, и произвольные ${displaystyle X}$ удовлетворяющий условию

${displaystyle p ^ {{frac {1} {4}} + {frac {1} {4k}}} leq Xleq p ^ {{frac {1} {2}} + {frac {1} {4k}}} }$

справедлива следующая оценка:

${displaystyle {iggl |} ограничения суммы _ {{ar {x}} в D (X)} chi ({ar {x}}) {iggr |} leq c {Bigl (} X ^ {1- {frac {1 } {k}}} p ^ {{frac {1} {4k}} + {frac {1} {4k ^ {2}}}} {Bigr)} ^ {!! n} (ln p) ^ {гамма },}$

куда ${displaystyle gamma = {frac {1} {k}} (2 ^ {n + 1} -1)}$, а постоянная ${displaystyle c}$ зависит только от ${displaystyle n}$ и основа ${displaystyle omega _ {1}, ldots, omega _ {n}}$.

Оценки линейных сумм символов по сдвинутым простым числам

Карацуба разработал ряд новых инструментов, которые в сочетании с методом Виноградова оценивания сумм с простыми числами позволили ему в 1970 г. ^[38] оценка суммы значений неглавного характера по простому модулю ${displaystyle q}$ на последовательности сдвинутых простых чисел, а именно оценку вида

${displaystyle {iggl |} ограничения суммы _ {pleq N} chi (p + k) {iggr |} leq cNq ^ {- {frac {varepsilon ^ {2}} {1024}}},}$

куда ${displaystyle k}$ целое число, удовлетворяющее условию ${displaystyle kot Equiv 0 (mod q)}$, ${displaystyle varepsilon}$ сколь угодно малое фиксированное число, ${displaystyle Ngeq q ^ {1/2 + varepsilon}}$, а постоянная ${displaystyle c}$ зависит от ${displaystyle varepsilon}$ Только.

Это утверждение значительно сильнее оценки Виноградова, нетривиальной для ${displaystyle Ngeq q ^ {3/4 + varepsilon}}$.

В 1971 г., выступая на Международной конференции по теории чисел по случаю 80-летия со дня рождения А. Иван Матвеевич Виноградов, Академик Юрий Линник отметил следующее:

«Большое значение имеют исследования, проведенные Виноградовым в области асимптотики Dirichlet персонаж на сдвинутых простых числах ${ограничения суммы displaystyle _ {pleq N} chi (p + k)}$, которые дают меньшую мощность по сравнению с ${displaystyle N}$ в сравнении с ${displaystyle Ngeq q ^ {3/4 + varepsilon}}$,${displaystyle varepsilon> 0}$, куда ${displaystyle q}$ это модуль характера. Эта оценка имеет решающее значение, поскольку она настолько глубока, что дает больше, чем расширенный Гипотеза Римана, и, похоже, в этом направлении это более глубокий факт, чем эта гипотеза (если гипотеза верна). Недавно эту оценку улучшил А.А. Карацуба ».

Этот результат был распространен Карацубой на случай, когда ${displaystyle p}$ проходит через простые числа в арифметической прогрессии, приращение которой растет с модулем${displaystyle q}$.

Оценки сумм характеров многочленов с простым аргументом

Карацуба найден ^[37][39] ряд оценок сумм характеров Дирихле в многочленах второй степени для случая, когда аргумент многочлена пробегает короткую последовательность последующих простых чисел. Пусть, например, ${displaystyle q}$ быть достаточно большим простым числом, ${displaystyle f (x) = (x-a) (x-b)}$, куда ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ целые числа, удовлетворяющие условию ${displaystyle ab (a-b) от эквивалента 0 (mod q)}$, и разреши ${displaystyle left ({frac {n} {q}} ight)}$ обозначить Символ Лежандра, то для любого фиксированного ${displaystyle varepsilon}$ с условием ${displaystyle 0$ и ${displaystyle N> q ^ {3/4 + varepsilon}}$ на сумму ${displaystyle S_ {N}}$,

${displaystyle S_ {N} = ограничения суммы _ {pleq N} {iggl (} {frac {f (p)} {q}} {iggr)},}$

справедлива следующая оценка:

${displaystyle | S_ {N} | leq cpi (N) q ^ {- {frac {varepsilon ^ {2}} {100}}}}$

(здесь ${displaystyle p}$ проходит через последующие простые числа, ${displaystyle pi (N)}$ количество простых чисел, не превышающих ${displaystyle N}$, и ${displaystyle c}$ константа, зависящая от ${displaystyle varepsilon}$ Только).

