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Eine Frau unterrichtet Schüler in Geometrie. In dem Mittelalter es war ungewöhnlich, dass eine Frau als Lehrerin dargestellt wurde, zumal es sich bei den abgebildeten Schülern wahrscheinlich um Mönche handelt. Es ist möglich, dass die Frau eine Personifikation der Geometrie ist.

Das Geometrie oder Geometrie (von Altgriechisch: γεωμετρία, γῆ „Erde“, μέτρον „Maß“), das „Maß der Erde“, ist der Teil der Mathematik, das sich mit der Bestimmung von Maßen, Formen, der relativen Position von Figuren und den Eigenschaften der Platz. Der spezifische niederländische Begriff Geometrie wurde um 1600 von dem flämischen Mathematiker gegründet Simon Steven eingeführt. Ein Mathematiker, der auf dem Gebiet der Geometrie arbeitet, wird Geometer genannt.

Geometrie ist eine der ältesten Wissenschaften. Anfänglich als Sammlung von praktischem Wissen über Längen, Oberflächen und Volumen Geometrie wurde im 3. Jahrhundert v. Chr. eingeführt. durch Euklid von Alexandria von a axiomatisch Fundament zur Verfügung gestellt. Schon im Klassiker Griechenland wurden die ersten Axiome formuliert (einschließlich der Postulate von Euklid), woraus sich später die ganze Geometrie entwickelte. Die Axiome wurden für die mathematische Definition von verwendet Punkte, Gerade Linien, Kurven und Flugzeuge. Euklids Behandlung der Geometrie – die euklidische Geometrie — war der Maßstab, an dem alle anderen Arbeiten fast 2.000 Jahre lang gemessen wurden.

Überblick

Die uns bekannte Entwicklung der Geometrie umfasst mehr als zwei Jahrtausende. Das Konzept dessen, was genau unter Geometrie zu verstehen ist, hat sich im Laufe der Jahrhunderte entwickelt.

Praktische Geometrie

Ein regelmäßiges Oktaeder ist eine geometrische Figur

Es besteht kein Zweifel, dass die Geometrie als praktisch Wissenschaft, die sich mit Umfrage, Abmessungen von Objekten, Oberfläche und Volumen. Zu den bemerkenswerten Errungenschaften gehören die Formeln zur Berechnung von voor Längen, Flächen und Volumen (Volumen), wie z Satz des Pythagoras, Umfang und Fläche eines Kreises, Fläche von a Dreieck, das Volumen von a Zylinder, Ambiente oder Pyramide. Entwicklungen in der Astronomie zusammen mit den zugehörigen Rechentechniken haben zur Entstehung der Trigonometrie (Goniometrie) und die sphärische Trigonometrie LED.

Axiomatische Geometrie

Eine Methode zur Berechnung bestimmter unzugänglicher Entfernungen und Höhen basierend auf Gleichmäßigkeit geometrischer Figuren wird zugeschrieben Thales von Milet. Diese Methode nahm den abstrakteren Zugang zur Geometrie vorweg, wie durch Euklid von Alexandria wurde in seinem Elemente. Euklid argumentierte sicher Axioms (auch Postulate genannt), auf deren Grundlage er primäre oder selbstverständliche Eigenschaften von Punkten, Linien und Flächen formulierte. Dann ging er zu einem strengen Abzug von anderen Eigenschaften dieser mathematische Objekte mit mathematischen und logischen Argumenten. Das charakteristische Merkmal von Euklids Ansatz zur Geometrie war seine Strenge. Verwendet im frühen 20. Jahrhundert David Hilbert ein eigenes axiomatisches System in seinem Bemühen, Euklids Werk zu aktualisieren, um eine moderne Grundlage für die Geometrie zu legen.

