Полиномиальная последовательность
В Многочлены Бернулли второго рода [1] [2] ψп (Икс )Многочлены Фонтана-Бесселя ,[3]
z ( 1 + z ) Икс пер ( 1 + z ) = ∑ п = 0 ∞ z п ψ п ( Икс ) , | z | < 1. { displaystyle { frac {z (1 + z) ^ {x}} { ln (1 + z)}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} z ^ {n} psi _ {n} (x), qquad | z | <1.} Первые пять полиномов:
ψ 0 ( Икс ) = 1 ψ 1 ( Икс ) = Икс + 1 2 ψ 2 ( Икс ) = 1 2 Икс 2 − 1 12 ψ 3 ( Икс ) = 1 6 Икс 3 − 1 4 Икс 2 + 1 24 ψ 4 ( Икс ) = 1 24 Икс 4 − 1 6 Икс 3 + 1 6 Икс 2 − 19 720 { displaystyle { begin {array} {l} displaystyle psi _ {0} (x) = 1 [2 мм] displaystyle psi _ {1} (x) = x + { frac {1} { 2}} [2 мм] displaystyle psi _ {2} (x) = { frac {1} {2}} x ^ {2} - { frac {1} {12}} [2 мм ] displaystyle psi _ {3} (x) = { frac {1} {6}} x ^ {3} - { frac {1} {4}} x ^ {2} + { frac {1 } {24}} [2 мм] displaystyle psi _ {4} (x) = { frac {1} {24}} x ^ {4} - { frac {1} {6}} x ^ {3} + { frac {1} {6}} x ^ {2} - { frac {19} {720}} end {array}}} Некоторые авторы определяют эти полиномы несколько иначе.[4] [5]
z ( 1 + z ) Икс пер ( 1 + z ) = ∑ п = 0 ∞ z п п ! ψ п ∗ ( Икс ) , | z | < 1 , { Displaystyle { frac {z (1 + z) ^ {x}} { ln (1 + z)}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {n }} {n!}} psi _ {n} ^ {*} (x), qquad | z | <1,} так что
ψ п ∗ ( Икс ) = ψ п ( Икс ) п ! { Displaystyle psi _ {n} ^ {*} (x) = psi _ {n} (x) , n!} и может также использовать для них другую нотацию (наиболее часто используемая альтернативная нотация бп (Икс )
Полиномы Бернулли второго рода в основном изучал венгерский математик Чарльз Джордан,[1] [2] [3]
Интегральные представления
Полиномы Бернулли второго рода можно представить через эти интегралы[1] [2]
ψ п ( Икс ) = ∫ Икс Икс + 1 ( ты п ) d ты = ∫ 0 1 ( Икс + ты п ) d ты { displaystyle psi _ {n} (x) = int limits _ {x} ^ {x + 1} ! { binom {u} {n}} , du = int limits _ {0 } ^ {1} { binom {x + u} {n}} , du} а также[3]
ψ п ( Икс ) = ( − 1 ) п + 1 π ∫ 0 ∞ π потому что π Икс − грех π Икс пер z ( 1 + z ) п ⋅ z Икс d z пер 2 z + π 2 , − 1 ≤ Икс ≤ п − 1 ψ п ( Икс ) = ( − 1 ) п + 1 π ∫ − ∞ + ∞ π потому что π Икс − v грех π Икс ( 1 + е v ) п ⋅ е v ( Икс + 1 ) v 2 + π 2 d v , − 1 ≤ Икс ≤ п − 1 { displaystyle { begin {array} {l} displaystyle psi _ {n} (x) = { frac {(-1) ^ {n + 1}} { pi}} int limits _ { 0} ^ { infty} { frac { pi cos pi x- sin pi x ln z} {(1 + z) ^ {n}}} cdot { frac {z ^ {x } dz} { ln ^ {2} z + pi ^ {2}}}, qquad -1 leq x leq n-1 , [3 мм] displaystyle psi _ {n} (x) = { frac {(-1) ^ {n + 1}} { pi}} int limits _ {- infty} ^ {+ infty} { frac { pi cos pi xv sin pi x} {, (1 + e ^ {v}) ^ {n}}} cdot { frac {e ^ {v (x + 1)}} {v ^ {2} + pi ^ { 2}}} , dv, qquad -1 leq x leq n-1 , end {array}}} Таким образом, эти многочлены с точностью до константы первообразный из биномиальный коэффициент а также падающий факториал .[1] [2] [3]
Явная формула
Для произвольного п [1] [2] [3]
ψ п ( Икс ) = 1 ( п − 1 ) ! ∑ л = 0 п − 1 s ( п − 1 , л ) л + 1 Икс л + 1 + грамм п , п = 1 , 2 , 3 , … { displaystyle psi _ {n} (x) = { frac {1} {(n-1)!}} sum _ {l = 0} ^ {n-1} { frac {s (n- 1, l)} {l + 1}} x ^ {l + 1} + G_ {n}, qquad n = 1,2,3, ldots} куда s (п ,л )Числа Стирлинга первого рода и грамм п Коэффициенты Грегори .
