WikiDer > Компактное встраивание

В математика, понятие бытия компактно встроенный выражает идею о том, что один набор или пространство «хорошо заключены» внутри другого. Есть версии этой концепции, соответствующие общим топология и функциональный анализ.

Определение (топологические пространства)

Позволять (Икс, Т) быть топологическое пространство, и разреши V и W быть подмножества из Икс. Мы говорим что V является компактно встроенный в W, и писать V ⊂⊂ W, если

• V ⊆ Cl (V) ⊆ Int (W), где Cl (V) обозначает закрытие из V, и Int (W) обозначает интерьер из W; и
• Cl (V) является компактный.

Определение (нормированные пространства)

Позволять Икс и Y быть двумя нормированные векторные пространства с нормами || • ||_Икс и || • ||_Y соответственно, и предположим, что Икс ⊆ Y. Мы говорим что Икс является компактно встроенный в Y, и писать Икс ⊂⊂ Y, если

• Икс является постоянно внедренный в Y; т.е. существует постоянная C такой, что ||Икс||_Y ≤ C||Икс||_Икс для всех Икс в Икс; и
• Вложение Икс в Y это компактный оператор: любой ограниченное множество в Икс является полностью ограниченный в Y, т.е. каждый последовательность в таком ограниченном множестве имеет подпоследовательность то есть Коши в норме || • ||_Y.

Если Y это Банахово пространство, эквивалентное определение состоит в том, что оператор вложения (тождество) я : Икс → Y это компактный оператор.

Применительно к функциональному анализу эта версия компактного вложения обычно используется с Банаховы пространства функций. Некоторые из Теоремы вложения Соболева компактные теоремы вложения. Когда вложение не компактно, оно может обладать родственным, но более слабым свойством компактность.

Рекомендации

• Адамс, Роберт А. (1975). Соболевские пространства. Бостон, Массачусетс: Академическая пресса. ISBN 978-0-12-044150-1..
• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2..
• Ренарди М. и Роджерс Р. К. (1992). Введение в уравнения с частными производными. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-97952-2..