WikiDer > Пер Энфло

Пер Энфло
Родившийся	(1944-05-20) 20 мая 1944 г. (76 лет) Стокгольм, Швеция
Альма-матер	Стокгольмский университет
Известен	Проблема приближения Основа Шаудера Пятая проблема Гильберта (бесконечномерный) равномерно выпуклый Renorms из сверхрефлексивный Банаховы пространства встраивание метрические пространства (неограниченный искажение из куб) «Концентрация» многочленов низкой степени Проблема инвариантного подпространства
Награды	Мазура "живой гусь"для решения"Шотландская книга"Проблема 153
Научная карьера
Поля	Функциональный анализ Теория операторов Аналитическая теория чисел
Учреждения	Калифорнийский университет в Беркли Стэндфордский Университет École Polytechnique, Париж В Королевский технологический институт, Стокгольм Кентский государственный университет
Докторант	Ханс Родстрем
Докторанты	Анджела Спалсбери Брюс Резник
Влияния	Иорам Линденштраус Лоран Шварц
Под влиянием	Бернар Бозами

Пер Х. Энфло (Шведский:[ˈPæːr ˈěːnfluː]; родился 20 мая 1944 г.) - шведский математик, работающий в основном в функциональный анализ, область, в которой он решил проблемы это считалось фундаментальным. Три из этих проблем были открыто более сорока лет:^[1]

• В основная проблема и проблема аппроксимации^[2] и позже
• то проблема инвариантного подпространства за Банаховы пространства.^[3]

Для решения этих проблем Энфло разработал новые методы, которые затем использовались другими исследователями в функциональный анализ и теория операторов годами. Некоторые исследования Энфло были важны и в других областях математики, таких как теория чисел, И в Информатика, особенно компьютерная алгебра и аппроксимационные алгоритмы.

Enflo работает в Кентский государственный университет, где имеет звание профессора университета. Энфло ранее занимал должности в Институт Миллера для фундаментальных исследований в науке в Калифорнийский университет в Беркли, Стэндфордский Университет, École Polytechnique, (Париж) и Королевский технологический институт, Стокгольм.

Enflo также является концертный пианист.

Вклад Энфло в функциональный анализ и теорию операторов

В математика, Функциональный анализ занимается изучением векторные пространства и операторы действуя на них. Его исторические корни лежат в изучении функциональные пространства, в частности, преобразования функции, такой как преобразование Фурье, а также при изучении дифференциал и интеграл уравнения. В функциональном анализе важный класс векторных пространств состоит из полный нормированные векторные пространства над настоящий или же сложный числа, которые называются Банаховы пространства. Важным примером банахова пространства является Гильбертово пространство, где норма возникает из внутренний продукт. Гильбертовые пространства имеют фундаментальное значение во многих областях, включая математическую формулировку квантовая механика, случайные процессы, и анализ временных рядов. Помимо изучения пространств функций, функциональный анализ также изучает непрерывный линейные операторы на пространствах функций.

Пятая проблема Гильберта и вложения

В Стокгольмском университете Ханс Родстрем предложил Энфло рассмотреть Пятая проблема Гильберта в духе функционального анализа.^[4] За два года, 1969–1970, Энфло опубликовал пять статей по пятой проблеме Гильберта; эти статьи собраны в Enflo (1970) вместе с кратким изложением. Некоторые результаты этих работ описаны в Enflo (1976) и в последней главе Benyamini and Lindenstrauss.

Приложения в информатике

Методы Энфло нашли применение в Информатика. Теоретики алгоритмов выводить аппроксимационные алгоритмы которые вкладывают конечные метрические пространства в маломерные Евклидовы пространства с низким «искажением» (в Громовтерминология для Липшиц категория; c.f. Расстояние Банаха – Мазура). У низкоразмерных задач меньше вычислительная сложность, конечно. Что еще более важно, если проблемы хорошо укладываются в Евклидова плоскость или трехмерный Евклидово пространство, тогда геометрические алгоритмы стать исключительно быстрым.

