WikiDer > Спектральная геометрия - Википедия
Спектральная геометрия это поле в математика что касается отношений между геометрическими структурами коллекторы и спектры канонически определенных дифференциальные операторы. Дело о Оператор Лапласа – Бельтрами на закрыто Риманово многообразие изучался наиболее интенсивно, хотя другие Операторы Лапласа в дифференциальной геометрии также были исследованы. Эта область занимается двумя видами вопросов: прямыми задачами и обратными задачами.
Обратные задачи стремятся идентифицировать особенности геометрии из информации о собственные значения лапласиана. Один из первых результатов такого рода был связан с Герман Вейль кто использовал Дэвид Гильберттеория интегральное уравнение в 1911 г., чтобы показать, что объем ограниченной области в Евклидово пространство можно определить из асимптотическое поведение собственных значений для Краевая задача Дирихле из Оператор Лапласа. Этот вопрос обычно выражается как "Можно ли услышать форму барабана?", популярная фраза из-за Марк Кац. Уточнение асимптотической формулы Вейля, полученное Плейжелем и Минакшисундарамом, дает ряд локальных спектральные инварианты с участием ковариантные дифференциации из тензор кривизны, с помощью которого можно установить спектральную жесткость для специального класса многообразий. Однако, как в примере, приведенном Джон Милнор говорит нам, что информации о собственных значениях недостаточно для определения изометрия класс многообразия (см. изоспектральный). Общий и систематический метод благодаря Тошиказу Сунада породили настоящую кустарную промышленность таких примеров, проясняющих феномен изоспектральных многообразий.
Прямые задачи пытаются вывести поведение собственных значений риманова многообразия на основе знания геометрии. Решения прямых проблем типичны Чигер неравенство, которое устанавливает связь между первым положительным собственным значением и изопериметрическая константа (в Постоянная Чигера). Многие версии неравенства были установлены со времен работы Чигера (автор: Р. Брукс и П. Бузер, например).
Смотрите также
Рекомендации
- Бергер, Марсель; Годюшон, Поль; Мазе, Эдмонд (1971), Le Spectre d'une Variété riemannienne, Конспект лекций по математике (на французском языке), 194, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag.
- Сунада, Тошиказу (1985), "Римановы накрытия и изоспектральные многообразия", Анна. математики., 121 (1): 169–186, Дои:10.2307/1971195, JSTOR 1971195.