WikiDer > Функциональное пространство

Function space

В математика, а функциональное пространство это набор из функции между двумя фиксированными наборами. Часто домен и / или codomain будут дополнительные структура который наследуется функциональным пространством. Например, набор функций из любого набора Икс в векторное пространство имеет естественный структура векторного пространства задается точечно сложение и скалярное умножение. В других сценариях функциональное пространство может наследовать топологический или же метрика структура, отсюда и название функция Космос.

В линейной алгебре

Сложение функций: сумма синуса и экспоненциальной функции равна

{ Displaystyle грех + ехр: mathbb {R} to mathbb {R}}

с

{ Displaystyle ( грех + ехр) (х) = грех (х) + ехр (х)}

Позволять V быть векторным пространством над поле F и разреши Икс быть любым набором. Функции Икс → V можно задать структуру векторного пространства над F где операции определены поточечно, т.е. для любых ж, грамм : Икс → V, любой Икс в Икс, и любые c в F, определять

{ Displaystyle { begin {выровнено} (е + г) (х) & = е (х) + г (х) (с cdot f) (х) & = с cdot f (х) конец {выровнено}}}

Когда домен Икс имеет дополнительную структуру, вместо этого можно рассмотреть подмножество (или же подпространство) всех таких функций, которые уважают эту структуру. Например, если Икс также является векторным пространством над F, набор линейные карты Икс → V сформировать векторное пространство над F с поточечными операциями (часто обозначаются Hom(Икс,V)). Одно из таких мест - двойное пространство из V: набор линейные функционалы V → F со сложением и скалярным умножением, определенными поточечно.

Примеры

Функциональные пространства появляются в различных областях математики:

В теория множеств, набор функций из Икс к Y может быть обозначено Икс → Y или же Y^Икс.
- В частном случае набор мощности набора Икс можно отождествить с набором всех функций из Икс к {0, 1}, обозначается 2^Икс.
Набор биекции из Икс к Y обозначается ${ displaystyle X leftrightarrow Y}$ . Факториальная запись Икс! может использоваться для перестановок одного набора Икс.
В функциональный анализ то же самое наблюдается для непрерывный линейные преобразования, в том числе топологии на векторных пространствах выше, и многие из основных примеров представляют собой функциональные пространства, несущие топология; самые известные примеры включают Гильбертовы пространства и Банаховы пространства.
В функциональный анализ набор всех функций из натуральные числа в какой-то набор Икс называется пространство последовательности. Он состоит из набора всех возможных последовательности элементов Икс.
В топология, можно попытаться построить топологию на пространстве непрерывных функций из топологическое пространство Икс к другому Y, с полезностью в зависимости от характера помещений. Часто используемый пример - это компактно-открытая топология, например пространство петли. Также доступен топология продукта на пространстве теоретико-множественных функций (т.е. не обязательно непрерывных функций) Y^Икс. В этом контексте эту топологию также называют топология поточечной сходимости.
В алгебраическая топология, изучение теория гомотопии по сути является инвариантом дискретных инвариантов функциональных пространств;
В теории случайные процессы, основная техническая проблема состоит в том, как построить вероятностная мера на функциональном пространстве пути процесса (функции времени);
В теория категорий функциональное пространство называется экспоненциальный объект или же объект карты. С одной стороны, это представление канонический бифунктор; но как (одиночный) функтор типа [Икс, -], он выглядит как присоединенный функтор к функтору типа (- ×Икс) на объектах;
В функциональное программирование и лямбда-исчисление, типы функций используются для выражения идеи функции высшего порядка.
В теория предметной области, основная идея - найти конструкции из частичные заказы который может моделировать лямбда-исчисление, создавая хорошо работающий декартова закрытая категория.
в теория представлений конечных групп, учитывая два конечномерных представления V и W группы грамм, можно составить представление грамм над векторным пространством линейных отображений Hom (V,W) называется Hom представление.^[1]