Однако такие встраивание методы имеют ограничения, как показывает теорема Энфло (1969):^[5]

Для каждого ${displaystyle mgeq 2}$, то Куб Хэмминга ${displaystyle C_ {m}}$ не может быть встроен с "искажением" ${displaystyle D}$"(или меньше) в ${displaystyle 2 ^ {m}}$-мерное евклидово пространство, если ${displaystyle D <{sqrt {m}}}$. Следовательно, оптимальное вложение - это естественное вложение, которое реализует ${displaystyle {0,1} ^ {m}}$ как подпространство ${displaystyle m}$-мерное евклидово пространство.^[6]

Эта теорема, "найденная Энфло [1969], вероятно, является первым результатом, показывающим неограниченное искажение для вложения в Евклидовы пространства. Энфло рассматривал проблему униформа встраиваемость среди Банаховы пространства, а искажение было вспомогательным средством в его доказательстве ».^[7]

Геометрия банаховых пространств

А равномерно выпуклое пространство это Банахово пространство так что для каждого ${displaystyle epsilon> 0}$ существует некоторое ${displaystyle delta> 0}$ так что для любых двух векторов с ${displaystyle | x | leq 1}$ и ${displaystyle | y | leq 1,}$

${displaystyle | x + y |> 2-дельта}$

подразумевает, что

${displaystyle | x-y | <эпсилон.}$

Интуитивно понятно, что центр отрезка внутри единичный мяч должен находиться глубоко внутри единичного шара, если только сегмент не короткий.

В 1972 году Энфло доказал, что «каждый сверхрефлексивный Банахово пространство допускает эквивалент равномерно выпуклый норма".^[8][9]

Основная проблема и мазурский гусь

В одной статье, опубликованной в 1973 году, Пер Энфло решил три проблемы, которые десятилетиями ставили в тупик функциональных аналитиков: основная проблема из Стефан Банах, "Проблема гуся" из Станислав Мазур, а проблема аппроксимации из Александр Гротендик. Гротендик показал, что его проблема аппроксимации была центральной проблемой теория из Банаховы пространства и непрерывные линейные операторы.

Основная проблема Банаха

Проблема базиса была поставлена ​​Стефаном Банахом в его книге, Теория линейных операторов. Банах спросил, все ли отделимые Банахово пространство имеет Основа Шаудера.

А Основа Шаудера или же счетная основа похож на обычный (Hamel) основа из векторное пространство; разница в том, что для баз Гамеля мы используем линейные комбинации которые конечный сумм, а для баз Шаудера они могут быть бесконечный суммы. Это делает базы Шаудера более подходящими для анализа бесконечномерных топологические векторные пространства включая Банаховы пространства.

Базы Шаудера были описаны Юлиуш Шаудер в 1927 г.^[10][11] Позволять V обозначить Банахово пространство над поле F. А Основа Шаудера это последовательность (б_п) элементов V так что для каждого элемента v ∈ V существует уникальный последовательность (α_п) элементов в F так что

${displaystyle v = sum _ {nin mathbb {N}} alpha _ {n} b_ {n},}$

где конвергенция понимается в отношении норма топология. Базы Шаудера можно также определить аналогично в общем топологическое векторное пространство.

В 1937 г. польский математик Станислав Мазур обещали "живого гуся" в качестве приза за решение проблема 153 в Шотландская книга. В 1972 году Мазур подарил гуся Перу Энфло.

Задача 153 в шотландской книге: гусь Мазура

В 1972 г. Станислав Мазур наградил Энфло обещанного живого гуся за решение проблемы в Шотландская книга.

Банах и другие польские математики работали над математическими проблемами в Шотландское кафе. Когда проблема была особенно интересной и когда ее решение казалось трудным, проблема записывалась в книгу задач, которая вскоре стала известна как Шотландская книга. Для проблем, которые казались особенно важными или сложными, или и тем и другим, автор проблемы часто обещал присудить приз за ее решение.

