WikiDer > Интерполяция Биркгофа - Википедия

Эта статья может быть сбивает с толку или неясно читателям. Пожалуйста, помоги нам прояснить статью. Возможно обсуждение этого вопроса на страница обсуждения. (Декабрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, Интерполяция Биркгофа является продолжением полиномиальная интерполяция. Это относится к проблеме нахождения многочлена п степени d такой, что некоторые производные имеют указанные значения в указанных точках:

${ displaystyle p ^ {(n_ {i})} (x_ {i}) = y_ {i} qquad { mbox {for}} i = 1, ldots, d,}$

где точки данных ${ Displaystyle (х_ {я}, у_ {я})}$ и неотрицательные целые числа ${ displaystyle n_ {i}}$ даны. Он отличается от Эрмита интерполяция в том, что можно указать производные от п в некоторых точках без указания младших производных или самого многочлена. Название относится к Джордж Дэвид Биркофф, который первым изучил проблему в Биркгоф (1906).

Существование и уникальность решений

В отличие от Интерполяция Лагранжа и Эрмита интерполяция, интерполяционная задача Биркгофа не всегда имеет однозначное решение. Например, не существует квадратичного многочлена ${ displaystyle textstyle p}$ такой, что ${ displaystyle textstyle p (-1) = p (1) = 0}$ и ${ displaystyle textstyle p '(0) = 1}$. С другой стороны, проблема интерполяции Биркгофа, где значения ${ displaystyle textstyle p '(- 1)}$, ${ displaystyle textstyle p (0)}$ и ${ displaystyle textstyle p '(1)}$ даны всегда имеет единственное решение (Пассов 1983).

Важной проблемой теории интерполяции Биркгофа является классификация тех задач, которые имеют единственное решение. Шенберг (1966) формулирует проблему следующим образом. Позволять d обозначим количество условий (как выше) и пусть k - количество точек интерполяции. Учитывая d-к-k матрица E, все элементы которого равны 0 или 1, так что ровно d записи равны 1, то соответствующая задача состоит в том, чтобы определить п такой, что

${ displaystyle p ^ {(j)} (x_ {i}) = y_ {i, j} qquad { text {для всех}} (i, j) { text {with}} e_ {ij} = 1.}$

Матрица E называется матрицей инцидентности. Например, матрицы инцидентности для задач интерполяции, упомянутых в предыдущем абзаце, следующие:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 end {bmatrix}} quad { text {and}} quad { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 end {bmatrix }}.}$

Теперь возникает вопрос: имеет ли проблема интерполяции Биркгофа с заданной матрицей инцидентности единственное решение для любого выбора точек интерполяции?

Случай с k = 2 точки интерполяции были обработаны Поля (1931). Позволять S_м обозначают сумму записей в первом м столбцы матрицы инцидентности:

${ displaystyle S_ {m} = sum _ {i = 1} ^ {k} sum _ {j = 1} ^ {m} e_ {ij}.}$

Тогда интерполяционная задача Биркгофа с k = 2 имеет единственное решение тогда и только тогда, когда S_м ≥ м для всех м. Шенберг (1966) показал, что это необходимое условие для всех значений k.

Рекомендации

• Биркофф, Джордж Дэвид (1906), «Общие теоремы о среднем значении и остатке с приложениями к механическому дифференцированию и квадратурам», Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 7 (1): 107–136, Дои:10.2307/1986339, ISSN 0002-9947, JSTOR 1986339.
• Пассов, Эли (1983), "Рецензия на книгу: интерполяция Биркгофа Дж. Лоренца, К. Джеттера и С. Д. Рименшнайдера", Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия, 9 (3): 348–351, Дои:10.1090 / S0273-0979-1983-15204-7, ISSN 0002-9904.
• Полиа, Джордж (1931), "Bemerkung zur Interpolation und zur Naherungstheorie der Balkenbiegung", Журнал прикладной математики и механики, 11: 445–449, Дои:10.1002 / zamm.19310110620, ISSN 0044-2267.
• Шенберг, Исаак Якоб (1966), "Об интерполяции Эрмита-Биркгофа", Журнал математического анализа и приложений, 16: 538–543, Дои:10.1016 / 0022-247X (66) 90160-0, ISSN 0022-247X.