WikiDer > Спектральная теория

В математика, спектральная теория является всеобъемлющим термином для теорий, расширяющих собственный вектор и собственное значение теория единого квадратная матрица к гораздо более широкой теории структуры операторы в различных математические пространства.^[1] Это результат исследований линейная алгебра и решения системы линейных уравнений и их обобщения.^[2] Теория связана с теорией аналитические функции поскольку спектральные свойства оператора связаны с аналитическими функциями спектрального параметра.^[3]

Математический фон

Название спектральная теория был представлен Дэвид Гильберт в его первоначальной формулировке Гильбертово пространство теории, которая была сформулирована с точки зрения квадратичные формы в бесконечном множестве переменных. Оригинал спектральная теорема была задумана как версия теоремы о главные оси из эллипсоид, в бесконечномерном пространстве. Позднее открытие в квантовая механика что спектральная теория может объяснить особенности атомные спектры поэтому был случайным. Сам Гильберт был удивлен неожиданным применением этой теории, отметив, что «я разработал свою теорию бесконечного множества переменных, исходя из чисто математических интересов, и даже назвал ее« спектральным анализом », не предполагая, что позже она найдет применение к реальному спектру переменных. физика ".^[4]

Было три основных способа сформулировать спектральную теорию, каждый из которых нашел применение в различных областях. После первоначальной формулировки Гильберта последующее развитие абстрактного Гильбертовы пространства и спектральная теория одиночных нормальные операторы на них хорошо соответствовали требованиям физикана примере работы фон Нейман.^[5] Дальнейшая теория, построенная на этом, для решения Банаховы алгебры в целом. Это развитие приводит к Представительство Гельфанда, который охватывает коммутативный падеж, и далее в некоммутативный гармонический анализ.

Разницу можно увидеть, установив связь с Анализ Фурье. В преобразование Фурье на реальная линия в каком-то смысле спектральная теория дифференциация как дифференциальный оператор. Но для того, чтобы охватить явления, нужно уже иметь дело с обобщенные собственные функции (например, с помощью оснащенное гильбертово пространство). С другой стороны, легко построить групповая алгебра, спектр которого отражает основные свойства преобразования Фурье, и это осуществляется с помощью Понтрягинская двойственность.

Можно также изучить спектральные свойства операторов на Банаховы пространства. Например, компактные операторы на банаховых пространствах обладают многими спектральными свойствами, аналогичными свойствам матрицы.

Физический фон

Основы физики вибрации было объяснено следующим образом:^[6]

Спектральная теория связана с исследованием локализованных колебаний множества различных объектов, от атомы и молекулы в химия к препятствиям в акустические волноводы. Эти колебания частоты, и проблема состоит в том, чтобы решить, когда возникают такие локализованные колебания, и как рассчитывать частоты. Это очень сложная проблема, поскольку каждый объект имеет не только основной тон но также сложная серия обертоны, которые радикально различаются от одного тела к другому.

Такие физические идеи не имеют ничего общего с математической теорией на техническом уровне, но есть примеры косвенного участия (см., Например, Марк Кацвопрос Вы слышите форму барабана?). Принятие Гильбертом термина «спектр» было приписано статье 1897 г. Вильгельм Виртингер на Дифференциальное уравнение Хилла (к Жан Дьедонне), и его подхватили его ученики в течение первого десятилетия двадцатого века, в том числе Эрхард Шмидт и Герман Вейль. Концептуальная основа для Гильбертово пространство был разработан на основе идей Гильберта Эрхард Шмидт и Фриджес Рис.^[7][8] Это было почти двадцать лет спустя, когда квантовая механика был сформулирован в терминах Уравнение Шредингера, что связь была установлена ​​с атомные спектры; связь с математической физикой вибрации подозревалась и раньше, как заметил Анри Пуанкаре, но отвергнуты по простым количественным причинам, без объяснения Серия Бальмера.^[9] Более позднее открытие квантовой механики, что спектральная теория может объяснить особенности атомных спектров, было поэтому случайным, а не объектом спектральной теории Гильберта.

Определение спектра

Рассмотрим ограниченное линейное преобразование Т определяется всюду над генералом Банахово пространство. Формируем преобразование:

${ Displaystyle R _ { zeta} = left ( zeta I-T right) ^ {- 1}.}$

Здесь я это оператор идентификации и ζ является комплексное число. В обратный оператора Т, то есть Т⁻¹, определяется:

${ displaystyle TT ^ {- 1} = T ^ {- 1} T = I.}$

Если существует обратное, Т называется обычный. Если его не существует, Т называется единственное число.

