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Symmetriegroep

EIN regelmäßiges Tetraeder kann durch Drehung in 12 verschiedene Positionen gebracht werden. Diese sind rechts oben in a . dargestellt zyklischer Graph, zusammen mit den Drehungen um 180° (blaue Pfeile) und 120° (rote Pfeile), die das Tetraeder durch die zwölf Positionen permutieren. Diese 12 Rotationen bilden die symmetrische Rotationsgruppe des Tetraeders.

In dem Gruppentheorie ist der Symmetriegruppe eines Objekts in ein, zwei oder drei Abmessungen de Gruppe seine Symmetrie. Eine Symmetrie ist ein Bild, das das Objekt auf sich selbst abbildet (unveränderlich spät) unter Einhaltung der Abstände (Isometrie). Der Betrieb in der Gruppe ist der Komposition von Bildern. Ganz allgemein sind nicht nur konkrete Gegenstände, wie Gegenstände, Gebäude etc., aber auch mathematische Konzepte wie geometrische Figuren und Muster.

Zum Beispiel die Symmetriegruppe von a gleichseitiges Dreieck in der flachen Ebene von der Identität, das wendet sich zu Schwerpunkt über 120° und 240°, und die Reflexionen um die Umriss.

Die Symmetriegruppe ist a Isometriegruppe, also eine Untergruppe der euklidische Gruppe ${Anzeigestil E(n)}$ . Dies ist von der abstrakten (algebraischen) Gruppe zu unterscheiden: verschiedene Symmetriegruppen können als abstrakte Gruppe gleich sein. Dies wird auch als die gleiche abstrakte Struktur oder die gleiche algebraische Struktur bezeichnet.

Man kann sich eine Symmetriegruppe vorstellen, indem man die Symmetrien einer konkreten zweidimensionalen Figur oder eines dreidimensionalen Objekts untersucht. Manchmal kann man dasselbe Objekt verwenden, um mehrere Symmetrien zu beschreiben und verschiedene Gemälde des Objekts zu unterscheiden.

kolorieren

Die Symmetriegruppe eines (näher) bemalten Objekts ist a Untergruppe von dem des vorherigen Objekts, wenn jedes Punktpaar mit ursprünglich unterschiedlichen Farben danach noch unterschiedliche Farben hat. Für ein Schwarz-Weiß-Zeichnung auf einer Fläche (wie einer Zeichnung in Schwarz auf einer weißen Fläche) ist die genannte hinreichende Bedingung beispielsweise erfüllt, wenn einige weiße Teile rot und andere blau und einige schwarze Teile grün werden. Wenn zum Beispiel ein weißes Quadrat auf grauem Hintergrund farbig ist (der Hintergrund bleibt gleich und es wird kein Grau zum Färben verwendet) oder wenn ein Quadrat aus weißem Papier gefärbt wird, dann wird die Symmetriegruppe des gesamten Gesichts mit dem farbigen quadrat ist gleich dem des farbigen Quadrats selbst und ist eine der Untergruppen der Symmetriegruppe des Quadrats. Verändert man hingegen beispielsweise eine Schwarz-Weiß-Zeichnung, indem man etwas hinzufügt, kann die Symmetrie auch zunehmen, beispielsweise hat eine Ebene mit dem Buchstaben F darauf keine Symmetrie, sondern nach dem Spiegelbild (die gleicher Größe, an beliebiger Stelle und an beliebiger Position) hinzugefügt.

Für die Symmetrie der Färbung werden nur die ermittelten Partition eines euklidischen Raums oder einer Teilmenge davon. Der Hintergrund kann als Element der Partition enthalten sein oder nicht. Dies macht für die Symmetriegruppe nur dann einen Unterschied, wenn die Dimension eines Objekts kleiner ist als die seines Hintergrunds, zum Beispiel ein Segment in einer Ebene. Eine weitere Einfärbung kommt einer Verschachtelung der Trennwand gleich (einer weiteren Unterteilung in mehrere Teile). In 3D ist, genau wie in 2D, der "Hintergrund" der Rest des Raumes. Wenn es um sichtbare Aspekte eines Objekts in 3D geht, geht es um die Form und die Farben der Oberfläche, einschließlich der Formen dessen, was mit diesen Farben auf die Oberfläche gemalt/gezeichnet/geschrieben wird.

