WikiDer > Обозначения многогранника Конвея

Conway polyhedron notation
Этот пример диаграммы показывает, как 11 новых форм могут быть получены из куба с помощью 3 операций. Новые многогранники показаны в виде карт на поверхности куба, поэтому топологические изменения более очевидны. Вершины всех форм отмечены кружками.

В геометрии Обозначения многогранника Конвея, изобретенный Джон Хортон Конвей и продвигается Джордж У. Харт, используется для описания многогранники на основе семенного многогранника, модифицированного различными приставками операции.[1][2]

Конвей и Харт расширили идею использования операторов, таких как усечение как определено Кеплер, чтобы построить связанные многогранники одинаковой симметрии. Например, tC представляет усеченный куб, и ТАС, разбирается как , является (топологически) а усеченный кубооктаэдр. Самый простой оператор двойной меняет местами вершины и грани; например, дуальный куб - это октаэдр: Округ Колумбия=О. Примененные последовательно, эти операторы позволяют генерировать много многогранников более высокого порядка. Конвей определил операторов abdegjkmost, а Харт добавил р и п.[3] Более поздние реализации называли дополнительные операторы, иногда называемые «расширенными» операторами.[4][5] Базовых операций Конвея достаточно для создания Архимедов и Каталонские твердые вещества из Платоновых тел. Некоторые базовые операции могут быть составными из других: например, двойное применение амвона - это операция расширения: аа = е, а усечение после амвона дает скос: та = б.

Многогранники могут быть изучены топологически с точки зрения того, как их вершины, ребра и грани соединяются вместе, или геометрически, с точки зрения размещения этих элементов в пространстве. Различные реализации этих операторов могут создавать геометрически разные, но топологически эквивалентные многогранники. Эти топологически эквивалентные многогранники можно рассматривать как один из многих вложения из многогранный граф на сфере. Если не указано иное, в этой статье (и в литературе по операторам Конвея в целом) первоочередное внимание уделяется топологии. Многогранники с род 0 (т.е. топологически эквивалентен сфере) часто помещаются в каноническая форма чтобы избежать двусмысленности.

Операторы

В обозначениях Конвея операции с многогранниками применяются как функции, справа налево. Например, кубооктаэдр является амвонский куб,[6] т.е. , а усеченный кубооктаэдр является . Повторное применение оператора можно обозначить показателем степени: j2 = о. В общем, операторы Конвея не коммутативный.

Можно визуализировать отдельных операторов в виде фундаментальные области (или камеры), как показано ниже. Каждый прямоугольный треугольник - это фундаментальная область. Каждая белая камера представляет собой повернутую версию других, как и каждая цветная камера. За ахиральный операторов, цветные камеры являются отражением белых камер, и все они транзитивны. В групповом плане ахиральные операторы соответствуют диэдральные группы Dп куда п - количество сторон грани, а киральные операторы соответствуют циклические группы Cп лишены отражательной симметрии диэдральных групп. Ахирал и хиральный Операторы также называются локальными операциями, сохраняющими симметрию (LSP) и локальными операциями, сохраняющими симметрию, сохраняющими ориентацию (LOPSP), соответственно.[7][8][9]LSP следует понимать как локальные операции, сохраняющие симметрию, а не как операции, сохраняющие локальную симметрию. Опять же, это симметрии в топологическом, а не геометрическом смысле: точные углы и длины ребер могут отличаться.

Фундаментальные области лиц с стороны
3 (треугольник)4 (квадрат)5 (Пентагон)6 (шестиугольник)
Треугольник chambers.svgЧетырехугольник chambers.svgПентагон chambers.svgHexagon chambers.svg
Фундаментальные области для групп полиэдров. Группы для ахиральных многогранников и для киральных многогранников.

Харт представил оператор отражения р, что дает зеркальное отображение многогранника.[6] Это не совсем LOPSP, поскольку он не сохраняет ориентацию: он меняет ее местами, меняя местами белые и красные камеры. р не влияет на ахиральные многогранники, кроме ориентации, и rr = S возвращает исходный многогранник. Верхняя черта может использоваться для обозначения другой хиральной формы оператора: s = RSR.

Операция неприводима, если она не может быть выражена как композиция операторов, кроме d и р. Большинство исходных операторов Конвея неприводимы: исключения е, б, о, и м.