6 ноября 1936 г. Станислав Мазур поставил задачу представления непрерывных функций. Формально записывая проблема 153 в Шотландская книга, Мазур пообещал в награду «живого гуся», особенно щедрую цену во время Великая депрессия и накануне Вторая Мировая Война.

Вскоре после этого выяснилось, что проблема Мазура тесно связана с проблемой Банаха о существовании базисов Шаудера в сепарабельных банаховых пространствах. Большинство других проблем в Шотландская книга решались регулярно. Однако в решении проблемы Мазура и некоторых других проблем, ставших известными, прогресс был незначительным. открытые проблемы математикам всего мира.^[12]

Формулировка задачи аппроксимации Гротендика

Гротендика над теория банаховых пространств и непрерывные линейные операторы представил свойство аппроксимации. А Банахово пространство говорят, что имеет свойство аппроксимации, если каждые компактный оператор это предел операторы конечного ранга. Обратное всегда верно.^[13]

В длинной монографии Гротендик доказал, что если бы каждое банахово пространство обладало свойством аппроксимации, то каждое банахово пространство имело бы базис Шаудера. Таким образом, Гротендик сосредоточил внимание функциональных аналитиков на решении вопроса о том, каждое ли банахово пространство обладает свойством аппроксимации.^[13]

Решение Энфло

В 1972 году Пер Энфло построил сепарабельное банахово пространство, в котором отсутствует свойство аппроксимации и базис Шаудера.^[14] В 1972 году Мазур наградил живой гусь Энфло на церемонии в Центр Стефана Банаха в Варшава; Церемония награждения гусями транслировалась повсюду Польша.^[15]

Проблема инвариантного подпространства и многочлены

В функциональный анализ, одной из самых серьезных проблем была проблема инвариантного подпространства, что потребовало оценки истинности следующего утверждения:

Учитывая сложный Банахово пространство ЧАС из измерение > 1 и а ограниченный линейный оператор Т : ЧАС → ЧАС, тогда ЧАС имеет нетривиальный закрыто Т-инвариантное подпространство, т.е. существует замкнутая линейное подпространство W из ЧАС который отличается от {0} и ЧАС такой, что Т(W) ⊆ W.

За Банаховы пространства, первый пример оператора без инвариантного подпространства был построен Энфло. (За Гильбертовы пространства, то проблема инвариантного подпространства останки открыто.)

Энфло предложил решение проблемы инвариантного подпространства в 1975 году, опубликовав план в 1976 году. Энфло представил полную статью в 1981 году, и из-за сложности и длины статьи ее публикация была отложена до 1987 года.^[16] Длинная «рукопись Энфло получила всемирное распространение среди математиков»^[17] и некоторые из его идей были описаны в публикациях помимо Enflo (1976).^[18][19] Работы Энфло вдохновили аналогичную конструкцию оператора без инвариантного подпространства, например, Бозами, который признал идеи Энфло.^[16]

В 1990-х годах Энфло разработал «конструктивный» подход к проблема инвариантного подпространства на гильбертовых пространствах.^[20]

Мультипликативные неравенства для однородных многочленов

Существенной идеей в конструкции Энфло было "концентрация многочленов на низких степенях": Для всех положительных целых чисел. ${displaystyle m}$ и ${displaystyle n}$, Существует ${displaystyle C (m, n)> 0}$ такой, что для всех однородные многочлены ${displaystyle P}$ и ${displaystyle Q}$ степеней ${displaystyle m}$ и ${displaystyle n}$ (в ${displaystyle k}$ переменные), то

${displaystyle | PQ | geq C (m, n) | P |, | Q |,}$

куда ${displaystyle | P |}$ обозначает сумму абсолютных значений коэффициентов при ${displaystyle P}$. Энфло доказал, что ${displaystyle C (m, n)}$ не зависит от количества переменных ${displaystyle k}$. Первоначальное доказательство Энфло было упрощено Монтгомери.^[21]

Этот результат был обобщен на другие нормы на векторном пространстве однородные многочлены. Из этих норм наиболее часто использовалась Bombieri norm.