С этими определениями набор резольвент из Т - множество всех комплексных чисел ζ таких, что р_ζ существует и является ограниченный. Этот набор часто обозначается как ρ (Т). В спектр из Т - множество всех комплексных чисел ζ таких, что р_ζ терпит неудачу существовать или безгранично. Часто спектр Т обозначается σ (Т). Функция р_ζ для всех ζ в ρ (Т) (то есть везде, где р_ζ существует как ограниченный оператор) называется противовоспалительное средство из Т. В спектр из Т поэтому является дополнением набор резольвент из Т в комплексной плоскости.^[10] Каждый собственное значение из Т принадлежит σ (Т), но σ (Т) может содержать не собственные значения.^[11]

Это определение применяется к банаховому пространству, но, конечно, существуют и другие типы пространств, например, топологические векторные пространства включают банаховы пространства, но могут быть более общими.^[12][13] С другой стороны, банаховы пространства включают Гильбертовы пространства, и именно эти пространства находят наибольшее применение и богатейшие теоретические результаты.^[14] При подходящих ограничениях можно многое сказать о структуре спектры превращений в гильбертовом пространстве. В частности, для самосопряженные операторы, спектр лежит на реальная линия и (в общем) является спектральная комбинация точечного спектра дискретных собственные значения и непрерывный спектр.^[15]

Кратко о спектральной теории

В функциональный анализ и линейная алгебра спектральная теорема устанавливает условия, при которых оператор может быть выражен в простой форме как сумма более простых операторов. Поскольку полная строгость изложения не подходит для этой статьи, мы используем подход, который избегает большей части строгости и удовлетворения формального лечения с целью быть более понятным для неспециалистов.

Эту тему проще всего описать, представив обозначение бюстгальтера из Дирак для операторов.^[16][17] Например, очень частный линейный оператор L можно было бы записать как диадический продукт:^[18][19]

${ Displaystyle L = | k_ {1} rangle langle b_ {1} |,}$

в плане «бюстгальтер» ⟨б₁| и «кет» |k₁⟩. Функция ж описывается кет как |ж ⟩. Функция ж(Икс) определяется по координатам ${ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, точки)}$ обозначается как

${ Displaystyle f (x) = langle x, f rangle}$

и величина ж к

${ Displaystyle | е | ^ {2} = langle f, f rangle = int langle f, x rangle langle x, f rangle , dx = int f ^ {*} (x ) f (x) , dx}$

где обозначение '*' обозначает комплексно сопряженный. Этот внутренний продукт выбор определяет очень конкретный внутреннее пространство продукта, ограничивая общность следующих аргументов.^[14]

Эффект L по функции ж затем описывается как:

${ Displaystyle L | е rangle = | k_ {1} rangle langle b_ {1} | f rangle}$

выражая результат, что эффект L на ж это создать новую функцию ${ displaystyle | k_ {1} rangle}$ умноженный на внутренний продукт, представленный ${ displaystyle langle b_ {1} | f rangle}$.

Более общий линейный оператор L можно выразить как:

${ displaystyle L = lambda _ {1} | e_ {1} rangle langle f_ {1} | + lambda _ {2} | e_ {2} rangle langle f_ {2} | + lambda _ {3} | e_ {3} rangle langle f_ {3} | + точки,}$

где ${ Displaystyle {, lambda _ {я} , }}$ скаляры и ${ Displaystyle {, | е_ {я} rangle , }}$ площадь основа и ${ Displaystyle {, langle f_ {я} | , }}$ а взаимная основа для космоса. Отношения между базисом и взаимным основанием частично описываются:

${ displaystyle langle f_ {i} | e_ {j} rangle = delta _ {ij}}$

Если такой формализм применим, ${ Displaystyle {, lambda _ {я} , }}$ находятся собственные значения из L и функции ${ Displaystyle {, | е_ {я} rangle , }}$ находятся собственные функции из L. Собственные значения находятся в спектр из L.^[20]

Возникают естественные вопросы: при каких обстоятельствах работает этот формализм и для каких операторов L возможны ли расширения в ряды других подобных операторов? Может любая функция ж выражаются через собственные функции (являются ли они Основа Шаудера) и при каких обстоятельствах возникает точечный спектр или непрерывный спектр? Чем отличаются формализмы для бесконечномерных пространств и конечномерных пространств? Можно ли распространить эти идеи на более широкий класс пространств? Ответы на такие вопросы - это область спектральной теории, и она требует значительного опыта в этой области. функциональный анализ и матричная алгебра.