Матричное представление

Икс
xd
dx
dxd

Связь между количеством вершин, ребер и граней семени и многогранника, созданного операциями, перечисленными в этой статье, может быть выражена в виде матрицы . Когда Икс это оператор, - вершины, ребра и грани семени (соответственно), а - вершины, ребра и грани результата, тогда

.

Матрица для композиции двух операторов - это просто произведение матриц для двух операторов. Различные операторы могут иметь одинаковую матрицу, например, п и л. Количество краев результата является целым кратным d начального уровня: это называется темпом инфляции или краевым фактором.[7]

Простейшие операторы оператор идентификации S и двойной оператор d, имеют простые матричные формы:

,

Два двойных оператора сокращаются; дд = S, а квадрат это единичная матрица. Применительно к другим операторам дуальный оператор соответствует горизонтальному и вертикальному отражениям матрицы. Операторы могут быть сгруппированы в группы по четыре (или меньше, если некоторые формы одинаковы) путем идентификации операторов. Икс, xd (оператор двойственного), dx (двойственный к оператору), и dxd (сопряжение оператора). В этой статье только матрица для Икс дается, так как остальные являются простыми отражениями.

Количество операторов

Количество LSP для каждого уровня инфляции составляет начиная с уровня инфляции 1. Однако не все LSP обязательно образуют многогранник, ребра и вершины которого образуют 3-связный граф, и как следствие Теорема Стейница не обязательно производить выпуклый многогранник из выпуклого семени. Количество 3-связанных LSP для каждого уровня инфляции составляет .[8]

Исходные операции

Строго говоря, семя (S), иголка (п) и zip (z) не были включены Конвеем, но они связаны с оригинальными операциями Конвея по дуальности, поэтому включены здесь.

С этого момента операции визуализируются с семенами куба, нарисованными на поверхности этого куба. Синие грани пересекают края семени, а розовые грани лежат над вершинами семени. Существует некоторая гибкость в точном размещении вершин, особенно с киральными операторами.

Оригинальные операторы Конвея
Краевой факторМатрица ИксxddxdxdПримечания
1Конвей К.png
Семя: S
Конвей dC.png
Двойной: d
Конвей К.png
Семя: дд = S
Dual заменяет каждую грань вершиной, а каждую вершину - гранью.
2Конвей jC.png
Присоединиться: j
Конвей aC.png
Амбо: а
Соединение создает четырехугольные грани. Амбо создает вершины четвертой степени и также называется исправление, или медиальный график в теории графов.[10]
3Конвей kC.png
Кис: k
Конвей kdC.png
Иголка: п
Конвей dkC.png
Почтовый индекс: z
Конвей tC.png
Усечь: т
Кис поднимает пирамиду на каждом лице, что также называется акисатион, Kleetope, кумуляция,[11] аккреция, или пирамида-увеличение. Усечь отрезает многогранник в его вершинах, но оставляет часть исходных ребер.[12] Zip также называют битовое усечение.
4Конвей oC.png
Орто: о = jj
Конвей eC.png
Расширять: е = аа
5Конвей gC.png
Гироскоп: грамм
б-г = rgrSD = RSRКонвей sC.png
Курносый: s
Киральные операторы. Видеть Курносый (геометрия). В отличие от Харта,[3] б-г не то же самое, что грамм: это его киральная пара.[13]
6Конвей mC.png
Мета: м = кДж
Конвей bC.png
Скос: б = та

Семена

Любой многогранник может служить семенем, если над ним можно выполнять операции. Обычным семенам присвоена буква. Платоновы тела представлены первой буквой их имени (Тэтраэдр, Окаэдр, Cубе, якосаэдр, Dодекаэдр); то приски (пп) за п-гональные формы; антипризмы (Ап); cтыPolae (Uп); anticupolae (Vп); и пурамиды (Yп). Любой JOhnson Solid может называться Jп, за п=1..92.

Все пять правильных многогранников можно сгенерировать из призматических образующих от нуля до двух операторов:[14]

Обычные евклидовы мозаики также можно использовать как семена:

Расширенные операции

Это операции, созданные по оригинальному набору Конвея. Обратите внимание, что существует гораздо больше операций, чем было названо; просто потому, что здесь нет операции, не означает, что она не существует (или не является LSP или LOPSP). Для упрощения в этот список включены только неприводимые операторы: другие могут быть созданы путем объединения операторов вместе.

