WikiDer > Теорема Арцела – Асколи

Arzelà–Ascoli theorem

В Теорема Арцела – Асколи является фундаментальным результатом математический анализ давая необходимые и достаточные условия чтобы решить, каждая ли последовательность данного семейства настоящий-ценный непрерывные функции определено на закрыто и ограниченный интервал имеет равномерно сходящийся подпоследовательность. Главное условие - это равностепенная непрерывность семейства функций. Теорема лежит в основе многих математических доказательств, в том числе доказательства Теорема существования Пеано в теории обыкновенные дифференциальные уравнения, Теорема Монтеля в комплексный анализ, а Теорема Питера – Вейля в гармонический анализ и различные результаты о компактности интегральных операторов.

Понятие равностепенной непрерывности было введено в конце 19 века итальянскими математиками. Чезаре Арсела и Джулио Асколи. Слабая форма теоремы была доказана Асколи (1883–1884), установивший достаточное условие компактности, и Арзела (1895), который установил необходимое условие и дал первое четкое представление результата. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано Фреше (1906), к множествам вещественнозначных непрерывных функций с областью определения a компактный метрическое пространство (Данфорд и Шварц 1958, п. 382). Современные формулировки теоремы допускают компактность области Хаусдорф а диапазон - произвольное метрическое пространство. Существуют более общие формулировки теоремы, которые дают необходимые и достаточные условия для семейства функций из компактно генерируемый Хаусдорфово пространство в однородное пространство быть компактным в компактно-открытая топология; увидеть Келли (1991, стр. 234).

Заявление и первые последствия

По определению последовательность { жп }пN из непрерывные функции на интервале я = [а, б] является равномерно ограниченный если есть номер M такой, что

для каждой функции жп принадлежащих последовательности, и каждый Икс ∈ [а, б]. (Здесь, M должен быть независимым от п и Икс.)

Последовательность называется равномерно равностепенно непрерывный если для каждого ε > 0, существует δ > 0 такой, что

в любое время |Иксy| < δ для всех функций жп в последовательности. (Здесь, δ может зависеть от ε, но нет Икс, y или п.)

Один из вариантов теоремы можно сформулировать следующим образом:

Рассмотрим последовательность вещественнозначных непрерывных функций { жп }пN определен на замкнутом и ограниченном интервал [а, б] из реальная линия. Если эта последовательность равномерно ограниченный и равномерно равностепенный, то существует подпоследовательность { жпk }kN это сходится равномерно.
Обратное также верно в том смысле, что если каждая подпоследовательность { жп } сам имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность, то { жп } равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
Доказательство —

Доказательство по существу основано на аргумент диагонализации. Самый простой случай - это вещественные функции на замкнутом и ограниченном интервале:

  • Позволять я = [а, б] ⊂ р - замкнутый и ограниченный интервал. Если F бесконечный набор функций ж  : яр которое равномерно ограничено и равностепенно непрерывно, то существует последовательность жп элементов F такой, что жп сходится равномерно на я.

Исправить перечисление {Икся}яN из рациональное число в я. поскольку F равномерно ограничено, множество точек {ж(Икс1)}жF ограничена, а значит Теорема Больцано – Вейерштрасса, существует последовательность {жп1} различных функций в F так что {жп1(Икс1)} сходится. Повторяя те же рассуждения для последовательности точек {жп1(Икс2)} существует подпоследовательность {жп2} из {жп1} такие, что {жп2(Икс2)} сходится.

По индукции этот процесс может быть продолжен бесконечно, поэтому существует цепочка подпоследовательностей

так что для каждого k = 1, 2, 3, ..., подпоследовательность {жпk} сходится в Икс1, ..., Иксk. Теперь сформируем диагональную подпоследовательность {ж} чей мый срок жм это м-й срок в мth подпоследовательность {жпм}. По конструкции, жм сходится на каждом рациональная точка из я.

Поэтому при любом ε > 0 и рациональный Иксk в я, есть целое число N = N(ε, Иксk) такой, что

Поскольку семья F равностепенно непрерывно, для этого фиксированного ε и для каждого Икс в я, есть открытый интервал UИкс содержащий Икс такой, что

для всех ж ∈ F и все sт в я такой, что s, тUИкс.