Аналогичная оценка была получена Карацубой и для случая, когда ${displaystyle p}$ проходит через последовательность простых чисел в арифметической прогрессии, приращение которой может расти вместе с модулем ${displaystyle q}$.

Карацуба предположил, что нетривиальная оценка суммы ${displaystyle S_ {N}}$ за ${displaystyle N}$, которые "маленькие" по сравнению с ${displaystyle q}$, остается верным в случае, когда ${displaystyle f (x)}$ заменяется произвольным многочленом степени ${displaystyle n}$, который не является квадратом по модулю ${displaystyle q}$. Это предположение остается открытым.

Оценки снизу сумм характеров многочленов

Карацуба построена ^[40] бесконечная последовательность простых чисел ${displaystyle p}$ и последовательность многочленов ${displaystyle f (x)}$ степени ${displaystyle n}$ с целыми коэффициентами, такими, что ${displaystyle f (x)}$ не является полным квадратом по модулю ${displaystyle p}$,

${displaystyle {frac {4 (p-1)} {ln p}} leq nleq {frac {8 (p-1)} {ln p}},}$

и такой, что

${ограничение суммы displaystyle _ {x = 1} ^ {p} left ({frac {f (x)} {p}} ight) = p.}$

Другими словами, для любого ${displaystyle x}$ Значение ${displaystyle f (x)}$ оказывается квадратичным вычетом по модулю ${displaystyle p}$. Этот результат показывает, что Андре Вайльоценка

${displaystyle {iggl |} ограничения суммы _ {x = 1} ^ {p} left ({frac {f (x)} {p}} ight) {iggr |} leq (n-1) {sqrt {p}} }$

не может быть существенно улучшена, и правая часть последнего неравенства не может быть заменена, скажем, значением ${displaystyle C {sqrt {n}} {sqrt {p}}}$, куда ${displaystyle C}$ является абсолютной константой.

Суммы символов в аддитивных последовательностях

Карацуба нашел новый метод,^[41] позволяющий получать достаточно точные оценки сумм значений неглавных характеров Дирихле на аддитивных последовательностях, т. е. на последовательностях, состоящих из чисел вида ${displaystyle x + y}$, где переменные ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$ проходит через некоторые наборы${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$ независимо друг от друга. Наиболее характерным примером такого рода является следующее утверждение, которое применяется при решении широкого класса задач, связанных с суммированием значений символов Дирихле. Позволять ${displaystyle varepsilon}$ - произвольно малое фиксированное число, ${displaystyle 0$, ${displaystyle q}$ достаточно большое простое число, ${displaystyle chi}$ неглавный символ по модулю ${displaystyle q}$. Кроме того, пусть ${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$ - произвольные подмножества полной системы классов конгруэнции по модулю ${displaystyle q}$, удовлетворяющая только условиям ${displaystyle | A |> q ^ {varepsilon}}$, ${displaystyle | B |> q ^ {1/2 + varepsilon}}$. Тогда справедлива следующая оценка:

${displaystyle {iggl |} ограничения суммы _ {xin A} ограничения суммы _ {yin B} chi (x + y) {iggr |} leq c | A | cdot | B | q ^ {- {frac {varepsilon ^ {2 }} {20}}}, quad c = c (varepsilon)> 0.}$

Метод Карацубы позволяет получать нетривиальные оценки такого рода и в некоторых других случаях, когда условия для множеств ${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$, сформулированные выше, заменяются другими, например: ${displaystyle | A |> q ^ {varepsilon}}$, ${displaystyle {sqrt {| A |}} cdot | B |> q ^ {1/2 + varepsilon}.}$

В случае, когда ${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$ - множества простых чисел в интервалах ${displaystyle (1, X]}$, ${displaystyle (1, Y]}$ соответственно, где ${displaystyle Xgeq q ^ {1/4 + varepsilon}}$, ${displaystyle Ygeq q ^ {1/4 + varepsilon}}$, оценка вида

${displaystyle {iggl |} ограничения суммы _ {pleq X} ограничения суммы _ {p'leq Y} chi (p + p ') {iggr |} leq cpi (X) pi (Y) q ^ {- c_ {1} варепсилон ^ {2}},}$