WikiDer > Диофантова геометрия

Diophantine geometry
Геометрия
Стереографическая проекция в 3D.svg
ветви
Геометры

В математике Диофантова геометрия это изучение точек алгебраические многообразия с координатами в целые числа, рациональное число, и их обобщения. Эти обобщения обычно поля это не алгебраически замкнутый, Такие как числовые поля, конечные поля, функциональные поля, и п-адические поля (но не действительные числа которые используются в действительная алгебраическая геометрия). Это подразделение арифметическая геометрия и один из подходов к теории Диофантовы уравнения, формулируя вопросы о таких уравнениях в терминах алгебраическая геометрия.

Одно уравнение определяет гиперповерхность, а совместные диофантовы уравнения порождают общую алгебраическое многообразие V над K; типичный вопрос о характере набора V(K) точек на V с координатами в K, а с помощью функции высоты Могут быть поставлены количественные вопросы о «размере» этих решений, а также качественные вопросы о том, существуют ли какие-либо точки, и если да, то существует ли их бесконечное число. Учитывая геометрический подход, рассмотрение однородные уравнения и однородные координаты является фундаментальным по тем же причинам, что и проективная геометрия является доминирующим подходом в алгебраической геометрии. Поэтому в первую очередь следует учитывать рациональные числовые решения; но интегральные решения (т.е. точки решетки) можно рассматривать так же, как аффинное разнообразие можно рассматривать внутри проективного многообразия, имеющего дополнительные указывает на бесконечность.

Общий подход диофантовой геометрии иллюстрируется Теорема Фальтингса (гипотеза Л. Дж. Морделл) заявив, что алгебраическая кривая C из род грамм > 1 над рациональными числами имеет только конечное число рациональные точки. Первым результатом такого рода могла быть теорема Гильберта и Гурвица, относящаяся к случаю грамм = 0. Теория состоит как из теорем, так и из множества гипотез и открытых вопросов.

Фон

Серж Ланг опубликовал книгу Диофантова геометрия в этом районе в 1962 году. Традиционно материал по диофантовым уравнениям располагался по степени и количеству переменных, как в книге Морделла. Диофантовы уравнения (1969). Книга Морделла начинается с замечания об однородных уравнениях. ж = 0 над рациональным полем, приписываемым К. Ф. Гаусс, что ненулевые решения в целых числах (даже примитивные точки решетки) существуют, если ненулевые рациональные решения существуют, и отмечает предостережение Л. Э. Диксон, который касается параметрических решений.[1] Результат Гильберта – Гурвица 1890 года, сводящий диофантову геометрию кривых рода 0 к степеням 1 и 2 (конические секции) встречается в главе 17, как и гипотеза Морделла. Теорема Зигеля о целых точках происходит в главе 28. Теорема морделла на конечном порождении группы рациональных точек на эллиптическая кривая находится в главе 16, а целые точки на Кривая морделла в главе 26.

Во враждебной рецензии на книгу Лэнга Морделл писал:

В последнее время были разработаны мощные новые геометрические идеи и методы, с помощью которых были найдены и доказаны важные новые арифметические теоремы и связанные с ними результаты, и некоторые из них нелегко доказать иначе. Кроме того, существовала тенденция облекать старые результаты, их расширения и доказательства на новый геометрический язык. Однако иногда все последствия результатов лучше всего описать в геометрической обстановке. Лэнг очень много думает об этих аспектах в этой книге и, кажется, не упускает возможности для геометрического представления. Отсюда его титул «Диофантова геометрия».[2]

Он отмечает, что содержание книги в основном является версиями Теорема Морделла – Вейля., Теорема Туэ – Зигеля – Рота., Теорема Зигеля, с учетом Теорема Гильберта о неприводимости и приложения (в стиле Зигеля). Не говоря уже о вопросах общности и совершенно разном стиле, основное математическое различие между двумя книгами состоит в том, что Лэнг использовал абелевы разновидности и предложил доказательство теоремы Зигеля, в то время как Морделл отметил, что доказательство «носит очень продвинутый характер» (стр. 263).

Несмотря на поначалу плохую прессу, концепция Лэнга была достаточно широко принята, чтобы в 2006 году книга была названа «провидческой».[3] Поле большего размера иногда называют арифметика абелевых многообразий теперь включает диофантову геометрию вместе с теория поля классов, комплексное умножение, локальные дзета-функции и L-функции.[4] Пол Войта написал:

В то время как другие разделяли эту точку зрения (например, Weil, Тейт, Серр), легко забыть, что другие этого не сделали, поскольку обзор Морделла Диофантова геометрия свидетельствует.[5]

Смотрите также

Рекомендации

  • «Диофантова геометрия», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

Примечания

  1. ^ Морделл, Луи Дж. (1969). Диофантовы уравнения. Академическая пресса. п. 1. ISBN 978-0125062503.
  2. ^ "Морделл: Обзор: Серж Ланг, Диофантова геометрия". Projecteuclid.org. 2007-07-04. Получено 2015-10-07.
  3. ^ Марк Хиндри. "La géométrie diophantienne, selon Serge Lang" (PDF). Gazette des mathématiciens. Получено 2015-10-07.
  4. ^ «Алгебраические многообразия, арифметика», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
  5. ^ Джей Йоргенсон; Стивен Г. Кранц. "Математический вклад Сержа Ланга" (PDF). Ams.org. Получено 2015-10-07.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка