WikiDer > Winkelhalbierendes Theorem

In dieser Skizze gilt: BD : DC = AB : AC.

Das Winkelhalbierendes Theorem ist eine Aussage der Geometrie was das Verhältnis der Teile von angibt die Seide gegenüber a Ecke von a Dreieck relativ zu den angrenzenden Seiten dieses Dreiecks.

Betrachten Sie ein Dreieck ${Anzeigestil ABC}$ und lass den Punkt ${Anzeigestil D}$ es Überschneidung des Winkelhalbierende aus dem Winkel ${Anzeigestil A}$ und die Seide ${displaystyle BC}$ sein. Der Winkelhalbierende besagt, dass das Verhältnis zwischen der Länge der Liniensegment${displaystyle BD}$ und die Länge des Segments ${Anzeigestil DC}$ ist gleich dem Verhältnis zwischen der Seitenlänge ${Anzeigestil AB}$ und die länge der seite ${Anzeigestil AC.}$ In Formel:

${displaystyle {frac {|AB|}{|AC|}}={frac {|BD|}{|DC|}}}$

Der verallgemeinerte Satz besagt, dass in einem Dreieck ${Anzeigestil ABC}$ für einen punkt ${Anzeigestil D}$ auf der Seite ${displaystyle BC}$ gilt:

${displaystyle {frac {|BD|}{|DC|}}={frac {|AB|,Sin-Winkel DAB}{|AC|,Sin-Winkel DAC}}}$

Beweise

Das Dreieck aus dem Beweis. Hier ist der Winkel · Gerade.

spät ${Displaystil B_{1}}$ sei der Punkt, an dem die Senkrechte von ${Anzeigestil B}$ auf ${displaystyle-Anzeige}$ die Linie ${displaystyle-Anzeige}$ Schnitte und Blätter and ${Displaystil C_{1}}$ sei der Punkt, an dem die Senkrechte von ${Anzeigestil C}$ auf ${displaystyle-Anzeige}$ die Linie ${displaystyle-Anzeige}$ schneidet. Dann die Ecken ${Displaystil-DB_{1}B}$ und ${displaystyle DC_{1}C}$ gerade, während die Ecken ${displaystyle B_{1}DB}$ und ${displaystyle C_{1}DC}$kongruent (Gegenteil) sein wie ${Anzeigestil D}$ auf der Liniensegment${displaystyle BC}$ Lügen. Wenn nicht, sind die Winkel identisch. Dies impliziert, dass die Dreiecke ${Displaystil-DB_{1}B}$ und ${displaystyle DC_{1}C}$angepasst sein, damit:

${displaystyle {frac {|BD|}{|CD|}}={frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={frac {|AB|,Sinnwinkel BAD}{|AC |,sind Winkel CAD}}}$

Ist ${displaystyle-Anzeige}$ die Winkelhalbierende des Winkels ${Anzeigestil A,}$ dann sind ${Anzeigewinkel BAD}$ und ${Anzeigewinkel-CAD}$ gleich, also auch die Sinus, so dass der Sinus im Zähler und im Nenner des Bruches gegeneinander dividiert werden kann.

Geschichte

Diese Aussage ist bereits in Buch VI des Elemente von Euklid denn als « Proposition III ».

Verweise im Text