Geometrische Konstruktionen

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In der griechischen Antike widmeten Mathematiker der Konstruktion bereits bekannter geometrischer Objekte besondere Aufmerksamkeit. Klassische Instrumente, die in den geometrischen Konstruktionen zugelassen wurden, waren die Kompass und ein Herrscher ohne Skalierung; letzteres, weil es noch keine symbolische Notation von Zahlen gab. Numerische Werte wurden durch konstruierte Längen und Flächen dargestellt. Einige Probleme erwiesen sich jedoch mit diesen Mitteln allein als schwierig oder unmöglich zu lösen. Geniale Konstruktionen wurden mit Parabeln und anderen Kurven gefunden, sogar mit mechanischen Geräten. Die Annäherung an geometrische Probleme mit geometrischen oder mechanischen Mitteln wird als synthetische Geometrie.

Analytische Geometrie

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Das Pythagoräer bereits über die Rolle von nachgedacht Zahlen in der Geometrie. Die Entdeckung der inkommensurabel Längen, die ihren philosophischen Ansichten jedoch völlig widersprachen, verursachten eine Krise und führten zur Aufgabe des Studiums von (abstrakten) Zahlen zugunsten (konkreter) geometrischer Größen, wie Länge und Fläche von Figuren. Zahlen waren in Form von Koordinaten erst wieder in die Geometrie eingeführt von René Descartes, die erkannten, dass das Studium geometrischer Formen durch ihre algebraisch die Anzeige kann erleichtert werden. Das analytische Geometrie wendet algebraische Methoden auf die geometrischen Fragen an, typischerweise durch geometrische Kurven und algebraisch Gleichungen zueinander zu beziehen. Diese Ideen spielten eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Analyse und führte zur Entdeckung vieler neuer Eigenschaften von Kurven. das moderne algebraische Geometrie befasst sich mit ähnlichen Fragen, jedoch auf einer viel abstrakteren Ebene.

Vektorgeometrie

Geometrie mit Vektoren und Vektordarstellungen. Durch Ausdrücken von Vektoren als Koordinaten ihrer Endpunkte kann die Vektorgeometrie auf analytische Geometrie reduziert werden. Alle möglichen geometrischen Größen, von denen Abstände und Längen nur die einfachsten Beispiele sind, lassen sich so in zwei, drei oder (viel) mehr Dimensionen anschaulich berechnen. Komplizierte physikalische Probleme können so mit Methoden der analytischen Geometrie berechnet werden, während umgekehrt geometrische Erkenntnisse auf algebraische und physikalische Probleme angewendet werden können.

Projektive Geometrie

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In der considered berücksichtigte Geometriker Antike Fragen der relativen Lage oder des räumlichen Verhältnisses geometrischer Figuren und Formen. Einige Beispiele sind gegeben von angemeldet- und umschriebene Kreise von Polygone, Zeilen, die Kegelschnitte schneiden und schlagen, die Sätze von Pappos und Menelaos Konfigurationen von Punkten und Linien. Im Mittelalter wurden neue und komplexere Fächer dieser Art studiert: nach wie vor Glühbirnen es Kuss Nummer, das dichtester Stapel und der Keplers Vermutung. Die meisten dieser Fragen betreffen „feste“ geometrische Formen wie Linien oder Kugeln. Projektiv, konvex und diskrete Geometrie sind drei Teildisziplinen der aktuellen Geometrie, die sich mit diesen und verwandten Fragen befassen.

Ein neues Kapitel in Geometrie situs war von Leonhard Euler eröffnet, die metrische Eigenschaften geometrischer Figuren bemerkten und ihre grundlegendsten geometrischen Strukturen allein auf der Grundlage der Form studierten. Topologie stammt aus der Geometrie, hat sich aber zu einem großen eigenständigen Teilgebiet der Mathematik entwickelt, in dem nicht zwischen mathematischen Objekten unterschieden wird, die durch eine kontinuierliche Transformation ineinander verschmelzen können. Die Objekte können jedoch noch einige geometrische Eigenschaften behalten, wie im Fall von hyperbolischen Knoten.