Неприводимые расширенные операторы
Краевой факторМатрица ИксxddxdxdПримечания
4Конвей cC.png
Фаска: c
Конвей duC.png
CD = ду
Конвей dcC.png
Округ Колумбия = уд
Конвей uC.png
Подразделить: ты
Фаска - это форма соединения л. Видеть Фаска (геометрия).
5Конвей pC.png
Пропеллер: п
Конвей dpC.png
дп = pd
Конвей pC.png
dpd = п
Киральные операторы. Оператор пропеллера был разработан Джорджем Хартом.[15]
5Конвей lC.png
Лофт: л
Конвей ldC.png
ld
Конвей dlC.png
дл
Конвей dldC.png
dld
6Конвей qC.png
Quinto: q
Конвей qdC.png
qd
Конвей dqC.png
dq
Конвей dqdC.png
dqd
6Конвей L0C.png
Соединить кружево: L0
Диаграмма Конвея L0d.png
L0d
Конвей dL0C.png
дл0
Конвей dL0d.png
дл0d
См. Ниже объяснение нотации соединения.
7Конвей LC.png
Кружево: L
Конвей L0dC.png
Ld
Конвей dLC.png
дл
Конвей dLdC.png
dLd
7Конвей KC.png
Ставка: K
Конвей KdC.png
Kd
Конвей dKC.png
dK
Конвей dKdC.png
dKd
7Конвей wC.png
Вихрь: ш
wd = dvКонвей dwC.png
vd = dw
Улитка: vКиральные операторы.
8Конвей (kk) 0C.png
Присоединяйтесь-кис-кис:
Конвей (kk) 0dC.png
Конвей d (kk) 0C.png
Конвей d (kk) 0dC.png
Иногда называют J.[4] См. Ниже объяснение нотации соединения. Несоединяемая форма, кк, не является неприводимым.
10Конвей XC.png
Крест: Икс
Конвей XdC.png
Xd
Конвей dXC.png
dX
Конвей dXdC.png
dXd

Индексированные расширенные операции

Ряд операторов можно сгруппировать по некоторым критериям или изменить их поведение с помощью индекса.[4] Они записываются как оператор с нижним индексом: Иксп.

Увеличение

Увеличение операции сохраняют исходные края. Они могут применяться к любому независимому подмножеству лиц или могут быть преобразованы в присоединиться-формовать, удалив исходные края. Обозначение Конвея поддерживает необязательный индекс для этих операторов: 0 для формы соединения или 3 или выше для количества сторон затронутых граней. Например, k4Y4= O: если взять пирамиду с квадратным основанием и приклеить другую пирамиду к квадратному основанию, получится октаэдр.

ОператорkлLK(кк)
ИксКонвей kC.pngКонвей lC.pngКонвей LC.pngКонвей KC.pngКонвей kkC.png
Икс0Конвей jC.png
k0 = j
Конвей cC.png
л0 = c
Конвей L0C.png
L0
Конвей K0C.png
K0 = jk
Конвей (kk) 0C.png
УвеличениеПирамидаПризмаАнтипризма

Оператор усечения т также имеет форму индекса тп, что указывает на то, что усекаются только вершины определенной степени. Это эквивалентно dkпd.

Некоторые из расширенных операторов могут быть созданы в особых случаях с помощью kп и тп операторы. Например, куб с фаской, cC, можно построить как т4daC, как ромбический додекаэдр, daC или же jC, с усеченными вершинами степени 4. Поднятый куб, lC такой же как т4kC. Квинтододекаэдр, qD можно построить как т5даад или же т5deD или же т5oD, а дельтовидный гексеконтаэдр, deD или же oD, с усеченными вершинами степени 5.