Сборник интервалов UИкс, Икс ∈ я, образует открытая крышка из я. поскольку я является компактный, посредством Теорема Гейне-Бореля это покрытие допускает конечное подпокрытие U1, ..., UJ. Существует целое число K такой, что каждый открытый интервал Uj, 1 ≤ jJ, содержит рациональную Иксk с участием 1 ≤ kK. Наконец, для любого т ∈ я, Существуют j и k так что т и Иксk принадлежат к тому же интервалу Uj. Для этого выбора k,

для всех п, м > N = max {N(ε, Икс1), ..., N(ε, ИксK)}. Следовательно, последовательность {жп} является равномерно Коши, и поэтому сходится к непрерывной функции, как заявлено. Это завершает доказательство.

Непосредственные примеры

Дифференцируемые функции

Условиям теоремы удовлетворяет равномерно ограниченная последовательность { жп } из дифференцируемый функции с равномерно ограниченными производными. Действительно, из равномерной ограниченности производных следует теорема о среднем значении это для всех Икс и y,

где K это супремум производных функций в последовательности и не зависит от п. Итак, учитывая ε > 0, позволять δ = ε/2K для проверки определения равностепенной непрерывности последовательности. Это доказывает следующее следствие.

  • Позволять {жп} - равномерно ограниченная последовательность действительнозначных дифференцируемых функций на [а, б] такие, что производные {жп′} Равномерно ограничены. Тогда существует подпоследовательность {жпk} который сходится равномерно на [а, б].

Если к тому же последовательность вторых производных также равномерно ограничена, то и производные сходятся равномерно (с точностью до подпоследовательности) и т. Д. Другое обобщение справедливо для непрерывно дифференцируемые функции. Предположим, что функции жп непрерывно дифференцируемы с производными f ′п. Предположим, что жп′ Равномерно равностепенно непрерывны и равномерно ограничены, и что последовательность { жп }, поточечно ограничено (или ограничено только в одной точке). Тогда существует подпоследовательность { жп } равномерно сходящаяся к непрерывно дифференцируемой функции.

Аргумент диагонализации может также использоваться, чтобы показать, что семейство бесконечно дифференцируемых функций, производные каждого порядка которых равномерно ограничены, имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность, все производные которой также сходятся равномерно. Это особенно важно в теории распределений.

Непрерывные функции Липшица и Гёльдера

Приведенный выше аргумент доказывает немного больше, а именно:

  • Если { жп } - равномерно ограниченная последовательность действительных функций на [а, б] так что каждый ж является Липшицева непрерывная с той же постоянной Липшица K:
для всех Икс, y ∈ [а, б] и все жп, то существует подпоследовательность, равномерно сходящаяся на [а, б].

Предельная функция также липшицева с тем же значением K для постоянной Липшица. Небольшая доработка

  • Множество F функций ж на [а, б] который равномерно ограничен и удовлетворяет Условие Гёльдера порядка α, 0 < α ≤ 1, с фиксированной постоянной M,
относительно компактен в C ([а, б]). В частности, единичный шар Пространство Гёльдера C0,α([а, б]) компактна в C ([а, б]).

В более общем случае это верно для скалярных функций на компактном метрическом пространстве Икс удовлетворяющие условию Гёльдера относительно метрики на Икс.

Обобщения

Евклидовы пространства

Теорема Арцела – Асколи верна, в более общем смысле, если функции жп принимать ценности в d-размерный Евклидово пространство рd, и доказательство очень простое: просто примените р-значная версия теоремы Арцела – Асколи d раз, чтобы выделить подпоследовательность, которая равномерно сходится по первой координате, затем подпоследовательность, которая равномерно сходится по первым двум координатам, и так далее. Приведенные выше примеры легко обобщаются на случай функций со значениями в евклидовом пространстве.