Nichteuklidische Geometrie

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In den mehr als zweitausend Jahren seit Euklid ist das Grundverständnis der Platz im Wesentlichen unverändert. Dabei hat sich das Spektrum der gestellten und beantworteten geometrischen Fragen in dieser Zeit zwangsläufig stark erweitert. Immanuel Kant argumentierte, dass nur einer absolut, Geometrie existierte, die durch eine innere Fähigkeit des Geistes als a priori wofür genommen wurde: euklidische Geometrie war mal synthetisch a priori.^[1] Diese vorherrschende Ansicht wurde durch die revolutionäre Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie in den Werken von . auf den Kopf gestellt Gauss (der diese Theorie übrigens nie veröffentlicht hat), bolya, und Lobatschewski, was gezeigt hat, dass die gemeinsame euklidischer Raum ist nur eine der möglichen Grundlagen für die Entwicklung einer Geometrie. Ein breiter Blick auf das Thema Geometrie wurde anschließend Bernhard Riemann äußerte sich in seiner Antrittsvorlesung Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (On the Hypotheses Underlying Geometry), das erst nach seinem Tod veröffentlicht wurde. Riemanns neue Ideen zum Weltraum erwiesen sich als entscheidend für die Entwicklung des Einsteinsgenerelle Relativität und der Riemann-Geometrie, in denen sehr allgemeine Räume betrachtet werden, in denen der Längenbegriff definiert ist.

Symmetrie

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EIN Fliesen von dem hyperbolische Ebene

Das Thema von Symmetrie in der Geometrie ist fast so alt wie die Wissenschaft der Geometrie selbst. Das Kreis, das regelmäßige Vielecke und regelmäßige Polyeder oder platonische Körper hatten für viele antike Philosophen eine tiefe Bedeutung und wurden zu Euklids Zeiten eingehend untersucht. Symmetrische Muster kommen in der Natur vor und wurden in einer Vielzahl von Formen künstlerisch wiedergegeben, einschließlich der Grafiken von Escher. Doch erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts wurde die vereinheitlichende Rolle der Symmetrie in den Grundlagen der Geometrie erkannt. Felix KleinsErlanger Programm stellte fest, dass in einem sehr präzisen Sinne Symmetrie, ausgedrückt durch den Begriff einer TransformationGruppe, bestimmt welche Geometrie ist. Im Klassiker euklidische Geometrie Symmetrie wird dargestellt durch Kongruenzen und feste Bewegungen, während im projektive Geometrie eine analoge Rolle spielt Kollineationen, geometrische Transformationen, die gerade Linien in gerade Linien verwandeln. Es war jedoch in der neuen Geometrie von Bolyai und Lobachevsky, Riemann, Clifford und Klein, und Sophus Lüge dass Kleins Idee, eine "Geometrie durch ihre" zu definieren Symmetriegruppeerwies sich als am einflussreichsten. Sowohl diskrete als auch kontinuierliche Symmetrien spielen in der Geometrie eine herausragende Rolle, die erste in der Topologie und geometrische Gruppentheorie, der letzte im Lügentheorie und der Riemann-Geometrie.

Moderne Geometrie

Moderne Geometrie ist der Titel eines populären Lehrbuchs von Dubrovin, Novikova und Fomenko, deren Erstausgabe 1979 (auf Russisch) erschien. Das knapp 1000 Seiten starke Buch enthält eine wichtige Leitlinie: geometrische Strukturen unterschiedlicher Art Sorten und ihre Anwendungen in der zeitgenössischen theoretische Physik. Ein Vierteljahrhundert nach seiner Veröffentlichung Differentialgeometrie, algebraische Geometrie, symplektische Geometrie und Lügentheorie, die in diesem Buch behandelt werden, gehören zu den sichtbarsten Bereichen der modernen Geometrie, mit zahlreichen Verbindungen zu anderen Bereichen der Mathematik und Physik.

Geschichte der Geometrie

Das Vermessung entwickelt an der alte Ägypter: jedes Jahr floss das Nil vorbei und wechselte das Land. Mit ihren neuen Erkenntnissen konnten sie Geometrie in der die Architektur, das Astronomie und der Landwirtschaft.