Разрешение личности

Этот раздел продолжается в грубой и готовой манере предыдущего раздела с использованием обозначений на скобках и замалчивания многих важных деталей строгого обращения.^[21] Строгую математическую трактовку можно найти в различных источниках.^[22] В частности, размерность п пространства будет конечным.

Используя обозначения скобок из предыдущего раздела, тождественный оператор можно записать как:

${ displaystyle I = sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} rangle langle f_ {i} |}$

где предполагается, как указано выше, что {${ displaystyle | e_ {i} rangle}$ } площадь основа и {${ displaystyle langle f_ {i} |}$ } взаимный базис для пространства, удовлетворяющего соотношению:

${ displaystyle langle f_ {i} | e_ {j} rangle = delta _ {ij}.}$

Это выражение операции идентификации называется представление или разрешающая способность личности.^[21],[22] Это формальное представление удовлетворяет основному свойству идентичности:

${ Displaystyle I ^ {k} = I ,}$

действительно для любого положительного целого числа k.

Применение разрешения идентичности к любой функции в пространстве ${ displaystyle | psi rangle}$, получаем:

${ Displaystyle I | psi rangle = | psi rangle = sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} rangle langle f_ {i} | psi rangle = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} | e_ {i} rangle}$

что является обобщенным Разложение Фурье функции ψ через базисные функции {e_я }.^[23]Здесь ${ displaystyle c_ {i} = langle f_ {i} | psi rangle}$.

Для некоторого операторного уравнения вида:

${ Displaystyle O | psi rangle = | ч rangle}$

с час в пространстве это уравнение может быть решено в указанном выше базисе с помощью формальных манипуляций:

${ displaystyle O | psi rangle = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} left (O | e_ {i} rangle right) = sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} rangle langle f_ {i} | h rangle,}$

${ displaystyle langle f_ {j} | O | psi rangle = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} langle f_ {j} | O | e_ {i} rangle = sum _ {i = 1} ^ {n} langle f_ {j} | e_ {i} rangle langle f_ {i} | h rangle = langle f_ {j} | h rangle, quad forall j}$

который переводит операторное уравнение в матричное уравнение определение неизвестных коэффициентов c_j через обобщенные коэффициенты Фурье ${ Displaystyle langle f_ {j} | ч rangle}$ из час и матричные элементы ${ displaystyle O_ {ji} = langle f_ {j} | O | e_ {i} rangle}$ оператора О.

Роль спектральной теории заключается в установлении природы и существования основы и взаимной основы. В частности, базис может состоять из собственных функций некоторого линейного оператора L:

${ displaystyle L | e_ {i} rangle = lambda _ {i} | e_ {i} rangle ,;}$

с {λ_я } собственные значения L из спектра L. Тогда разрешение тождества выше дает расширение диады L:

${ displaystyle LI = L = sum _ {i = 1} ^ {n} L | e_ {i} rangle langle f_ {i} | = sum _ {i = 1} ^ {n} lambda _ {i} | e_ {i} rangle langle f_ {i} |.}$

Оператор резольвента

Используя спектральную теорию, резольвентный оператор р:

${ Displaystyle R = ( лямбда I-L) ^ {- 1}, ,}$

можно оценить с помощью собственных функций и собственных значений L, а функция Грина, соответствующая L можно найти.

Применение р к некоторой произвольной функции в пространстве, скажем ${ displaystyle varphi}$,

${ Displaystyle R | varphi rangle = ( lambda IL) ^ {- 1} | varphi rangle = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {1} { lambda - lambda _ {i}}} | e_ {i} rangle langle f_ {i} | varphi rangle.}$

Эта функция имеет полюса в комплексе λ-плоскость в каждом собственном значении L. Таким образом, используя исчисление остатков:

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} R | varphi rangle d lambda = - sum _ {i = 1} ^ {n} | e_ {i} rangle langle f_ {i} | varphi rangle = - | varphi rangle,}$

где линейный интеграл над контуром C который включает в себя все собственные значения L.

