WikiDer > Ангенентный тор - Википедия

Angenent torus - Wikipedia

В дифференциальная геометрия, то Ангенент тор гладкий встраивание из тор в трехмерный Евклидово пространство, с тем свойством, что он остается самоподобным при эволюции под действием средняя кривизна потока. Его существование показывает, что в отличие от одномерного поток, сокращающий кривую (для которого каждая вложенная замкнутая кривая сходится к окружности, когда она сжимается в точку), двумерный поток средней кривизны имеет вложенные поверхности, которые образуют более сложные особенности, когда они схлопываются.

История

Тор Ангенент назван в честь Сигурд Ангенент, который опубликовал доказательство его существования в 1992 году.[1] Однако уже в 1990 г. Герхард Хёйскен написал, что Мэтью Грейсон рассказал ему о «числовых доказательствах» его существования.[2][3]

Существование

Чтобы доказать существование тора Angenent, Angenent сначала утверждает, что это должен быть поверхность вращения. Любую такую ​​поверхность можно описать с помощью ее поперечного сечения, кривой на полуплоскости (где граничная линия полуплоскости является осью вращения поверхности). Следуя идеям Хюискена,[2] Angenent определяет Риманова метрика на полуплоскости, с тем свойством, что геодезические для этой метрики - это в точности сечения поверхностей вращения, которые остаются самоподобными и схлопываются к началу координат через единицу времени. Эта метрика очень неоднородна, но имеет симметрию отражения, ось симметрии которой является полупрямой, проходящей через начало координат перпендикулярно границе полуплоскости.[1]

Рассматривая поведение геодезических, которые проходят перпендикулярно этой оси отражательной симметрии на разных расстояниях от начала координат, и применяя теорема о промежуточном значении, Angenent находит геодезическую, которая проходит через ось перпендикулярно во второй точке. Эта геодезическая и ее отражение соединяются, образуя просто закрытая геодезическая для метрики на полуплоскости. Когда эта замкнутая геодезическая используется для создания поверхности вращения, она образует ангенентный тор.

Другие геодезические приводят к другим поверхностям вращения, которые остаются самоподобными в потоке средней кривизны, включая сферы, цилиндры, плоскости и (согласно числовым данным, но не строгим доказательствам) погруженный топологические сферы с множественными самопересечениями.[1] Клини и Мёллер (2014) Докажите, что единственные полные гладкие вложенные поверхности вращения, которые остаются автомодельными при потоке средней кривизны, - это плоскости, цилиндры, сферы и топологические торы. Они предполагают более сильную гипотезу о том, что ангенентный тор - единственный тор с таким свойством.[4]

Приложения

Тор Angenent может быть использован для доказательства существования некоторых других типов особенностей потока средней кривизны. Например, если гантель фасонная поверхность, состоящая из тонкой цилиндрической «шейки», соединяющей два больших объема, может иметь шейку, окруженную непересекающимся угловатым тором, тогда две поверхности вращения останутся не пересекающимися под действием потока средней кривизны, пока одна из них не достигнет сингулярности; если концы гантели достаточно большие, это означает, что шея должна отщипнуть, отделяя две сферы друг от друга, прежде чем тор, окружающий шею, схлопнется.[1][5]

Связанные фигуры

Любая форма, которая остается самоподобной, но сжимается под действием потока средней кривизны, образует древнее решение к потоку, который можно экстраполировать назад на все времена. Однако обратное неверно. В той же статье, в которой он опубликовал тор Angenent, Angenent также описал Угловатые овалы; они не самоподобны, но это единственные простые замкнутые кривые на плоскости, кроме круга, которые дают древние решения поток, сокращающий кривую.[1][6]

Рекомендации

  1. ^ а б c d е Ангенент, Сигурд Б. (1992), «Пончики с усадкой» (PDF), Уравнения нелинейной диффузии и их состояния равновесия, 3 (Gregynog, 1989), Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях, 7, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, стр. 21–38, МИСТЕР 1167827.
  2. ^ а б Хёйскен, Герхард (1990), «Асимптотика особенностей течения средней кривизны», Журнал дифференциальной геометрии, 31 (1): 285–299, МИСТЕР 1030675.
  3. ^ Мантегацца, Карло (2011), Конспект лекций о потоке средней кривизны, Успехи в математике, 290, Базель: Birkhäuser / Springer, стр. 14, Дои:10.1007/978-3-0348-0145-4, ISBN 978-3-0348-0144-7, МИСТЕР 2815949.
  4. ^ Клини, Стивен; Мёллер, Нильс Мартин (2014), «Самоусадочные устройства с вращательной симметрией», Труды Американского математического общества, 366 (8): 3943–3963, arXiv:1008.1609, Дои:10.1090 / S0002-9947-2014-05721-8, МИСТЕР 3206448.
  5. ^ Эккер, Клаус (2004), Теория регулярности течения средней кривизны, Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях, 57, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, с. 29, Дои:10.1007/978-0-8176-8210-1, ISBN 0-8176-3243-3, МИСТЕР 2024995.
  6. ^ Даскалопулос, Панайота; Гамильтон, Ричард; Sesum, Наташа (2010), «Классификация компактных древних решений кривой укорачивания потока», Журнал дифференциальной геометрии, 84 (3): 455–464, arXiv:0806.1757, Bibcode:2008arXiv0806.1757D, МИСТЕР 2669361.

внешняя ссылка