Мета / скос

Meta добавляет вершины в центре и по краям, а Bevel добавляет грани в центре, исходные вершины и по краям. Индекс показывает, сколько вершин или граней добавлено по краям. Мета (в неиндексированной форме) также называется усечение или же омниусечение. Обратите внимание, что 0 здесь не означает то же самое, что и для операций увеличения: это означает, что по краям добавляются нулевые вершины (или грани).[4]

Операторы Meta / Bevel
пКраевой факторМатрица Иксxddxdxd
03Конвей kC.png
k = м0
Конвей kdC.png
п
Конвей dkC.png
z = б0
Конвей tC.png
т
16Конвей mC.png
м = м1 = кДж
Конвей bC.png
б = б1 = та
29Конвей m3C.png
м2
Конвей m3dC.png
м2d
Конвей b3C.png
б2
Конвей dm3dC.png
б2d
312Конвей m4C.png
м3
м3dб3б3d
п3п+3мпмпdбпбпd

Медиальный

Медиал похож на мета, за исключением того, что он не добавляет ребер от центра к каждой исходной вершине. Форма индекса 1 идентична операторам орто и расширения Конвея: расширение также называется песня и расширение. Обратите внимание, что о и е имеют свои собственные индексированные формы, описанные ниже. Также обратите внимание, что некоторые реализации начинают индексацию с 0 вместо 1.[4]

Медиальные операторы
пКрай
фактор
Матрица Иксxddxdxd
14Конвей oC.png
M1 = о = jj
Конвей eC.png
е = аа
27Конвей MC.png
Медиальный: M = M2
Конвей MdC.png
Мкр
Конвей dMC.png
дМ
Конвей dMdC.png
dMd
п3п+1MпMпdдМпдМпd

Гольдберг-Кокстер

Операторы Гольдберга-Кокстера (ГК) Конвея - это два бесконечных семейства операторов, которые являются расширением Построение Гольдберга-Кокстера.[16][17] Конструкцию GC можно представить как взятие треугольной части треугольной решетки или квадратной части квадратной решетки и наложение ее на каждую грань многогранника. Эту конструкцию можно распространить на любую грань, определив камеры треугольника или квадрата («главный многоугольник»).[7] Операторы из семейства треугольников могут использоваться для создания Многогранники Гольдберга и геодезические многогранники: видеть Список геодезических многогранников и многогранников Гольдберга для формул.

Эти два семейства представляют собой треугольное семейство GC, cа, б и тыа, б, и семейство четырехугольника GC, еа, б и оа, б. Оба семейства GC индексируются двумя целыми числами и . Они обладают множеством приятных качеств:

Операторы разделены на три класса (примеры написаны в терминах c но применимо ко всем 4 операторам):

  • Класс I: . Ахиральный, сохраняет оригинальные края. Может быть записано с подавленным нулевым индексом, например cа,0 = cа.
  • Класс II: . Тоже ахирал. Можно разложить как cа, а = cаc1,1
  • Класс III: все остальные операторы. Это хиральные и cа, б и cб, а являются киральными парами друг друга.

Из оригинальных операций Конвея единственными, которые не попадают в семейство GC, являются грамм и s (гироскоп и курносый). Мета и скос (м и б) можно выразить через один оператор из треугольного семейства и один из четырехугольного семейства.