Bombieri norm

В Bombieri norm определяется в терминах следующего скалярное произведение:Для всех ${displaystyle alpha, eta in mathbb {N} ^ {N}}$ у нас есть

${displaystyle langle X ^ {alpha} | X ^ {eta} angle = 0}$ если ${displaystyle alpha eq eta}$

Для каждого ${displaystyle alpha in mathbb {N} ^ {N}}$ мы определяем ${displaystyle || X ^ {alpha} || ^ {2} = {frac {| alpha |!} {alpha!}},}$

где используются следующие обозначения: если ${displaystyle alpha = (alpha _ {1}, dots, alpha _ {N}) в mathbb {N} ^ {N}}$, мы пишем ${displaystyle | alpha | = Sigma _ {i = 1} ^ {N} alpha _ {i}}$ и${displaystyle alpha! = Pi _ {i = 1} ^ {N} (alpha _ {i}!)}$ и ${displaystyle X ^ {alpha} = Pi _ {i = 1} ^ {N} X_ {i} ^ {alpha _ {i}}.}$

Самым замечательным свойством этой нормы является неравенство Бомбьери:

Позволять ${displaystyle P, Q}$ быть двумя однородные многочлены соответственно степени ${displaystyle d ^ {circ} (P)}$ и ${displaystyle d ^ {circ} (Q)}$ с ${displaystyle N}$ переменных, то имеет место неравенство

${displaystyle {frac {d ^ {circ} (P)! d ^ {circ} (Q)!} {(d ^ {circ} (P) + d ^ {circ} (Q))!}} || P || ^ {2}, || Q || ^ {2} leq || Pcdot Q || ^ {2} leq || P || ^ {2}, || Q || ^ {2}.}$

В приведенном выше утверждении неравенство Бомбьери является левым неравенством; неравенство правой части означает, что Bombieri norm это норма из алгебра многочленов относительно умножения.

Неравенство Бомбьери означает, что произведение двух многочленов не может быть сколь угодно малым, и эта нижняя граница является фундаментальной в таких приложениях, как полиномиальная факторизация (или в конструкции Энфло оператора без инвариантного подпространства).

Приложения

Идея Энфло о «концентрации многочленов низких степеней» привела к важным публикациям в теория чисел^[22] алгебраический и диофантова геометрия,^[23] и полиномиальная факторизация.^[24]

Математическая биология: популяционная динамика

В Прикладная математика, Пер Энфло опубликовал несколько статей в математическая биологияособенно в динамика населения.

Эволюция человека

Enflo также опубликовал в популяционная генетика и палеоантропология.^[25]

Сегодня все люди принадлежат к одной популяции Homo sapiens sapiens, который разделен видовым барьером. Однако по модели «Из Африки» это не первый вид гоминидов: первый вид рода. Гомо, Homo habilis, эволюционировал в Восточной Африке не менее 2 млн лет назад, и представители этого вида заселили различные части Африки за относительно короткое время. человек прямоходящий эволюционировала более 1,8 млн лет, а к 1,5 млн лет распространилась по всей Старый мир.

Антропологи разделились во мнениях относительно того, развивалась ли нынешняя человеческая популяция как одна взаимосвязанная популяция (как постулируется Межрегиональная эволюция гипотеза), или возникла только в Восточной Африке, заданный, а затем мигрировали из Африки и заменили человеческие популяции в Евразия (так называемая модель «Из Африки» или «Модель полной замены»).