Das Elemente von Euklid Ab ca 300 v., war einer der wichtigsten frühen Texte zur Geometrie. In dieser Arbeit präsentierte Euklid die Geometrie in einer idealen axiomatisch Form, die als . bekannt wurde euklidische Geometrie. Die Abhandlung ist nicht, wie manchmal angenommen wird, ein Kompendium all dessen, was die hellenistisch Mathematiker wussten damals über Geometrie, aber es ist eine elementare Einführung in die damalige Mathematik,^[2] was weitgehend dem entspricht, was wir heute Geometrie nennen. Euklid selbst schrieb acht weiterführende Bücher über Geometrie. Wir wissen aus Referenzen in anderen klassischen Werken, dass die Elemente nicht das erste Lehrbuch der elementaren Geometrie waren, aber nach dem Erscheinen von Euklids Werken wurden die früheren Werke nicht mehr verwendet und weil sie nicht mehr kopiert wurden, gingen sie schließlich verloren.

Geometrie war lange Zeit das Studium flächiger und räumlicher Figuren.

Zu Beginn des 17. Jahrhunderts fanden zwei wichtige Entwicklungen in der Geometrie statt. Die erste und wichtigste war die Formulierung der analytische Geometrie, oder Geometrie mit Koordinaten und Gleichungen durch René Descartes (1596-1650) und Pierre de Fermat (1601-1665). In dieser analytischen Geometrie wurde ein rechtwinkliges Koordinatensystem eingeführt, mit dem geometrische Objekte mit Hilfe von Zahlen und Gleichungen beschrieben werden konnten.

Dies war ein notwendiger Vorläufer für die Entwicklung der Analyse und eine exakte quantitative Naturwissenschaft. Die zweite geometrische Entwicklung in dieser Zeit war das systematische Studium der projektive Geometrie durch Girard Desargues (1591-1661). Projektive Geometrie ist das Studium der Geometrie ohne Messungen, nur die Art und Weise, wie sich Punkte aufeinander beziehen, wird untersucht.

Ebenfalls im 19. Jahrhundert veränderten zwei Entwicklungen in der Geometrie die Art und Weise, wie Geometrie studiert wurde. Dies waren die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrien durch Lobatschewski, bolya und Gauss und die Formulierung des Konzepts Symmetrie als zentrale Überlegung in der Erlanger Programm von Felix Klein.

Der Grund für die nicht-euklidische Geometrie war ein sehr praktischer: Die klassische zweidimensionale euklidische Geometrie gilt nicht für die Erdoberfläche; auf der gebogen flach gilt es paralleles Postulat nicht von Euklid. Nach und nach entstanden weitere unterschiedliche nichteuklidische Geometrien. Diese Geometrien erwiesen sich zum Beispiel als sehr nützlich bei der Beschreibung der Platz laut der generelle Relativität von Albert Einstein. Geometrie beschränkt sich heute sicherlich nicht mehr auf die flaches Flugzeug; ein zimmer kann noch viel mehr Maße und beispielsweise auch dehnbar sein. Siehe zum Beispiel die Topologie, oder die Geometrie von dehnbarem Oberflächen. Das Stereometrie ist Geometrie in drei Dimensionen.

Klein verallgemeinerte die euklidische und die nichteuklidische Geometrie. Zwei der wichtigsten Geometer des 19. Jahrhunderts waren Bernhard Riemann, das hauptsächlich Instrumente aus der mathematische Analyse funktioniert und dass es Riemann-Oberfläche eingeführt, und Henri Poincare, der Mann, der algebraische Topologie und die geometrische Theorie von dynamische Systeme eingeführt.

Gleichzeitig, zu Beginn des 19. Jahrhunderts, Gaspard Monge das beschreibende Geometrie entwickelt.

Externer Link

• Wikibook: Vektorgeometrie

Fußnoten

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