Формула повторения
Полиномы Бернулли второго рода удовлетворяют рекуррентному соотношению[1] [2]
ψ п ( Икс + 1 ) − ψ п ( Икс ) = ψ п − 1 ( Икс ) { Displaystyle psi _ {n} (x + 1) - psi _ {n} (x) = psi _ {n-1} (x)} или эквивалентно
Δ ψ п ( Икс ) = ψ п − 1 ( Икс ) { Displaystyle Delta psi _ {n} (x) = psi _ {n-1} (x)} Повторяющаяся разница производит[1] [2]
Δ м ψ п ( Икс ) = ψ п − м ( Икс ) { Displaystyle Delta ^ {m} psi _ {n} (x) = psi _ {n-m} (x)} Свойство симметрии
Основное свойство симметрии гласит[2] [4]
ψ п ( 1 2 п − 1 + Икс ) = ( − 1 ) п ψ п ( 1 2 п − 1 − Икс ) { displaystyle psi _ {n} ({ tfrac {1} {2}} n-1 + x) = (- 1) ^ {n} psi _ {n} ({ tfrac {1} {2 }} п-1-х)} Некоторые дополнительные свойства и особые значения
Некоторые свойства и конкретные значения этих многочленов включают
ψ п ( 0 ) = грамм п ψ п ( 1 ) = грамм п − 1 + грамм п ψ п ( − 1 ) = ( − 1 ) п + 1 ∑ м = 0 п | грамм м | = ( − 1 ) п C п ψ п ( п − 2 ) = − | грамм п | ψ п ( п − 1 ) = ( − 1 ) п ψ п ( − 1 ) = 1 − ∑ м = 1 п | грамм м | ψ 2 п ( п − 1 ) = M 2 п ψ 2 п ( п − 1 + у ) = ψ 2 п ( п − 1 − у ) ψ 2 п + 1 ( п − 1 2 + у ) = − ψ 2 п + 1 ( п − 1 2 − у ) ψ 2 п + 1 ( п − 1 2 ) = 0 { displaystyle { begin {array} {l} displaystyle psi _ {n} (0) = G_ {n} [2 мм] displaystyle psi _ {n} (1) = G_ {n-1 } + G_ {n} [2 мм] displaystyle psi _ {n} (- 1) = (- 1) ^ {n + 1} sum _ {m = 0} ^ {n} | G_ {m } | = (- 1) ^ {n} C_ {n} [2 мм] displaystyle psi _ {n} (n-2) = - | G_ {n} | [2 мм] displaystyle psi _ {n} (n-1) = (- 1) ^ {n} psi _ {n} (- 1) = 1- sum _ {m = 1} ^ {n} | G_ {m} | [2 мм] displaystyle psi _ {2n} (n-1) = M_ {2n} [2 мм] displaystyle psi _ {2n} (n-1 + y) = psi _ {2n} ( n-1-y) [2 мм] displaystyle psi _ {2n + 1} (n - { tfrac {1} {2}} + y) = - psi _ {2n + 1} (n- { tfrac {1} {2}} - y) [2 мм] displaystyle psi _ {2n + 1} (n - { tfrac {1} {2}}) = 0 end {array}} } куда C п Числа Коши второго рода и M п центральные разностные коэффициенты .[1] [2] [3]
Расширение в ряд Ньютона
Разложение полиномов Бернулли второго рода в ряд Ньютона имеет вид[1] [2]
ψ п ( Икс ) = грамм 0 ( Икс п ) + грамм 1 ( Икс п − 1 ) + грамм 2 ( Икс п − 2 ) + … + грамм п { displaystyle psi _ {n} (x) = G_ {0} { binom {x} {n}} + G_ {1} { binom {x} {n-1}} + G_ {2} { binom {x} {n-2}} + ldots + G_ {n}} Некоторые серии по многочленам Бернулли второго рода
В функция дигаммы Ψ (Икс ) может быть разложен в ряд с многочленами Бернулли второго рода следующим образом[3]
Ψ ( v ) = пер ( v + а ) + ∑ п = 1 ∞ ( − 1 ) п ψ п ( а ) ( п − 1 ) ! ( v ) п , ℜ ( v ) > − а , { Displaystyle Psi (v) = ln (v + a) + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} psi _ {n} (a ) , (n-1)!} {(v) _ {n}}}, qquad Re (v)> - a,} и поэтому[3]
γ = − пер ( а + 1 ) − ∑ п = 1 ∞ ( − 1 ) п ψ п ( а ) п , ℜ ( а ) > − 1 { displaystyle gamma = - ln (a + 1) - sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} psi _ {n} (a)} {n}}, qquad Re (a)> - 1}
и