Компактные метрические пространства и компактные хаусдорфовы пространства

Определения ограниченности и равностепенной непрерывности можно обобщить на случай произвольного компактного метрические пространства и, в более общем плане, компактный Хаусдорфовы пространства. Позволять Икс - компактное хаусдорфово пространство, и пусть C(Икс) - пространство вещественнозначных непрерывные функции на Икс. Подмножество FC(Икс) как говорят равностепенный если для каждого Икс ∈ Икс и каждый ε > 0, Икс есть район UИкс такой, что

Множество FC(Икс, р) как говорят точечно ограниченный если для каждого Икс ∈ Икс,

Версия теоремы верна и в пространстве C(Икс) вещественнозначных непрерывных функций на компактный Пространство Хаусдорфа Икс (Данфорд и Шварц 1958, §IV.6.7):

Позволять Икс - компактное хаусдорфово пространство. Тогда подмножество F из C(Икс) является относительно компактный в топологии, индуцированной единая норма если и только если это равностепенный и поточечно ограниченный.

Теорема Арцела – Асколи, таким образом, является фундаментальным результатом в изучении алгебры непрерывные функции на компактном хаусдорфовом пространстве.

Возможны различные обобщения приведенного выше результата. Например, функции могут принимать значения в метрическом пространстве или (Хаусдорфа) топологическое векторное пространство с минимальными изменениями в инструкции (см., например, Келли и Намиока (1982), §8), Келли (1991, Глава 7)):

Позволять Икс - компактное хаусдорфово пространство и Y метрическое пространство. потом FC(Икс, Y) компактна в компактно-открытая топология если и только если это равностепенныйпоточечно относительно компактный и закрыто.

Точечная относительная компактность означает, что для каждого Икс ∈ Икс, набор FИкс = { ж (Икс) :  ж  ∈ F} относительно компактен в Y.

Приведенное доказательство может быть обобщено таким образом, чтобы не полагаться на разделимость домена. На компактное хаусдорфово пространство Икс, например, равностепенная непрерывность используется для извлечения для каждого ε = 1 /п, конечное открытое покрытие Икс так что колебание любой функции из семейства меньше ε на каждом открытом множестве в покрытии. Тогда роль рациональных чисел может играть набор точек, взятых из каждого открытого множества в каждом из счетного числа покрытий, полученных таким образом, и основная часть доказательства проходит точно так же, как указано выше.

Непрерывные функции

Решения численных схем для параболических уравнений обычно кусочно-постоянны, а потому не являются непрерывными во времени. Поскольку их прыжки, тем не менее, становятся небольшими по мере того, как временной шаг , можно установить свойства равномерной во времени сходимости, используя обобщение классической теоремы Арцела-Асколи на прерывистые функции (см., например, Дрониу и Эймар (2016), Приложение)).

Обозначим через пространство функций из к наделенный единой метрикой

Тогда имеем следующее:

Позволять - компактное метрическое пространство и полное метрическое пространство. Позволять быть последовательностью в такая, что существует функция и последовательность удовлетворение
Предположим также, что для всех , относительно компактен в . потом относительно компактен в , и любой предел в этом пространстве находится в .

Необходимость

В то время как большинство формулировок теоремы Арзела – Асколи утверждают достаточные условия для (относительно) компактности семейства функций в некоторой топологии, эти условия обычно также необходимы. Например, если набор F компактна в C(Икс), банахово пространство вещественнозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве относительно его равномерной нормы, то оно ограничено в равномерной норме на C(Икс) и, в частности, поточечно ограничен. Позволять N(ε, U) - множество всех функций из F чей колебание над открытым подмножеством UИкс меньше чем ε:

За фиксированный ИксИкс и ε, наборы N(ε, U) образуют открытое покрытие F так как U варьируется во всех открытых кварталах Икс. Выбор конечного подпокрытия обеспечивает равностепенную непрерывность.