Предположим, что наши функции определены над некоторыми координатами {Икс_j}, то есть:

${ displaystyle langle x, varphi rangle = varphi (x_ {1}, x_ {2}, ...).}$

Вводя обозначения

${ displaystyle langle x, y rangle = delta (x-y),}$

куда δ (х - у) = δ (х₁ - у₁, Икс₂ - у₂, Икс₃ - у₃, ...) это Дельта-функция Дирака,^[24]мы можем написать

${ displaystyle langle x, varphi rangle = int langle x, y rangle langle y, varphi rangle dy.}$

Потом:

${ displaystyle { begin {align} left langle x, { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} { frac { varphi} { lambda IL}} d lambda right rangle & = { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} d lambda left langle x, { frac { varphi} { lambda IL}} right rangle & = { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} d lambda int dy left langle x, { frac {y} { lambda IL}} right rangle langle y, varphi rangle end {align}}}$

Функция G (х, у; λ) определяется:

${ displaystyle { begin {align} G (x, y; lambda) & = left langle x, { frac {y} { lambda IL}} right rangle & = sum _ { i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} langle x, e_ {i} rangle left langle f_ {i}, { frac {e_ {j}} { лямбда IL}} right rangle langle f_ {j}, y rangle & = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { langle x, e_ {i} rangle langle f_ {i}, y rangle} { lambda - lambda _ {i}}} & = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {e_ {i} (x) f_ { i} ^ {*} (y)} { lambda - lambda _ {i}}}, end {align}}}$

называется Функция Грина для оператора L, и удовлетворяет:^[25]

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} G (x, y; lambda) , d lambda = - sum _ {i = 1} ^ {n} langle x, e_ {i} rangle langle f_ {i}, y rangle = - langle x, y rangle = - delta (xy).}$

Операторные уравнения

Рассмотрим операторное уравнение:

${ displaystyle (O- lambda I) | psi rangle = | h rangle;}$

по координатам:

${ displaystyle int langle x, (O- lambda I) y rangle langle y, psi rangle , dy = h (x).}$

Частный случай λ = 0.

Функция Грина из предыдущего раздела:

${ Displaystyle langle y, G ( lambda) z rangle = left langle y, (O- lambda I) ^ {- 1} z right rangle = G (y, z; lambda), }$

и удовлетворяет:

${ displaystyle int langle x, (O- langle I) y rangle langle y, G ( lambda) z rangle , dy = int langle x, (O- lambda I) y rangle left langle y, (O- lambda I) ^ {- 1} z right rangle , dy = langle x, z rangle = delta (xz).}$

Используя это свойство функции Грина:

${ displaystyle int langle x, (O- lambda I) y rangle G (y, z; lambda) , dy = delta (x-z).}$

Затем, умножая обе части этого уравнения на час(z) и интегрируя:

${ Displaystyle int dz , час (z) int dy , langle x, (O- lambda I) y rangle G (y, z; lambda) = int dy , langle x, (O- lambda I) y rangle int dz , h (z) G (y, z; lambda) = h (x),}$

что предполагает решение:

${ Displaystyle psi (x) = int h (z) G (x, z; lambda) , dz.}$

То есть функция ψ(Икс), удовлетворяющая операторному уравнению, находится, если можно найти спектр О, и построить грамм, например, используя:

${ displaystyle G (x, z; lambda) = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {e_ {i} (x) f_ {i} ^ {*} (z)} { лямбда - lambda _ {i}}}.}$

Есть много других способов найти грамм, конечно.^[26] См. Статьи на Функции Грина и дальше Интегральные уравнения Фредгольма. Следует иметь в виду, что приведенная выше математика является чисто формальной, и ее строгий подход включает в себя довольно сложную математику, в том числе хорошее базовое знание функциональный анализ, Гильбертовы пространства, распределения и так далее. Обратитесь к этим статьям и ссылкам для получения более подробной информации.

Спектральная теорема и фактор Рэлея

Проблемы оптимизации могут быть наиболее полезными примерами комбинаторного значения собственных значений и собственных векторов в симметричных матрицах, особенно для Фактор Рэлея относительно матрицы M.

Теорема Позволять M - симметричная матрица и пусть Икс ненулевой вектор, который максимизирует Фактор Рэлея относительно M. Потом, Икс является собственным вектором M с собственным значением, равным Фактор Рэлея. Более того, это собственное значение является наибольшим собственным значениемM.