γ = ∑ п = 1 ∞ ( − 1 ) п + 1 2 п { ψ п ( а ) + ψ п ( − а 1 + а ) } , а > − 1 { displaystyle gamma = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {2n}} { Big {} psi _ {n} (a) + psi _ {n} { Big (} - { frac {a} {1 + a}} { Big)} { Big }}, quad a> -1} куда γ Постоянная Эйлера . Кроме того, у нас также есть[3]
Ψ ( v ) = 1 v + а − 1 2 { пер Γ ( v + а ) + v − 1 2 пер 2 π − 1 2 + ∑ п = 1 ∞ ( − 1 ) п ψ п + 1 ( а ) ( v ) п ( п − 1 ) ! } , ℜ ( v ) > − а , { Displaystyle Psi (v) = { frac {1} {v + a - { tfrac {1} {2}}}} left { ln Gamma (v + a) + v - { frac {1} {2}} ln 2 pi - { frac {1} {2}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} psi _ {n + 1} (a)} {(v) _ {n}}} (n-1)! right }, qquad Re (v)> - a,} куда Γ (Икс ) это гамма-функция . В Гурвиц и Дзета-функции Римана можно разложить на эти полиномы следующим образом[3]
ζ ( s , v ) = ( v + а ) 1 − s s − 1 + ∑ п = 0 ∞ ( − 1 ) п ψ п + 1 ( а ) ∑ k = 0 п ( − 1 ) k ( п k ) ( k + v ) − s { displaystyle zeta (s, v) = { frac {(v + a) ^ {1-s}} {s-1}} + sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1 ) ^ {n} psi _ {n + 1} (a) sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} (k + v ) ^ {- s}} и
ζ ( s ) = ( а + 1 ) 1 − s s − 1 + ∑ п = 0 ∞ ( − 1 ) п ψ п + 1 ( а ) ∑ k = 0 п ( − 1 ) k ( п k ) ( k + 1 ) − s { displaystyle zeta (s) = { frac {(a + 1) ^ {1-s}} {s-1}} + sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} psi _ {n + 1} (a) sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} (k + 1) ^ {-s}} а также
ζ ( s ) = 1 + ( а + 2 ) 1 − s s − 1 + ∑ п = 0 ∞ ( − 1 ) п ψ п + 1 ( а ) ∑ k = 0 п ( − 1 ) k ( п k ) ( k + 2 ) − s { displaystyle zeta (s) = 1 + { frac {(a + 2) ^ {1-s}} {s-1}} + sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1 ) ^ {n} psi _ {n + 1} (a) sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} (k + 2 ) ^ {- s}} Полиномы Бернулли второго рода также участвуют в следующем соотношении[3]
( v + а − 1 2 ) ζ ( s , v ) = − ζ ( s − 1 , v + а ) s − 1 + ζ ( s − 1 , v ) + ∑ п = 0 ∞ ( − 1 ) п ψ п + 2 ( а ) ∑ k = 0 п ( − 1 ) k ( п k ) ( k + v ) − s { displaystyle { big (} v + a - { tfrac {1} {2}} { big)} zeta (s, v) = - { frac { zeta (s-1, v + a )} {s-1}} + zeta (s-1, v) + sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} psi _ {n + 2} (a ) sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} (k + v) ^ {- s}} между дзета-функциями, а также в различных формулах для Константы Стилтьеса , например[3]
γ м ( v ) = − пер м + 1 ( v + а ) м + 1 + ∑ п = 0 ∞ ( − 1 ) п ψ п + 1 ( а ) ∑ k = 0 п ( − 1 ) k ( п k ) пер м ( k + v ) k + v { displaystyle gamma _ {m} (v) = - { frac { ln ^ {m + 1} (v + a)} {m + 1}} + sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} psi _ {n + 1} (a) sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k} } { frac { ln ^ {m} (k + v)} {k + v}}} и
γ м ( v ) = 1 1 2 − v − а { ( − 1 ) м м + 1 ζ ( м + 1 ) ( 0 , v + а ) − ( − 1 ) м ζ ( м ) ( 0 , v ) − ∑ п = 0 ∞ ( − 1 ) п ψ п + 2 ( а ) ∑ k = 0 п ( − 1 ) k ( п k ) пер м ( k + v ) k + v } { displaystyle gamma _ {m} (v) = { frac {1} {{ tfrac {1} {2}} - va}} left {{ frac {(-1) ^ {m} } {m + 1}} , zeta ^ {(m + 1)} (0, v + a) - (- 1) ^ {m} zeta ^ {(m)} (0, v) - sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} psi _ {n + 2} (a) sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k } { binom {n} {k}} { frac { ln ^ {m} (k + v)} {k + v}} right }} которые оба действительны для ℜ ( а ) > − 1 { Displaystyle Re (а)> - 1} v ∈ C ∖ { 0 , − 1 , − 2 , … } { displaystyle v in mathbb {C} setminus ! {0, -1, -2, ldots }}