Неандертальцы и современные люди сосуществовали в Европе в течение нескольких тысяч лет, но продолжительность этого периода неизвестна.^[26] Современные люди, возможно, впервые мигрировали в Европу 40–43 000 лет назад.^[27] Неандертальцы, возможно, жили всего 24000 лет назад в Refugia на южном побережье Пиренейского полуострова, таких как Пещера Горхэма.^[28][29] Была предложена интер-стратификация останков неандертальцев и современного человека.^[30] но оспаривается.^[31]

С Ястребы и Wolpoff, Энфло опубликовал объяснение окаменелостей на ДНК из Неандерталец и современные люди. В этой статье предпринимается попытка разрешить дискуссию в эволюция современного человека между теориями, предполагающими либо межрегиональный и одинокий африканец происхождение. В частности, вымирание неандертальцев могло произойти из-за того, что волны современного человека проникли в Европу - технически говоря, из-за «непрерывного притока современной человеческой ДНК в генофонд неандертальцев».^[32][33][34]

Энфло также писал о динамике населения мидии зебры в Озеро Эри.^[35]

А концертный пианист, Пер Энфло дебютировал на Концертный зал Стокгольма в 1963 г.^[36]

Фортепиано

Пер Энфло также концертный пианист.

А вундеркинд Как по музыке, так и по математике, Энфло выиграл Шведский конкурс молодых пианистов в возрасте 11 лет в 1956 году и выиграл тот же конкурс в 1961 году.^[37] В 12 лет Энфло выступил солистом Королевского оперного оркестра Швеции. Он дебютировал в Концертный зал Стокгольма в 1963 году. Среди учителей Энфло были Бруно Зайдльхофер, Геза Анда, и Готфрид Бун (который сам был учеником Артура Шнабеля).^[36]

В 1999 году Enflo участвовал в первом ежегодном Фонд Ван Клибернас Международный конкурс пианистов за Выдающиеся любители.^[38]

Enflo регулярно выступает около Кент и в Моцарт серия в Колумбус, Огайо (с Триединым фестивальным оркестром). Его сольные фортепианные сольные концерты появлялись в сети Classics Network радиостанции. WOSU, спонсором которого является Государственный университет Огайо.^[36]

Рекомендации

Примечания

• "Объявлены лауреаты премии 2005 г. в Кентском государственном университете", внутри, 2005-4-11. Проверено 4 февраля, 2007.

