WikiDer > Пирамида (геометрия)
Правые пирамиды с регулярным основанием | |
---|---|
Обозначения многогранника Конвея | Yп |
Символ Шлефли | ( ) ∨ {п} |
Лица | п треугольники, 1 п-угольник |
Края | 2п |
Вершины | п + 1 |
Группа симметрии | Cпv, [1,п], (*nn), порядок 2п |
Группа вращения | Cп, [1,п]+, (nn), порядок п |
Двойной многогранник | Самодвойственный |
Характеристики | выпуклый |
В геометрия, а пирамида это многогранник образованный путем подключения многоугольный основание и точка, называемая вершина. Каждое базовое ребро и вершина образуют треугольник, называемый боковая сторона. Это коническое тело с многоугольным основанием. Пирамида с п-сторонняя база имеет п + 1 вершины, п + 1 лица и 2п края. Все пирамиды самодвойственный.
А правая пирамида имеет вершину прямо над центроид своей базы. Непрямые пирамиды называются наклонные пирамиды. А правильная пирамида имеет правильный многоугольник база и обычно подразумевается правая пирамида.[1][2]
Если не указано иное, пирамида обычно считается обычный квадратная пирамида, как физический пирамида конструкции. А треугольникпирамидой на основе тетраэдр.
Среди наклонных пирамид вроде острые и тупые треугольники, пирамиду можно назвать острый если его вершина находится выше внутренней части основания и тупой если его вершина находится над внешней стороной основания. А прямоугольная пирамида имеет вершину над краем или вершиной основания. В тетраэдре эти квалификаторы меняются в зависимости от того, какая грань считается основной.
Пирамиды - это класс призматоиды. Пирамиды можно складывать вдвое. бипирамиды добавив вторую точку смещения на другой стороне базовой плоскости.
Правые пирамиды с правильным основанием
Правая пирамида с правильным основанием имеет стороны равнобедренного треугольника с симметрией Cпv или [1,п], с порядком 2п. Ему можно дать расширенный Символ Шлефли ( ) ∨ {п}, представляющий точку (), соединенную (ортогональное смещение) с правильный многоугольник, {n}. Операция соединения создает новое ребро между всеми парами вершин двух соединенных фигур.[3]
В тригональный или треугольная пирамида со всеми равносторонний треугольник лица становится обычный тетраэдр, один из Платоновы тела. Случай более низкой симметрии треугольная пирамида это C3в, который имеет основание равностороннего треугольника и 3 одинаковые стороны равнобедренного треугольника. Квадратные и пятиугольные пирамиды также могут состоять из правильных выпуклых многоугольников, в этом случае они Твердые тела Джонсона.
Если все ребра квадратной пирамиды (или любого выпуклого многогранника) равны касательная к сфера так что среднее положение точек касания находится в центре сферы, тогда пирамида называется канонический, и составляет половину регулярного октаэдр.
Пирамиды с основанием шестиугольника и выше должны состоять из равнобедренных треугольников. Гексагональная пирамида с равносторонними треугольниками будет полностью плоской фигурой, а семиугольная или выше треугольники вообще не пересекаются.
Правильные пирамиды | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Дигональный | Треугольная | Квадрат | Пятиугольник | Шестиугольный | Семиугольный | Восьмиугольный | Эннеагональный | Десятиугольный ... |
Неправильный | Обычный | Равносторонний | Равнобедренный | |||||
Правые звездные пирамиды
Правые пирамиды с правильный многоугольник базы называются звездные пирамиды.[4] Например, пентаграммическая пирамида имеет пентаграмма основание и 5 пересекающихся сторон треугольника.
Правые пирамиды с неправильным основанием
А правая пирамида можно назвать () ∨P, где () - вершина, ∨ - оператор соединения, а P - базовый многоугольник.
An равнобедренный треугольник прямоугольный тетраэдр можно записать как () ∨ [() ∨ {}] как соединение точки с равнобедренный треугольник база, как [() ∨ ()] ∨ {} или {} ∨ {} как соединение (ортогональные смещения) двух ортогональных сегментов, a дигональный дисфеноид, содержащий 4 грани равнобедренного треугольника. Он имеет C1v симметрия от двух разных ориентаций основания и вершины, и C2v в полной симметрии.
А прямоугольный правая пирамида, записываемую как () ∨ [{} × {}], а ромбический пирамида, поскольку () ∨ [{} + {}], оба обладают симметрией C2v.
Прямоугольная пирамида | Ромбическая пирамида |
---|
Объем
В объем пирамиды (также любого конуса) , где б это площадь базы и час высота от основания до вершины. Это работает для любого многоугольника, правильного или нестандартного, и любого местоположения вершины при условии, что час измеряется как перпендикуляр расстояние от самолет содержащий базу. В 499 г. Арьябхата, а математик-астроном с классической эпохи Индийская математика и Индийская астрономия, использовал этот метод в Арьябхатия (раздел 2.6).
Формулу можно формально доказать с помощью исчисления. По сходству линейный размеры поперечного сечения, параллельного основанию, линейно увеличиваются от вершины к основанию. Коэффициент масштабирования (коэффициент пропорциональности) равен , или же , где час это высота и у - расстояние по перпендикуляру от плоскости основания до поперечного сечения. Поскольку площадь любого поперечного сечения пропорциональна квадрату формы масштабирование коэффициент, площадь поперечного сечения на высоте у является , или поскольку оба б и час константы, . Объем задается интеграл
То же уравнение, , справедливо и для конусов с любым основанием. Это можно доказать аргументом, аналогичным приведенному выше; видеть объем конуса.
