WikiDer > Полиномы Бесселя

Bessel polynomials

В математика, то Полиномы Бесселя являются ортогональный Последовательность из многочлены. Существует ряд различных, но тесно связанных определений. Излюбленное математиками определение дается серией (Krall & Frink, 1948)

Другое определение, предпочитаемое инженерами-электриками, иногда называют обратные многочлены Бесселя (См. Grosswald 1978, Berg 2000).

Коэффициенты второго определения такие же, как и у первого, но в обратном порядке. Например, полином Бесселя третьей степени равен

а обратный многочлен Бесселя третьей степени равен

Обратный многочлен Бесселя используется при построении Электронные фильтры Бесселя.

Характеристики

Определение в терминах функций Бесселя.

Многочлен Бесселя также можно определить с помощью Функции Бесселя из которого многочлен получил свое имя.

куда Kп(Икс) это модифицированная функция Бесселя второго рода, уп(Икс) - обычный многочлен, а θп(Икс) является обратным многочленом (стр. 7 и 34 Grosswald 1978). Например:[1]

Определение как гипергеометрическая функция

Многочлен Бесселя также можно определить как конфлюэнтная гипергеометрическая функция (Дита, 2006)

Обратный многочлен Бесселя можно определить как обобщенный Полином Лагерра:

из чего следует, что ее также можно определить как гипергеометрическую функцию:

где (−2п)п это Символ Поххаммера (возрастающий факториал).

Обращение для мономы дан кем-то

Производящая функция

Полиномы Бесселя со смещенным индексом имеют производящую функцию

Дифференцируя по , отмена , дает производящую функцию для многочленов

Рекурсия

Многочлен Бесселя также может быть определен формулой рекурсии:

и

Дифференциальное уравнение

Многочлен Бесселя подчиняется следующему дифференциальному уравнению:

и

Обобщение

Явная форма

Обобщение многочленов Бесселя было предложено в литературе (Krall, Fink) следующим образом:

соответствующие обратные многочлены

Для весовой функции

они ортогональны, так как отношение

относится к мп и c кривая, окружающая точку 0.

Они специализируются на полиномах Бесселя при α = β = 2, и в этом случае ρ (Икс) = ехр (−2 / Икс).

Формула Родрига для многочленов Бесселя

Формула Родригеса для полиномов Бесселя как частных решений приведенного выше дифференциального уравнения:

куда а(α, β)
п
- коэффициенты нормализации.

Ассоциированные полиномы Бесселя

Согласно этому обобщению, мы имеем следующее обобщенное дифференциальное уравнение для ассоциированных многочленов Бесселя:

куда . Решения:

Особые ценности

Первые пять полиномов Бесселя выражаются как:

Ни один многочлен Бесселя не может быть разложен на многочлены более низкого порядка со строго рациональными коэффициентами.[2]Пять обратных многочленов Бесселя получаются обращением коэффициентов. Это приводит к следующему:

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Пример Wolfram Alpha
  2. ^ Филасета, Майкл; Трифинов, Огнян (2 августа 2002 г.). «Неприводимость многочленов Бесселя». Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 2002 (550): 125–140. CiteSeerX 10.1.1.6.9538. Дои:10.1515 / crll.2002.069.

внешняя ссылка