Библиография

• Энфло, пер. (1970) Исследования по пятой проблеме Гильберта для нелокально компактных групп (Стокгольмский университет). Диссертация Энфло содержит оттиски ровно пяти статей:
  • Энфло, Пер (1969a). «Топологические группы, в которых умножение с одной стороны дифференцируемо или линейно». Математика. Сканд. 24: 195–197. Дои:10.7146 / math.scand.a-10930.
  • Пер Энфло (1969). «Об отсутствии равномерных гомеоморфизмов между L_п пробелы ". Ковчег Мат. 8 (2): 103–5. Bibcode:1970ArM ..... 8..103E. Дои:10.1007 / BF02589549.
  • Энфло, Пер (1969b). «К проблеме Смирнова». Арк. Математика. 8 (2): 107–109. Bibcode:1970ArM ..... 8..107E. Дои:10.1007 / bf02589550.
  • Энфло, Пер (1970a). «Равномерные структуры и квадратные корни в топологических группах. я". Исраэль Дж. Математика. 8 (3): 230–252. Дои:10.1007 / BF02771560.
  • Энфло, Пер (1970b). «Равномерные структуры и квадратные корни в топологических группах. II". Исраэль Дж. Математика. 8 (3): 253–272. Дои:10.1007 / BF02771561.
    • Энфло, пер. 1976 г. Равномерные гомеоморфизмы между банаховыми пространствами. Семинэр Мори-Шварц (1975–1976), Espaces, ${displaystyle L ^ {p}}$, приложения radonifiantes и géométrie des espaces de Banach, Exp. № 18, 7 стр. Center Math., École Polytech., Palaiseau. МИСТЕР0477709 (57 # 17222) [Основные статьи по Пятая проблема Гильберта и о независимых результатах Мартина Рибе, другого ученика Ханса Родстрема]
• Энфло, Пер (1972). «Банаховы пространства, которым можно задать эквивалентную равномерно выпуклую норму». Израильский математический журнал. 13 (3–4): 281–288. Дои:10.1007 / BF02762802. МИСТЕР 0336297.
• Энфло, Пер (1973). «Контрпример к проблеме приближения в банаховых пространствах». Acta Mathematica. 130: 309–317. Дои:10.1007 / BF02392270. МИСТЕР 0402468.
• Энфло, Пер (1976). «К проблеме инвариантного подпространства в банаховых пространствах» (PDF). Séminaire Maurey - Шварц (1975-1976) Espaces L^п, приложения радонифиантов и геометрия пространства Банаха, Exp. №№ 14–15. Center Math., École Polytech., Palaiseau. С. 1–7. МИСТЕР 0473871.
• Энфло, Пер (1987). «К проблеме инвариантного подпространства для банаховых пространств». Acta Mathematica. 158 (3): 213–313. Дои:10.1007 / BF02392260. ISSN 0001-5962. МИСТЕР 0892591.
• Beauzamy, Бернар; Бомбьери, Энрико; Энфло, Пер; Монтгомери, Хью Л. (1990). «Произведения многочленов от многих переменных». Журнал теории чисел. 36 (2): 219–245. Дои:10.1016 / 0022-314X (90) 90075-3. HDL:2027.42/28840. МИСТЕР 1072467.
• Beauzamy, Бернар; Энфло, Пер; Ван, Пол (октябрь 1994). «Количественные оценки многочленов от одной или нескольких переменных: от анализа и теории чисел до символьных и массово-параллельных вычислений». Математический журнал. 67 (4): 243–257. JSTOR 2690843. (доступно для читателей с высшим математическим образованием)
• П. Энфло, Джон Д. Хоукс, М. Вольпофф. «Простая причина, по которой происхождение неандертальцев может соответствовать современной информации ДНК». Американский журнал физической антропологии, 2001
• Энфло, Пер; Ломоносов, Виктор (2001). «Некоторые аспекты проблемы инвариантного подпространства». Справочник по геометрии банаховых пространств. я. Амстердам: Северная Голландия. С. 533–559.
• Бартл, Р. Г. (1977). "Обзор работы Пера Энфло" Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах " Acta Mathematica 130 (1973), 309–317". Математические обзоры. 130: 309–317. Дои:10.1007 / BF02392270. МИСТЕР 0402468.
• Beauzamy, Бернар (1985) [1982]. Введение в банаховы пространства и их геометрию (Второе исправленное изд.). Северная Голландия. ISBN 0-444-86416-4. МИСТЕР 0889253.
• Beauzamy, Бернар (1988). Введение в теорию операторов и инвариантные подпространства. Северная Голландия. ISBN 0-444-70521-X. МИСТЕР 0967989.
• Энрико Бомбьери и Вальтер Габлер (2006). Высоты в диофантовой геометрии. Кембридж U. P. ISBN 0-521-84615-3.
• Роджер Б. Эгглтон (1984). "Отзыв о Маулдине Шотландская книга: математика из шотландского кафе". Математические обзоры. МИСТЕР 0666400.
