WikiDer > Интегральное уравнение Фредгольма

Fredholm integral equation

В математика, то Интегральное уравнение Фредгольма является интегральное уравнение чье решение приводит к Теория Фредгольма, изучение Ядра Фредгольма и Фредгольмовы операторы. Интегральное уравнение изучалось Ивар Фредхольм. Полезный метод решения таких уравнений - Метод разложения Адомиана, связано с Георгий Адомян.

Уравнение первого рода

Уравнение Фредгольма - это интегральное уравнение, в котором член, содержащий функцию ядра (определенную ниже), имеет константы в качестве пределов интегрирования. Близко родственная форма - это Интегральное уравнение Вольтерра который имеет переменные интегральные пределы.

An неоднородный Уравнение Фредгольма первого рода записывается как

и проблема в том, что при непрерывном ядро функция и функция , чтобы найти функцию .

Важным случаем этих типов уравнений является случай, когда ядро ​​является функцией только разности своих аргументов, а именно , а пределы интегрирования равны ± ∞, то правую часть уравнения можно переписать в виде свертки функций и и поэтому формально решение дается формулой

где и прямая и обратная Преобразования Фурьесоответственно. Этот случай обычно не включается в интегральные уравнения Фредгольма, название, которое обычно зарезервировано для случаев, когда интегральный оператор определяет компактный оператор (операторы свертки на некомпактных группах некомпактны, поскольку, как правило, спектр оператора свертки с содержит диапазон , которое обычно является несчетным множеством, тогда как компактные операторы имеют дискретные счетные спектры).

Уравнение второго рода

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода имеет вид

Учитывая ядро К (т, с), а функция f (t), проблема обычно заключается в том, чтобы найти функцию φ (t).

Стандартный подход к решению этой проблемы - использовать итерацию, равную резольвентный формализм; записанное в виде ряда, решение известно как Лиувилля – Неймана..

Общая теория

Общая теория, лежащая в основе уравнений Фредгольма, известна как Теория Фредгольма. Одним из основных результатов является то, что ядро K дает компактный оператор. Компактность можно показать, вызвав равностепенная непрерывность. Как оператор он имеет спектральная теория что можно понять в терминах дискретного спектра собственные значения которые стремятся к 0.

Приложения

Уравнения Фредгольма естественным образом возникают в теории обработка сигнала, например как известные проблема спектральной концентрации популяризируется Давид Слепян. Используемые операторы такие же, как линейные фильтры. Они также часто возникают при линейном прямом моделировании и обратные задачи. В физике решение таких интегральных уравнений позволяет связать экспериментальные спектры с различными лежащими в основе распределениями, например массовым распределением полимеров в полимерном расплаве,[1] или распределение времен релаксации в системе.[2] Кроме того, интегральные уравнения Фредгольма возникают и в механика жидкости задачи, связанные с гидродинамическими взаимодействиями вблизи упругих границ раздела конечных размеров.[3] [4]

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ Honerkamp, ​​J .; Виз, Дж. (1990). "Тихоновский метод регуляризации некорректных задач". Механика сплошной среды и термодинамика. 2 (1): 17–30. Bibcode:1990CMT ..... 2 ... 17H. Дои:10.1007 / BF01170953.
  2. ^ Schäfer, H .; Стернин, Э .; Stannarius, R .; Arndt, M .; Кремер Ф. (18 марта 1996 г.). «Новый подход к анализу широкополосных диэлектрических спектров». Письма с физическими проверками. 76 (12): 2177–2180. Bibcode:1996ПхРвЛ..76.2177С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.76.2177. PMID 10060625.
  3. ^ Дадди-Мусса-Идер, А .; Kaoui, B .; Лёвен, Х. (9 апреля 2019 г.). «Осесимметричное течение за счет стокслета вблизи упругой мембраны конечных размеров». Журнал Физического общества Японии. 88 (5): 054401. arXiv:1901.04485. Дои:10.7566 / JPSJ.88.054401.
  4. ^ Дадди-Мусса-Идер, А. (25 ноября 2020 г.). «Асимметричное стоксово течение, вызванное поперечной точечной силой, действующей вблизи упругой мембраны конечных размеров». Журнал Физического общества Японии. 89: 124401. arXiv:2006.14375. Дои:10.7566 / JPSJ.89.124401.