Треугольная

Треугольные операторы Гольдберга-Кокстера.
абУчебный классКраевой фактор
Т = а2 + ab + b2
Матрица Главный треугольникИксxddxdxd
10я1Разделенный треугольник 01 00.svgКонвей К.png
ты1 = S
Конвей dC.png
d
Конвей К.png
c1 = S
20я4Разделенный треугольник 02 00.svgКонвей uC.png
ты2 = ты
Конвей dcC.png
Округ Колумбия
Конвей duC.png
ду
Конвей cC.png
c2 = c
30я9Разделенный треугольник 03 00.svgКонвей ktC.png
ты3 = nn
Конвей dtkC.png
нк
Конвей dktC.png
zt
Конвей tkC.png
c3 = zz
40я16Разделенный треугольник 04 00.svgКонвей u4C.png
ты4 = уу
уд = dccдуу = ccdc4 = cc
50я25Разделенный треугольник 05 00.svgКонвей u5C.png
ты5
ты5d = Округ Колумбия5ду5 = c5dc5
60я36Разделенный треугольник 06 00.svgКонвей u6C.png
ты6 = unn
unkcztты6 = czz
70я49Разделенный треугольник 07 00.svgКонвей u7.png
ты7 = ты2,1ты1,2 = VRV
vrvd = dwrwdvrv = wrwdc7 = c2,1c1,2 = wrw
80я64Разделенный треугольник 08 00.svgКонвей u8C.png
ты8 = ты3
ты3d = Округ Колумбия3ду3 = c3dc8 = c3
90я81Разделенный треугольник 09 00.svgКонвей u9C.png
ты9 = п4
п3k = kz3tn3 = z3тc9 = z4
11II3Разделенный треугольник 01 01.svgКонвей kdC.png
ты1,1 = п
Конвей kC.png
k
Конвей tC.png
т
Конвей dkC.png
c1,1 = z
21III7Разделенный треугольник 02 01.svgv = ты2,1Конвей dwC.png
vd = dw
dv = wdКонвей wC.png
ш = c2,1
31III13Разделенный треугольник 03 01.svgты3,1ты3,1d = Округ Колумбия3,1ду3,1 = c3,1dКонвей w3C.png
c3,1
32III19Разделенный треугольник 03 02.svgты3,2ты3,2d = Округ Колумбия3,2ду3,2 = c3,2dКонвей w3-2.png
c3,2
43III37Разделенный треугольник 04 03.svgты4,3ты4,3d = Округ Колумбия4,3ду4,3 = c4,3dКонвей w4-3C.png
c4,3
54III61Разделенный треугольник 05 04.svgты5,4ты5,4d = Округ Колумбия5,4ду5,4 = c5,4dКонвей w5-4C.png
c5,4
65III91Разделенный треугольник 06 05.svgты6,5 = ты1,2ты1,3ты6,5d = Округ Колумбия6,5ду6,5 = c6,5dКонвей w6-5C.png
c6,5=c1,2c1,3
76III127Разделенный треугольник 07 06.svgты7,6ты7,6d = Округ Колумбия7,6ду7,6 = c7,6dКонвей w7C.png
c7,6
87III169Разделенный треугольник 08 07.svgты8,7 = ты3,12ты8,7d = Округ Колумбия8,7ду8,7 = c8,7dКонвей w8C.png
c8,7 = c3,12
98III217Разделенный треугольник 09 08.svgты9,8 = ты2,1ты5,1ты9,8d = Округ Колумбия9,8ду9,8 = c9,8dКонвей w9C.png
c9,8 = c2,1c5,1
I, II или III...тыа, бтыа, бd = Округ Колумбияа, бдуа, б = cа, бdcа, б
I или III...тыа, бтыа, бd = Округ Колумбияа, бдуа, б = cа, бdcа, б

Согласно основной теории чисел, для любых значений а и б, .

Четырехугольник

Четырехугольные операторы Гольдберга-Кокстера
абУчебный классКраевой фактор
Т = а2 + b2
Матрица Мастер-квадратИксxddxdxd
10я1Разделенный квадрат 01 00.svgКонвей К.png
о1 = S
Конвей dC.png
е1 = d
Конвей К.png
о1 = дд = S
20я4Разделенный квадрат 02 00.svgКонвей oC.png
о2 = о = j2
Конвей eC.png
е2 = е = а2
30я9Разделенный квадрат 03 00.svgКонвей o3C.png
о3
Конвей e3C.png
е3
Конвей o3C.png
о3
40я16Разделенный квадрат 04 00.svgКонвей deeC.png
о4 = оо = j4
Конвей eeC.png
е4 = ее = а4
50я25Разделенный квадрат 05 00.svgКонвей o5C.png
о5 = о2,1о1,2 = прп
е5 = е2,1е1,2Конвей o5C.png
о5= dprpd
60я36Разделенный квадрат 06 00.svgКонвей o6C.png
о6 = о2о3
е6 = е2е3
70я49Разделенный квадрат 07 00.svgКонвей o7C.png
о7
е7Конвей o7C.png
о7
80я64Разделенный квадрат 08 00.svgКонвей o8C.png
о8 = о3 = j6
е8 = е3 = а6
90я81Разделенный квадрат 09 00.svgКонвей o9C.png
о9 = о32

е9 = е32
Конвей o9C.png
о9
100я100Разделенный квадрат 10 00.svgКонвей o10C.png
о10 = оо2,1о1,2
е10 = ее2,1е1,2
11II2Разделенный квадрат 01 01.svgКонвей jC.png
о1,1 = j
Конвей aC.png
е1,1 = а
22II8Разделенный квадрат 02 02.svgКонвей daaaC.png
о2,2 = j3
Конвей aaaC.png
е2,2 = а3
12III5Разделенный квадрат 01 02.svgКонвей pC.png
о1,2 = п
Конвей dpC.png
е1,2 = дп = pd
Конвей pC.png
п
I, II или IIIТ четное...оа, беа, б
I или IIIТ странный...оа, беа, боа, б

Примеры

Смотрите также Список геодезических многогранников и многогранников Гольдберга.