• Гротендик, А.: Производит тензорные топологии и космические ядра. Памятка. Амер. Математика. Soc. 16 (1955).
• Халмос, Пол Р. (1978). «Базы Шаудера». Американский математический ежемесячный журнал. 85 (4): 256–257. Дои:10.2307/2321165. JSTOR 2321165. МИСТЕР 0488901.
• Пол Р. Халмос, "Прогресс в математике замедлился?" Амер. Математика. Ежемесячно 97 (1990), нет. 7, 561–588. МИСТЕР1066321
• Уильям Б. Джонсон «Дополняемо универсальные сепарабельные банаховы пространства» в Роберт Дж. Бартл (ред.), 1980 Исследования по функциональному анализу, Математическая ассоциация Америки.
• Калужа, Роман (1996). Анн Костант и Войбор Войчинский (ред.). Глазами репортера: жизнь Стефана Банаха. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3772-9. МИСТЕР 1392949.
• Кнут, Дональд Э (1997). «4.6.2 Факторизация многочленов». Получисловые алгоритмы. Искусство программирования. 2 (Третье изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. С. 439–461, 678–691. ISBN 0-201-89684-2.
• Квапень, С. "На примере Энфло банахова пространства без свойства аппроксимации". Séminaire Goulaouic-Schwartz 1972–1973: Équations aux dérivées partielles et analysis fonctionnelle, Exp. № 8, 9 стр. Центр математики, Политехническая школа, Париж, 1973. МИСТЕР407569
• Линденштраус, Иорам и Беньямини, Йоав. Геометрический нелинейный функциональный анализ Публикации коллоквиума, 48. Американское математическое общество.
• Линденштраус, Дж.; Цафрири, Л .: Классические банаховы пространства I, пространства последовательностей, 1977. Springer-Verlag.
• Матушек, Иржи (2002). Лекции по дискретной геометрии. Тексты для выпускников по математике. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95373-1..
• Р. Даниэль Маулдин, изд. (1981). The Scottish Book: Mathematics from the Scottish Café (включая избранные доклады, представленные на Шотландская книга Конференция, проведенная в Университете штата Северный Техас, Дентон, Техас, май 1979 г.). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. С. xiii + 268 с. (2 пластины). ISBN 3-7643-3045-7. МИСТЕР 0666400.
• Недевский, П .; Троянский, С. (1973). «П. Энфло решил отрицательную проблему Банаха о существовании базиса для всякого сепарабельного банахова пространства». Физ.-мат. Spis. Булгар. Акад. Наук. 16 (49): 134–138. МИСТЕР 0458132.
• Пич, Альбрехт (2007). История банаховых пространств и линейных операторов.. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., стр. Xxiv + 855 стр. ISBN 978-0-8176-4367-6. МИСТЕР 2300779.
• Пизье, Жиль (1975). «Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах». Исраэль Дж. Математика. 20 (3–4): 326–350. Дои:10.1007 / BF02760337. МИСТЕР 0394135.
• Гейдар Раджави и Питер Розенталь (март 1982 г.). «Проблема инвариантного подпространства». Математический интеллект. 4 (1): 33–37. Дои:10.1007 / BF03022994.
• Карен Сакс, Начало функционального анализа, Тексты для бакалавриата по математике, 2002 г., Springer-Verlag, Нью-Йорк. (На страницах 122–123 содержится набросок биографии Пера Энфло.)
• Шмидт, Вольфганг М. (1980 [1996 год с небольшими исправлениями]) Диофантово приближение. Конспект лекций по математике 785. Springer.
• Певец Иван. Базы в банаховых пространствах. II. Editura Academiei Republicii Socialiste România, Бухарест; Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1981. viii + 880 с.ISBN 3-540-10394-5. МИСТЕР610799
• Ядав, Б.С. (2005). «Современное состояние и наследие проблемы инвариантного подпространства». Миланский математический журнал. 73: 289–316. Дои:10.1007 / s00032-005-0048-7. ISSN 1424-9286. МИСТЕР 2175046.

Внешние источники

• Биография Пера Энфло в Колледж Канисиуса
• Домашняя страница Пера Энфло в Кентский государственный университет
• Энфло, Пер (25 апреля 2011 г.). «Личные заметки, моими собственными словами». perenflo.com. Архивировано из оригинал 26 апреля 2012 г.. Получено 13 декабря 2011.CS1 maint: ref = harv (связь)

Базы данных

• Пер Энфло на Проект "Математическая генеалогия"
• Google ученый. "Пер Энфло". Получено 2010-05-15.
• Математические обзоры. "Пер Энфло". Получено 2010-05-14.