Смотрите также
Рекомендации
^ а б c d е ж грамм час я Джордан, Чарльз (1928), "Sur des polynomes analogs aux polynomes de Bernoulli, et sur des formules de sommentation аналогов à celle de Maclaurin-Euler", Acta Sci. Математика. (Сегед) , 4 : 130–150 ^ а б c d е ж грамм час я j Джордан, Чарльз (1965). Исчисление конечных разностей (3-е издание) . Издательская компания "Челси". ^ а б c d е ж грамм час я j k л Благушин, Ярослав В. (2018), «Три примечания к представлениям Сера и Хассе для дзета-функций» (PDF) , INTEGERS: Электронный журнал комбинаторной теории чисел , 18A (# A3): 1–45 arXiv ^ а б Роман, С. (1984). Темное исчисление . Нью-Йорк: Academic Press. ^ Вайсштейн, Эрик В. Многочлен Бернулли второго рода Математика
![{ displaystyle { begin {array} {l} displaystyle psi _ {0} (x) = 1 [2 мм] displaystyle psi _ {1} (x) = x + { frac {1} { 2}} [2 мм] displaystyle psi _ {2} (x) = { frac {1} {2}} x ^ {2} - { frac {1} {12}} [2 мм ] displaystyle psi _ {3} (x) = { frac {1} {6}} x ^ {3} - { frac {1} {4}} x ^ {2} + { frac {1 } {24}} [2 мм] displaystyle psi _ {4} (x) = { frac {1} {24}} x ^ {4} - { frac {1} {6}} x ^ {3} + { frac {1} {6}} x ^ {2} - { frac {19} {720}} end {array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9062d0915f3efe3f3e230a28beb1887424cc63)
![{ displaystyle { begin {array} {l} displaystyle psi _ {n} (x) = { frac {(-1) ^ {n + 1}} { pi}} int limits _ { 0} ^ { infty} { frac { pi cos pi x- sin pi x ln z} {(1 + z) ^ {n}}} cdot { frac {z ^ {x } dz} { ln ^ {2} z + pi ^ {2}}}, qquad -1 leq x leq n-1 , [3 мм] displaystyle psi _ {n} (x) = { frac {(-1) ^ {n + 1}} { pi}} int limits _ {- infty} ^ {+ infty} { frac { pi cos pi xv sin pi x} {, (1 + e ^ {v}) ^ {n}}} cdot { frac {e ^ {v (x + 1)}} {v ^ {2} + pi ^ { 2}}} , dv, qquad -1 leq x leq n-1 , end {array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64da1057e93b39b008e2115dff6885629653b0a5)
![{ displaystyle { begin {array} {l} displaystyle psi _ {n} (0) = G_ {n} [2 мм] displaystyle psi _ {n} (1) = G_ {n-1 } + G_ {n} [2 мм] displaystyle psi _ {n} (- 1) = (- 1) ^ {n + 1} sum _ {m = 0} ^ {n} | G_ {m } | = (- 1) ^ {n} C_ {n} [2 мм] displaystyle psi _ {n} (n-2) = - | G_ {n} | [2 мм] displaystyle psi _ {n} (n-1) = (- 1) ^ {n} psi _ {n} (- 1) = 1- sum _ {m = 1} ^ {n} | G_ {m} | [2 мм] displaystyle psi _ {2n} (n-1) = M_ {2n} [2 мм] displaystyle psi _ {2n} (n-1 + y) = psi _ {2n} ( n-1-y) [2 мм] displaystyle psi _ {2n + 1} (n - { tfrac {1} {2}} + y) = - psi _ {2n + 1} (n- { tfrac {1} {2}} - y) [2 мм] displaystyle psi _ {2n + 1} (n - { tfrac {1} {2}}) = 0 end {array}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085f82d1402acafbad46d177f7db3621a241bdb7)