Доказательство Предположим спектральную теорему. Пусть собственные значения M быть ${ displaystyle lambda _ {1} leq lambda _ {2} leq cdots leq lambda _ {n}}$. Поскольку {${ displaystyle v_ {i}}$} для мужчин ортонормированный базис, любой вектор x может быть выражен в этом основа в качестве

${ Displaystyle х = сумма _ {я} v_ {я} ^ {T} xv_ {я}}$

Доказать эту формулу довольно просто. А именно,

${ displaystyle { begin {align} v_ {j} ^ {T} sum _ {i} v_ {i} ^ {T} xv_ {i} [4pt] = {} & sum _ {i} v_ {i} ^ {T} xv_ {j} ^ {T} v_ {i} [4pt] = {} & (v_ {j} ^ {T} x) v_ {j} ^ {T} v_ { j} [4pt] = {} & v_ {j} ^ {T} x end {выровнено}}}$

оценить Фактор Рэлея относительно x:

${ displaystyle { begin {align} & x ^ {T} Mx [4pt] = {} & left ( sum _ {i} (v_ {i} ^ {T} x) v_ {i} right ) ^ {T} M left ( sum _ {j} (v_ {j} ^ {T} x) v_ {j} right) [4pt] = {} & left ( sum _ {i } (v_ {i} ^ {T} x) v_ {i} ^ {T} right) left ( sum _ {j} (v_ {j} ^ {T} x) v_ {j} lambda _ {j} right) [4pt] = {} & sum _ {i, j} (v_ {i} ^ {T} x) v_ {i} ^ {T} (v_ {j} ^ {T } x) v_ {j} lambda _ {j} [4pt] = {} & sum _ {j} (v_ {j} ^ {T} x) (v_ {j} ^ {T} x) lambda _ {j} [4pt] = {} & sum _ {j} (v_ {j} ^ {T} x) ^ {2} lambda _ {j} leq lambda _ {n} sum _ {j} (v_ {j} ^ {T} x) ^ {2} [4pt] = {} & lambda _ {n} x ^ {T} x, end {выровнено}}}$

где мы использовали Личность Парсеваля в последней строке. В итоге получаем, что

${ displaystyle { frac {x ^ {T} Mx} {x ^ {T} x}} leq lambda _ {n}}$

Итак Фактор Рэлея всегда меньше чем ${ displaystyle lambda _ {n}}$.^[27]

Смотрите также

• Спектр (функциональный анализ), Резольвентный формализм, Разложение спектра (функциональный анализ)
• Спектральный радиус, Спектр оператора, Спектральная теорема
• Спектральная теория компактных операторов
• Спектральная теория нормальных C * -алгебр
• Функции операторов, Теория операторов
• Проектор Рисса
• Самосопряженный оператор
• Теория Штурма – Лиувилля, Интегральные уравнения, Теория Фредгольма
• Компактные операторы, Изоспектральный операторы, Полнота
• Слабые пары
• Спектральная геометрия
• Теория спектральных графов
• Список тем функционального анализа

Примечания

Рекомендации

• Эдвард Брайан Дэвис (1996). Спектральная теория и дифференциальные операторы; Том 42 в Кембриджские исследования по высшей математике. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-58710-7.
• Нельсон Данфорд; Джейкоб Т. Шварц (1988). Линейные операторы, спектральная теория, самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве (часть 2) (Отпечаток в мягкой обложке изд. 1967 г.). Вайли. ISBN 0-471-60847-5.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
• Нельсон Данфорд; Джейкоб Т. Шварц (1988). Линейные операторы, спектральные операторы (часть 3) (Отпечаток в мягкой обложке изд. 1971 г.). Вайли. ISBN 0-471-60846-7.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
• Садри Хассани (1999). «Глава 4: Спектральное разложение». Математическая физика: современное введение в ее основы. Springer. ISBN 0-387-98579-4.
• «Спектральная теория линейных операторов», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Шмуэль Канторовиц (1983). Спектральная теория операторов банахова пространства;. Springer.
• Арч В. Нейлор, Джордж Р. Селл (2000). "Глава 5, Часть B: Спектр". Теория линейных операторов в технике и науке; Том 40 прикладных математических наук. Springer. п. 411. ISBN 0-387-95001-X.
• Джеральд Тешл (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шредингера. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4660-5.
• Вальтер Моретти (2018). Спектральная теория и квантовая механика; Математические основы квантовых теорий, симметрий и введение в алгебраические формулировки 2-е издание. Springer. ISBN 978-3-319-70705-1.

внешняя ссылка

• Эванс М. Харрелл II: Краткая история теории операторов
• Грегори Х. Мур (1995). «Аксиоматизация линейной алгебры: 1875-1940». Historia Mathematica. 22 (3): 262–303. Дои:10.1006 / hmat.1995.1025.