WikiDer > Компактный оператор - Википедия

В функциональный анализ, филиал математика, а компактный оператор это линейный оператор L из Банахово пространство Икс в другое банахово пространство Y, так что изображение под L любого ограниченного подмножества Икс это относительно компактный подмножество (имеет компактный закрытие) из Y. Такой оператор обязательно является ограниченный оператор, и так непрерывно.^[1]

Любой ограниченный оператор L который имеет конечный классифицировать компактный оператор; действительно, класс компактных операторов является естественным обобщением класса операторы конечного ранга в бесконечномерном пространстве. Когда Y это Гильбертово пространство, верно, что любой компактный оператор является пределом операторов конечного ранга,^[2] так что класс компактных операторов может быть определен альтернативно как замыкание множества операторов конечного ранга в топология нормы. Верно ли это вообще для банаховых пространств ( свойство аппроксимации) долгие годы был нерешенным вопросом; в 1973 г. Пер Энфло привел контрпример.^[3]

Истоки теории компактных операторов лежат в теории интегральные уравнения, где интегральные операторы предоставляют конкретные примеры таких операторов. Типичный Интегральное уравнение Фредгольма рождает компактный оператор K на функциональные пространства; свойство компактности показано равностепенная непрерывность. Метод аппроксимации операторами конечного ранга является основным при численном решении таких уравнений. Абстрактная идея Фредгольмов оператор происходит от этой связи.

Эквивалентные составы

Линейная карта Т : Икс → Y между двумя топологические векторные пространства как говорят компактный если существует окрестность U происхождения в Икс такой, что Т (U) относительно компактное подмножество Y.^[4]

Позволять Икс и Y быть нормированными пространствами и Т : Икс → Y линейный оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• Т компактный оператор;
• образ единичного шара Икс под Т является относительно компактный в Y;
• образ любого ограниченного подмножества Икс под Т является относительно компактный в Y;
• существует район U из 0 в Икс и компактное подмножество ${ displaystyle V substeq Y}$ такой, что ${ Displaystyle Т (U) substeq V}$;
• для любой ограниченной последовательности ${ displaystyle (x_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ в Икс, последовательность ${ displaystyle (Tx_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ содержит сходящуюся подпоследовательность.

Если вдобавок Y является банаховым, эти утверждения также эквивалентны:

• образ любого ограниченного подмножества Икс под Т является полностью ограниченный в Y.

Если линейный оператор компактен, то легко видеть, что он ограничен и, следовательно, непрерывен.

Важные свойства

В следующих, Икс, Y, Z, W - банаховы пространства, B (Икс, Y) - пространство ограниченных операторов из Икс к Y с норма оператора, К (Икс, Y) - пространство компактных операторов из Икс к Y, B (Икс) = B (Икс, Икс), К (Икс) = K (Икс, Икс), ${ displaystyle id_ {X}}$ это оператор идентификации наИкс.

• K (Икс, Y) - замкнутое подпространство в B (Икс, Y) (в топологии нормы):^[5]
  • То есть предположим Т_п, п ∈ N, - последовательность компактных операторов из одного банахова пространства в другое, и предположим, что Т_п сходится к Т с уважением к норма оператора. потом Т также компактный.
• Наоборот, если Икс, Y являются гильбертовыми пространствами, то любой компактный оператор из Икс к Y является пределом операторов конечного ранга. Примечательно, что это неверно для общих банаховых пространств. Икс и Y.
• ${ Displaystyle B (Y, Z) circ K (X, Y) circ B (W, X) substeq K (W, Z).}$ В частности, K (Икс) образует двусторонний идеальный в B (Икс).
• Любой компактный оператор строго единичный, но не наоборот.^[6]
• Ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами компактен тогда и только тогда, когда его сопряженный компактен (Теорема Шаудера).
• Если Т : Икс → Y ограничено и компактно, то:
  • закрытие диапазона Т является отделяемый.^[5][7]
  • если диапазон Т закрыт в Y, то диапазон Т конечномерна.^[5][7]
• Если Икс является банаховым пространством и если существует обратимый ограниченный компактный оператор Т : Икс → Икс тогда Икс обязательно конечномерно.^[7]

Теперь предположим, что Т : Икс → Икс - ограниченный компактный линейный оператор, Икс является банаховым пространством, а ${ displaystyle T ^ {*}: X ^ {*} to X ^ {*}}$ это прилегающий или же транспонировать из Т.

