WikiDer > Матрица стрелки

в математический поле линейная алгебра, матрица стрелок это квадратная матрица содержащие нули во всех записях, кроме первой строки, первого столбца и главной диагонали, эти записи могут быть любым числом.^[1][2] Другими словами, матрица имеет вид

${displaystyle A = {egin {bmatrix},! * & * & * & * & * ,! * & * & 0 & 0 & 0 ,! * & 0 & * & 0 & 0 ,! * & 0 & 0 & * & 0 ,! * & 0 & 0 & 0 & * end {bmatrix }}.}$

Любая симметричная перестановка матрицы стрелки, ${displaystyle P ^ {T} AP}$, где п это матрица перестановок, это (переставленная) матрица стрелок. Реальные симметричные матрицы стрелок используются в некоторых алгоритмах нахождения собственные значения и собственные векторы.^[3]

Реальные симметричные матрицы стрелок

Позволять А - вещественная симметричная (переставленная) матрица стрелок вида

${displaystyle A = left [{начало {массив} {cc} D & z z ^ {T} & alpha end {array}} ight],}$

где ${displaystyle D = mathop {mathrm {diag}} (d_ {1}, d_ {2}, ldots, d_ {n-1})}$ диагональная матрица порядка п-1,

${displaystyle z = {egin {bmatrix} zeta _ {1} & zeta _ {2} & cdots & zeta _ {n-1} end {bmatrix}} ^ {T}}$ вектор и ${displaystyle alpha}$ является скаляром. Позволять

${displaystyle A = VLambda V ^ {T}}$

быть разложение на собственные значения из А, где ${displaystyle Lambda = mathop {mathrm {diag}} (lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots, lambda _ {n})}$

- диагональная матрица, диагональными элементами которой являются собственные значения из А, и${displaystyle V = {egin {bmatrix} v_ {1} & cdots & v_ {n} end {bmatrix}}}$

ортонормированная матрица, столбцы которой являются соответствующими собственные векторы. Имеет место следующее:

• Если ${displaystyle zeta _ {i} = 0}$ для некоторых я, то пара ${displaystyle (d_ {i}, e_ {i})}$, где ${displaystyle e_ {i}}$ это я-го стандартная основа вектор, является собственной парой А. Таким образом, все такие строки и столбцы можно удалить, оставив в матрице все ${displaystyle zeta _ {i} eq 0}$.
• В Теорема Коши о переплетении означает, что отсортированные собственные значения А чередовать отсортированные элементы ${displaystyle d_ {i}}$: если ${displaystyle d_ {1} geq d_ {2} geq cdots geq d_ {n-1}}$ (этого можно добиться симметричной перестановкой строк и столбцов без потери общности), и если ${displaystyle lambda _ {i}}$s отсортированы соответственно, тогда ${displaystyle lambda _ {1} geq d_ {1} geq lambda _ {2} geq d_ {2} geq cdots geq lambda _ {n-1} geq d_ {n-1} geq lambda _ {n}}$.
• Если ${displaystyle d_ {i} = d_ {j}}$, для некоторых ${displaystyle ieq j}$, из указанного неравенства следует, что ${displaystyle d_ {i}}$ является собственным значением А. Размер проблемы можно уменьшить, уничтожив ${displaystyle zeta _ {j}}$ с Вращение Гивенса в ${displaystyle (i, j)}$-самолет и действуя как указано выше.

Симметричные матрицы-стрелки возникают при описании безызлучательных переходы в изолированных молекулах и осцилляторах, колебательно связанных с Ферми жидкость.^[4]

Собственные значения и собственные векторы

Матрица симметричной стрелки несводимый если ${displaystyle zeta _ {i} eq 0}$ для всех я и ${displaystyle d_ {i} eq d_ {j}}$ для всех ${displaystyle ieq j}$. В собственные значения неприводимой вещественной симметричной матрицы стрелки - нули светское уравнение

${displaystyle f (lambda) = alpha -lambda -sum _ {i = 1} ^ {n-1} {frac {zeta _ {i} ^ {2}} {d_ {i} -lambda}} эквив. alpha -lambda -z ^ {T} (D-лямбда I) ^ {- 1} z = 0}$

который может быть, например, вычислен метод деления пополам. Соответствующие собственные векторы равны

${displaystyle v_ {i} = {frac {x_ {i}} {| x_ {i} | _ {2}}}, quad x_ {i} = {egin {bmatrix} left (D-lambda _ {i} Iight ) ^ {- 1} z -1end {bmatrix}}, quad i = 1, ldots, n.}$

Прямое применение приведенной выше формулы может дать собственные векторы, которые численно недостаточно ортогональны.^[1] Алгоритм прямой стабильности, который вычисляет каждое собственное значение и каждый компонент соответствующего собственного вектора с почти полной точностью, описан в.^[2] В Юля доступна версия ПО.^[5]

Инверсии

Позволять А - неприводимая вещественная симметричная матрица со стрелками. Если ${displaystyle d_ {i} = 0}$ для некоторых я, обратное - это переставляемая неприводимая вещественная симметричная матрица со стрелкой:

${displaystyle A ^ {- 1} = {egin {bmatrix} D_ {1} ^ {- 1} & w_ {1} & 0 & 0 w_ {1} ^ {T} & b & w_ {2} ^ {T} & 1 / zeta _ { i} 0 & w_ {2} & D_ {2} ^ {- 1} & 0 0 & 1 / zeta _ {i} & 0 & 0end {bmatrix}}}$

где

${displaystyle {egin {alignat} {2} D_ {1} & = mathop {mathrm {diag}} (d_ {1}, d_ {2}, ldots, d_ {i-1}), D_ {2} & = mathop {mathrm {diag}} (d_ {i + 1}, d_ {i + 2}, ldots, d_ {n-1}), z_ {1} & = {egin {bmatrix} zeta _ {1} & zeta _ {2} & cdots & zeta _ {i-1} end {bmatrix}} ^ {T}, z_ {2} & = {egin {bmatrix} zeta _ {i + 1} & zeta _ {i + 2} & cdots & zeta _ {n-1} end {bmatrix}} ^ {T}, w_ {1} & = - D_ {1} ^ {- 1} z_ {1} {frac {1} {zeta _ {i}} }, w_ {2} & = - D_ {2} ^ {- 1} z_ {2} {frac {1} {zeta _ {i}}}, b & = {frac {1} {zeta _ {i } ^ {2}}} слева (-a + z_ {1} ^ {T} D_ {1} ^ {- 1} z_ {1} + z_ {2} ^ {T} D_ {2} ^ {- 1 } z_ {2} ight) .end {alignat}}}$

Если ${displaystyle d_ {i} eq 0}$ для всех я, обратное - это модификация диагональной матрицы первого ранга (диагональ плюс ранг матрица или DPR1):

${displaystyle A ^ {- 1} = {egin {bmatrix} D ^ {- 1} & & 0end {bmatrix}} + ho uu ^ {T},}$

где

${displaystyle u = {egin {bmatrix} D ^ {- 1} z -1end {bmatrix}}, quad ho = {frac {1} {alpha -z ^ {T} D ^ {- 1} z}}. }$

использованная литература