Например, объем пирамиды, основанием которой является п-сторонний правильный многоугольник с длиной стороны s и чей рост час является
Формула также может быть получена точно без исчисления для пирамид с прямоугольными основаниями. Рассмотрим единичный куб. Проведите линии от центра куба к каждой из 8 вершин. Это делит куб на 6 равных квадратных пирамид с площадью основания 1 и высотой 1/2. Каждая пирамида явно имеет объем 1/6. Из этого мы заключаем, что объем пирамиды = высота × площадь основания / 3.
Затем растяните куб равномерно в трех направлениях на неравные величины, чтобы получившиеся прямоугольные сплошные края были а, б и c, с солидным объемом abc. Каждая из шести пирамид внутри тоже расширяется. И каждая пирамида имеет одинаковый объем abc/ 6. Поскольку пары пирамид имеют высоту а/2, б/ 2 и c/ 2, мы снова видим, что объем пирамиды = высота × площадь основания / 3.
Когда боковые треугольники равносторонние, формула объема имеет вид
Эта формула применяется только для п = 2, 3, 4 и 5; и это также охватывает случай п = 6, для которого объем равен нулю (т.е. высота пирамиды равна нулю).[нужна цитата]
Площадь поверхности
В площадь поверхности пирамиды , где B это базовая площадь, п это база периметр, а наклонная высота , где час высота пирамиды и р это inradius базы.
Центроид
В центроид пирамиды находится на отрезке, соединяющем вершина к центру тяжести основания. Для твердой пирамиды центр тяжести составляет 1/4 расстояния от основания до вершины.
п-мерные пирамиды
Двумерная пирамида представляет собой треугольник, образованный ребром основания, соединенным с неколлинеарной точкой, называемой вершина.
Четырехмерная пирамида называется многогранная пирамида, построенный многогранник в трехмерной гиперплоскости четырехмерного пространства с другой точкой за пределами этой гиперплоскости.
Аналогично строятся и многомерные пирамиды.
Семья симплексы представляют пирамиды в любом измерении, увеличиваясь от треугольник, тетраэдр, 5-элементный, 5-симплекси т. д. n-мерный симплекс имеет минимум п + 1 вершины, причем все пары вершин соединены края, все тройки вершин, определяющие грани, все четверки точек, определяющие тетраэдр клетки, так далее.
Многогранная пирамида
В 4-х мерном геометрия, а многогранная пирамида это 4-многогранник построен на базе многогранник ячейка и вершина точка. Боковой грани представляют собой клетки пирамиды, каждая из которых состоит из одной грани базового многогранника и вершины. Вершины и ребра многогранных пирамид образуют примеры графики вершин, графы, образованные добавлением одной вершины (вершины) к планарный граф (график базы).
Регулярный 5-элементный (или 4-симплекс) является примером четырехгранная пирамида. Из однородных многогранников с описанными радиусами меньше 1 можно образовать многогранные пирамиды с правильными четырехгранными сторонами. Многогранник с v вершины, е края и ж грани могут быть основанием многогранной пирамиды с v + 1 вершины, e + v края, е + е лица, и 1 + ж клетки.
A 4D многогранная пирамида с осевой симметрией можно визуализировать в 3D с помощью Диаграмма Шлегеля- трехмерная проекция, в которой вершина находится в центре базового многогранника.
Симметрия | [1,1,4] | [1,2,3] | [1,3,3] | [1,4,3] | [1,5,3] | |
---|---|---|---|---|---|---|
имя | Квадратно-пирамидальная пирамида | Пирамида с треугольной призмой | Тетраэдрическая пирамида | Кубическая пирамида | Восьмигранная пирамида | Икосаэдрическая пирамида |
Сегментохора показатель[5] | K4.4 | K4.7 | K4.1 | K4.26.1 | K4.3 | K4.84 |
Высота | 0.707107 | 0.790569 | 0.790569 | 0.500000 | 0.707107 | 0.309017 |
Изображение (Основание) | ||||||
База | Квадрат пирамида | Треугольная призма | Тетраэдр | Куб | Октаэдр | Икосаэдр |
Любой выпуклый 4-многогранник можно разбить на многогранные пирамиды добавив внутреннюю точку и создав по одной пирамиде от каждой грани до центральной точки. Это может быть полезно для вычисления объемов.
4-мерный объем многогранной пирамиды составляет 1/4 объема базового многогранника, умноженного на его перпендикулярную высоту, по сравнению с площадью треугольника, равной 1/2 длины основания, умноженной на высоту, а объем пирамиды составляет 1/3 площадь основания, умноженная на высоту.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Уильям Ф. Керн, Джеймс Р. Бланд,Твердое измерение с доказательствами, 1938, с. 46
- ^ Карманный справочник инженеров-строителей: Справочник для инженеров В архиве 2018-02-25 в Wayback Machine
- ^ N.W. Джонсон: Геометрии и преобразования, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии, 11.3 Пирамиды, призмы и антипризмы
- ^ Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников, Cambridge University Press, стр. 50, ISBN 978-0-521-09859-5, в архиве из оригинала от 11.12.2013.
- ^ Выпуклый сегментохора В архиве 2014-04-19 в Wayback Machine Д-р Ричард Клитцинг, Симметрия: культура и наука, Vol. 11, №№ 1–4, 139–181, 2000 г.
внешняя ссылка
Викискладе есть медиафайлы по теме Пирамиды (геометрия). |