• Для любого Т ∈ K (Икс),  ${ displaystyle operatorname {Id} _ {X} -T}$ это Фредгольмов оператор индекса 0. В частности, ${ displaystyle operatorname {Im} , ( operatorname {Id} _ {X} -T)}$ закрыто. Это существенно для развития спектральных свойств компактных операторов. Можно заметить сходство этого свойства с тем, что если M и N подпространства банахова пространства, где M закрыт и N конечномерно, то M + N тоже закрыто.
• Если S : Икс → Икс - любой линейный ограниченный оператор, то оба ${ Displaystyle S circ T}$ и ${ displaystyle T circ S}$ компактные операторы.^[5]
• Если ${ displaystyle lambda neq 0}$ тогда диапазон ${ displaystyle T- lambda operatorname {Id} _ {X}}$ закрыто и ядро ${ displaystyle T- lambda operatorname {Id} _ {X}}$ конечномерна, где ${ displaystyle operatorname {Id} _ {X}: X to X}$ это тождественная карта.^[5]
• Если ${ displaystyle lambda neq 0}$ то следующие числа конечны и равны:^[5]

${ displaystyle operatorname {dim} operatorname {ker} left (T- lambda operatorname {Id} _ {X} right) = operatorname {dim} X / operatorname {Im} left (T- lambda operatorname {Id} _ {X} right) = operatorname {dim} operatorname {ker} left (T * - lambda operatorname {Id} _ {B ^ {*}} right) = operatorname {dim} X ^ {*} / operatorname {Im} left (T ^ {*} - lambda operatorname {Id} _ {X ^ {*}} right)}$

• Если ${ displaystyle lambda neq 0}$ и ${ displaystyle lambda in sigma (T)}$ тогда ${ displaystyle lambda}$ является собственным значением обоих Т и ${ displaystyle T ^ {*}}$.^[5]
• Спектр Т, ${ displaystyle sigma (T)}$, компактный, счетный, и имеет не более одного предельная точка, что обязательно будет 0.^[5]
• Если Икс бесконечномерно, то 0 принадлежит к спектру Т (т.е. ${ Displaystyle 0 в sigma (T)}$).^[5]
• Для каждого ${ displaystyle r> 0}$, набор ${ displaystyle E_ {r} = left { lambda in sigma (T): | lambda |> r right }}$ конечно и для любого ненулевого ${ displaystyle lambda in sigma (T)}$, диапазон ${ displaystyle T- lambda operatorname {Id} _ {X}}$ это правильное подмножество из Икс.^[5]

Истоки теории интегральных уравнений

Важнейшим свойством компактных операторов является Альтернатива Фредгольма, утверждающий, что существование решения линейных уравнений вида

${ Displaystyle ( лямбда К + I) и = е ,}$

(где K - компактный оператор, f - заданная функция, а u - неизвестная функция, для которой необходимо решить) ведет себя так же, как и в конечных измерениях. В спектральная теория компактных операторов затем следует, и это связано с Фриджес Рис (1918). Он показывает, что компактный оператор K на бесконечномерном банаховом пространстве имеет спектр, который является либо конечным подмножеством C который включает 0, или спектр представляет собой счетно бесконечный подмножество C который имеет 0 в качестве единственного предельная точка. Более того, в любом случае ненулевые элементы спектра равны собственные значения из K с конечными кратностями (так что K - λя имеет конечномерную ядро для всех комплексных λ ≠ 0).

Важным примером компактного оператора является компактное вложение из Соболевские пространства, который вместе с Неравенство Гординга и Теорема Лакса – Милграма, можно использовать для преобразования эллиптическая краевая задача в интегральное уравнение Фредгольма.^[8] Тогда существование решения и спектральные свойства следуют из теории компактных операторов; в частности, эллиптическая краевая задача в ограниченной области имеет бесконечно много изолированных собственных значений. Одним из следствий этого является то, что твердое тело может колебаться только на отдельных частотах, задаваемых собственными значениями, и всегда существуют произвольно высокие частоты колебаний.

Компактные операторы из банахова пространства в себя образуют двусторонний идеальный в алгебра всех ограниченных операторов в пространстве. В самом деле, компактные операторы в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве образуют максимальный идеал, поэтому фактор-алгебра, известный как Калкина алгебра, является просто. В более общем смысле компактные операторы образуют идеальный оператор.

Компактный оператор в гильбертовых пространствах

Для гильбертовых пространств другое эквивалентное определение компактных операторов дается следующим образом.