Дальнейшие примеры

  • Каждой функции г это п-интегрируемый на [0, 1], с участием 1 < п ≤ ∞, свяжем функцию г определено на [0, 1] от
Позволять F быть набором функций г соответствующие функциям г в единичном шаре пространства Lп([0, 1]). Если q гёльдеровское сопряжение п, определяется 1/п + 1/q = 1, тогда Неравенство Гёльдера означает, что все функции в F удовлетворяют условию Гельдера с α = 1/q и постоянный M = 1.
Следует, что F компактна в C([0, 1]). Это означает, что соответствие гг определяет компактный линейный оператор Т между Банаховы пространства Lп([0, 1]) и C([0, 1]). Составление с введением C([0, 1]) в Lп([0, 1]), видно, что Т действует компактно из Lп([0, 1]) себе. Дело п = 2 можно рассматривать как простой пример того факта, что инъекция из Соболевское пространство в L2(Ом), для Ω ограниченное открытое множество в рd, компактный.
  • Когда Т является компактным линейным оператором из банахова пространства Икс в банахово пространство Y, это транспонировать Т ∗ компактна из (непрерывной) двойной Y ∗ к Икс ∗. Это можно проверить с помощью теоремы Арцела – Асколи.
Действительно, изображение Т(B) замкнутого единичного шара B из Икс содержится в компактном подмножестве K из Y. Единичный шар B из Y ∗ определяет, ограничивая от Y к K, множество F (линейных) непрерывных функций на K это ограничено и равностепенно непрерывно. По Арцела-Асколи, для каждой последовательности {y
п
},
в B, существует подпоследовательность, равномерно сходящаяся на K, а это означает, что изображение этой подпоследовательности является Коши в Икс ∗.
  • Когда ж является голоморфный на открытом диске D1 = B(z0, р), с модулем, ограниченным M, то (например, Формула Коши) его производная ж ′ имеет модуль, ограниченный 2M/р в меньшем диске D2 = B(z0, р/2). Если семейство голоморфных функций на D1 ограничен M на D1, следует, что семья F ограничений на D2 равностепенно непрерывно на D2. Следовательно, последовательность, сходящаяся равномерно на D2 можно извлечь. Это первый шаг в направлении Теорема Монтеля.
  • Позволять быть наделенным равномерной метрикой Предположить, что представляет собой последовательность решений некоторого уравнение в частных производных (PDE), где PDE обеспечивает следующие априорные оценки: равностепенно непрерывно для всех , справедливо для всех , и для всех и все , достаточно мал, когда достаточно мала. Затем по Теорема Фреше – Колмогорова., можно сделать вывод, что относительно компактен в . Следовательно, с помощью (обобщения) теоремы Арцела – Асколи мы можем заключить, что относительно компактен в

Смотрите также

использованная литература

  • Арсела, Чезаре (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. Sci. Ist. Болонья Cl. Sci. Fis. Мат., 5 (5): 55–74.
  • Арсела, Чезаре (1882–1883 ​​гг.), "Работа во всей серии функций", Ренд. Dell 'Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142–159.
  • Асколи, Г. (1883–1884), «Le curve limite di una varietà data di curve», Атти делла Р. Аккад. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Мат. Nat., 18 (3): 521–586.
  • Бурбаки, Николас (1998), Общая топология. Главы 5–10, Элементы математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-64563-4, Г-Н 1726872.
  • Дьедонне, Жан (1988), Основы современного анализа, Academic Press, ISBN 978-0-12-215507-9
  • Дрониу, Жером; Эймар, Роберт (2016), "Равномерная во времени сходимость численных методов для нелинейных вырожденных параболических уравнений", Нумер. Математика., 132 (4): 721–766.
  • Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб Т. (1958), Линейные операторы, том 1, Wiley-Interscience.
  • Фреше, Морис (1906), "Sur quelques points du Calcul fonctionnel" (PDF), Ренд. Circ. Мат. Палермо, 22: 1–74, Дои:10.1007 / BF03018603, HDL:10338.dmlcz / 100655.
  • Теорема Арзела-Асколи в энциклопедии математики
  • Келли, Дж. Л. (1991), Общая топология, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90125-1
  • Kelley, J. L .; Намиока, И. (1982), Линейные топологические пространства, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90169-5
  • Рудин, Вальтер (1976), Принципы математического анализа, Макгроу-Хилл, ISBN 978-0-07-054235-8

В этой статье использован материал из теоремы Асколи – Арцела о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.