Функциональный анализ

Функциональный анализ организован вокруг адекватных методов, позволяющих использовать функциональные пространства как топологические векторные пространства в пределах досягаемости идей, которые применимы к нормированные пространства конечной размерности. Здесь мы используем реальную линию в качестве примера области, но пробелы ниже существуют на подходящих открытых подмножествах ${ Displaystyle Omega substeq mathbf {R} ^ {n}}$

${ Displaystyle С ( mathbf {R})}$ непрерывные функции наделен топологией равномерной нормы
${ displaystyle C_ {c} ( mathbf {R})}$ непрерывные функции с компактная опора
${ Displaystyle Б ( mathbf {R})}$ ограниченные функции
${ Displaystyle C_ {0} ( mathbf {R})}$ непрерывные функции, обращающиеся в нуль на бесконечности
${ Displaystyle С ^ {г} ( mathbf {R})}$ непрерывные функции, которые имеют непрерывные первые р производные.
${ Displaystyle С ^ { infty} ( mathbf {R})}$ гладкие функции
${ Displaystyle C_ {c} ^ { infty} ( mathbf {R})}$ гладкие функции с компактная опора
${ Displaystyle С ^ { omega} ( mathbf {R})}$ вещественные аналитические функции
${ Displaystyle L ^ {p} ( mathbf {R})}$ , за ${ displaystyle 1 leq p leq infty}$ , это L^п Космос из измеримый функции, чьи п-норма ${ Displaystyle || е || _ {p} = left ( int _ { mathbf {R}} | f | ^ {p} right) ^ {1 / p}}$ конечно
${ Displaystyle { mathcal {S}} ( mathbf {R})}$ , то Пространство Шварца из быстро уменьшается гладкие функции и его непрерывное двойственное, ${ Displaystyle { mathcal {S}} '( mathbf {R})}$ умеренные распределения
${ Displaystyle D ( mathbf {R})}$ компактная опора в предельной топологии
${ displaystyle W ^ {k, p}}$ Соболевское пространство функций, чьи слабые производные до заказа k находятся в ${ Displaystyle L ^ {p}}$
${ displaystyle { mathcal {O}} _ {U}}$ голоморфные функции
линейные функции
кусочно-линейные функции
непрерывные функции, компактная открытая топология
все функции, пространство поточечной сходимости
Харди космос
Пространство Гёльдера
Càdlàg функции, также известные как Скороход Космос
${ displaystyle { text {Lip}} _ {0} ( mathbf {R})}$ , пространство всех Липшиц функции на ${ displaystyle mathbf {R}}$ которые исчезают в нуле.

Норма

Если $у$ является элементом функционального пространства ${ Displaystyle { mathcal {C}} (а, б)}$ из всех непрерывные функции которые определены на закрытый интервал [a, b], норма ${ Displaystyle | у | _ { infty}}$ определено на ${ Displaystyle { mathcal {C}} (а, б)}$ это максимум абсолютная величина из $у (Икс)$ за $а \leq Икс \leq б$ ,^[2]

{ Displaystyle | Y | _ { infty} Equiv max _ {a leq x leq b} | y (x) | qquad { text {where}} y in { mathcal {Такси)}

называется единая норма или же верхняя норма ('sup norm').

Библиография

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. (1967). Элементы теории функций и функционального анализа. Courier Dover Publications.
Штейн, Элиас; Шакарчи, Р. (2011). Функциональный анализ: введение в другие темы анализа. Издательство Принстонского университета.

Смотрите также

Сноски

^ Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс. Springer Science & Business Media. п. 4. ISBN 9780387974958.
^ Гельфанд, И.М.; Фомин, С.В. (2000). Сильверман, Ричард А. (ред.). Вариационное исчисление (Полный текст под ред.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 6. ISBN 978-0486414485.

[1] Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс. Springer Science & Business Media. п. 4. ISBN 9780387974958.

[GelfandFominP6-2] Гельфанд, И.М.; Фомин, С.В. (2000). Сильверман, Ричард А. (ред.). Вариационное исчисление (Полный текст под ред.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 6. ISBN 978-0486414485.

[1]

[2]

Navigation