Оператор ${ displaystyle T}$ на бесконечномерном Гильбертово пространство ${ displaystyle { mathcal {H}}}$

${ displaystyle T: { mathcal {H}} to { mathcal {H}}}$

как говорят компактный если это можно записать в виде

${ displaystyle T = sum _ {n = 1} ^ { infty} lambda _ {n} langle f_ {n}, cdot rangle g_ {n} ,,}$

куда ${ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, ldots}$ и ${ displaystyle g_ {1}, g_ {2}, ldots}$ являются ортонормированными множествами (не обязательно полными), и ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots}$ последовательность положительных чисел с пределом нуля, называемая сингулярные значения оператора. Сингулярные значения могут накапливать только на нуле. Если последовательность становится стационарной в нуле, то есть ${ displaystyle lambda _ {N + k} = 0}$ для некоторых ${ Displaystyle N in mathbb {N},}$ и каждый ${ Displaystyle к = 1,2, точки}$, то оператор имеет конечный ранг, т.е., конечномерный диапазон и может быть записан как

${ displaystyle T = sum _ {n = 1} ^ {N} lambda _ {n} langle f_ {n}, cdot rangle g_ {n} ,.}$

Кронштейн ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ - скалярное произведение в гильбертовом пространстве; сумма в правой части сходится по операторной норме.

Важным подклассом компактных операторов является класс трассировки или ядерные операторы.

Полностью непрерывные операторы

Позволять Икс и Y - банаховы пространства. Ограниченный линейный оператор Т : Икс → Y называется полностью непрерывный если для каждого слабо сходящийся последовательность ${ displaystyle (x_ {n})}$ из Икс, последовательность ${ displaystyle (Tx_ {n})}$ сходится по норме в Y (Конвей 1985, §VI.3). Компактные операторы в банаховом пространстве всегда полностью непрерывны. Если Икс это рефлексивное банахово пространство, то каждый вполне непрерывный оператор Т : Икс → Y компактный.

Несколько сбивает с толку, что компактные операторы иногда называются «полностью непрерывными» в более ранней литературе, даже если они не обязательно являются полностью непрерывными по определению этой фразы в современной терминологии.

Примеры

• Каждый оператор конечного ранга компактен.
• За ${ displaystyle ell ^ {p}}$ и последовательность (т_п) стремящаяся к нулю, оператор умножения (Tx)_п = т_п Икс_п компактный.
• Для некоторых фиксированных грамм ∈ C([0, 1]; р), определим линейный оператор Т из C([0, 1]; р) к C([0, 1]; р) к

${ displaystyle (Tf) (x) = int _ {0} ^ {x} f (t) g (t) , mathrm {d} t.}$

Что оператор Т действительно компактно следует из Теорема Асколи.

• В более общем смысле, если Ω - любая область в р^п и интегральное ядро k : Ω × Ω →р это Ядро Гильберта-Шмидта, то оператор Т на L²(Ω;р) определяется

${ Displaystyle (Tf) (x) = int _ { Omega} к (x, y) f (y) , mathrm {d} y}$

компактный оператор.

• К Лемма Рисса, тождественный оператор является компактным тогда и только тогда, когда пространство конечномерно.^[9]

Смотрите также

• Компактное встраивание
• Компактный оператор в гильбертовом пространстве
• Альтернатива Фредгольма
• Интегральные уравнения Фредгольма
• Фредгольмов оператор
• Спектральная теория компактных операторов
• Строго сингулярный оператор

Примечания

Рекомендации

• Конвей, Джон Б. (1985). Курс функционального анализа. Springer-Verlag. Раздел 2.4. ISBN 978-3-540-96042-3.
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
• Энфло, П. (1973). «Контрпример к проблеме приближения в банаховых пространствах». Acta Mathematica. 130 (1): 309–317. Дои:10.1007 / BF02392270. ISSN 0001-5962. МИСТЕР 0402468.
• Крейсциг, Эрвин (1978). Вводный функциональный анализ с приложениями. Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-50731-4.
• Кутателадзе, С.С. (1996). Основы функционального анализа. Тексты по математическим наукам. 12 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 292. ISBN 978-0-7923-3898-7.
• Лакс, Питер (2002). Функциональный анализ. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC 47767143.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Ренарди, М .; Роджерс, Р. С. (2004). Введение в уравнения в частных производных. Тексты по прикладной математике. 13 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 356. ISBN 978-0-387-00444-0. (Раздел 7.5)
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Компактный оператор» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Май 2008 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)