Архимедовы и каталонские твердые тела

Исходный набор операторов Конвея может создавать все Архимедовы тела и Каталонские твердые вещества, с использованием Платоновы тела как семена. (Обратите внимание, что р оператор не требуется для создания обеих хиральных форм.)

Составные операторы

В усеченный икосаэдр, tI = zD, можно использовать в качестве начального числа для создания более визуально приятных многогранников, хотя они ни вершина ни лицо переходный.

Другие поверхности

На самолете

Каждый из выпуклые равномерные мозаики можно создать, применяя операторы Конвея к правильные мозаики Q, H и Δ.

На торе

Операторы Конвея также могут применяться к тороидальные многогранники и многогранники с множеством отверстий.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Джон Хортон Конвей; Хайди Берджел; Хаим Гудман-Штрасс (2008). «Глава 21: Именование архимедовых и каталонских многогранников и плиток». Симметрии вещей. ISBN 978-1-56881-220-5.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Обозначение многогранника Конвея". MathWorld.
  3. ^ а б Джордж У. Харт (1998). "Обозначение Конвея для многогранников". Виртуальные многогранники.
  4. ^ а б c d е Адриан Росситер. "Конвей - Преобразования нотации Конвея". Программное обеспечение для моделирования антипризм многогранников.
  5. ^ Ансельм Левская. "полигедронизм".
  6. ^ а б Харт, Джордж (1998). "Обозначение Конвея для многогранников". Виртуальные многогранники. (См. Четвертую строку таблицы: «a = ambo».)
  7. ^ а б c Brinkmann, G .; Goetschalckx, P .; Шейн, С. (2017). «Гольдберг, Фуллер, Каспар, Клуг и Кокстер и общий подход к локальным операциям сохранения симметрии». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 473 (2206): 20170267. arXiv:1705.02848. Bibcode:2017RSPSA.47370267B. Дои:10.1098 / rspa.2017.0267. S2CID 119171258.
  8. ^ а б Гетшалькс, Питер; Coolsaet, Крис; Ван Клемпут, Нико (12 апреля 2020). «Генерация локальных операций, сохраняющих симметрию». arXiv:1908.11622 [math.CO].
  9. ^ Гетшалькс, Питер; Coolsaet, Крис; Ван Клемпут, Нико (2020-04-11). «Операции на многогранниках, сохраняющие локальную ориентацию и симметрию». arXiv:2004.05501 [math.CO].
  10. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Ректификация». MathWorld.
  11. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Накопление». MathWorld.
  12. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Усечение». MathWorld.
  13. ^ «Антипризма - проблема хиральности в Конвей».
  14. ^ Ливио Зефиро (2008). «Генерация икосаэдра пересечением пяти тетраэдров: геометрические и кристаллографические особенности промежуточных многогранников». Висмат.
  15. ^ Джордж У. Харт (август 2000 г.). Скульптура на основе пропеллоризированных многогранников. Труды MOSAIC 2000. Сиэтл, Вашингтон. С. 61–70.
  16. ^ Деза, М.; Дютур, М. (2004). «Конструкции Гольдберга – Кокстера для 3- и 4-валентных плоских графов». Электронный журнал комбинаторики. 11: # R20. Дои:10.37236/1773.
  17. ^ Деза, М.-М .; Sikirić, M.D .; Штогрин, М. И. (2015). «Построение и параметризация Голдберга – Кокстера». Геометрическая структура химико-релевантных графов: зигзаги и центральные схемы. Springer. С. 131–148. ISBN 9788132224495.

внешняя ссылка

  • polyHédronisme: генерирует многогранники на холсте HTML5, принимая нотацию Конвея в качестве входных данных