Chiralität

Isometrien können in solche ohne und solche mit Änderung von unterschieden werden Orientierung. Orientierungswechsel findet statt:

in einer Dimension bei Reflexion in einem punkt
in zwei Dimensionen, wenn in einer Linie gespiegelt, einschließlich Gleitreflexion
in dreidimensionaler Reflexion in einer Ebene, einschließlich Gleitreflexion und Rotationsreflexion

Dies beinhaltet nicht die Punktreflexion in zwei Dimensionen.

Eine Symmetriegruppe enthält entweder nur Isometrien ohne Orientierungsänderung (eine solche Symmetriegruppe und Figuren/Objekte mit einer solchen Symmetriegruppe heißen chiral) oder beides mit und ohne. Im letzteren Fall bilden die Isometrien ohne Orientierungsänderung eine Untergruppe: die chirale Version der Symmetriegruppe, entsprechend der chiralen Version der fraglichen Symmetrie.

Wenn die Position und Ausrichtung der Spiegel^[1] ohne Berücksichtigung aller endlichen chiralen Symmetriegruppen in einer Dimension und in zwei Dimensionen die chirale Version von genau einer achiralen Symmetriegruppe, aber in drei Dimensionen sind alle endlichen chiralen Symmetriegruppen die chirale Version mehrerer achiraler Symmetriegruppen, mit Ausnahme der oktaedrischen und ikosaedrischen Symmetrie (siehe unten). Auch alle chiralen Streifenmustergruppen die chirale Version mehrerer achiraler Symmetriegruppen. Von der chiralen Tapetenmustergruppen nur p6 ist die chirale Version von nur einer achiralen Symmetriegruppe.

In drei Dimensionen ist jede endliche chirale Symmetriegruppe die chirale Version von genau einer achiralen Symmetriegruppe, die ${displaystyle C_{i}}$ (die Gruppe hervorgebracht von Punktreflexion) enthält, nämlich die direkte Summe dieser chiralen Symmetriegruppe und ${displaystyle C_{i}}$ .^[2]^[3]

Außerdem ist jede Translationsgruppe in drei Dimensionen die chirale Version von genau einer achiralen Symmetriegruppe, die ${displaystyle C_{i}}$ enthält, die ebenfalls durch Addition der Kombinationen einer Übersetzung und ihrer Umkehrung gebildet wird, nur solche, die nicht kommutieren. Ähnliches kann auch für andere chirale Symmetriegruppen gelten, jedoch unter der Voraussetzung, dass es sich um die Inversion gegenüber einem geeigneten Punkt, beispielsweise auf einer Drehachse, handelt.

Gruppenstruktur

Manchmal hat eine Symmetriegruppe ${Anzeigestil S}$ zwei Untergruppen ${Anzeigestil G}$ und ${Anzeigestil H}$ mit folgenden Eigenschaften:

${Anzeigestil G}$ und ${Anzeigestil H}$ haben nur die gleiche Funktion gemeinsam.
Jedes Element von ${displaystyle sinS}$ kann geschrieben werden als ${displaystyle s=gh}$ mit ${displaystyle Gin G}$ und ${Anzeigestil hin H}$ .
Für alle ${displaystyle Gin G}$ und ${Anzeigestil hin H}$ gilt ${displaystyle gh=hg}$ .

Jedes Element ${displaystyle sinS}$ kann dann genau so geschrieben werden als ${displaystyle s=gh}$ mit ${displaystyle Gin G}$ und ${Anzeigestil hin H}$ . Der Gruppenbetrieb von ${Anzeigestil S}$ kann auf diejenigen innerhalb reduziert werden ${Anzeigestil G}$ und ${Anzeigestil H}$ : ${displaystyle (g_{1}h_{1})(g_{2}h_{2})=(g_{1}g_{2})(h_{1}h_{2})}$ .

Zum Beispiel in einer Dimension, zwei Dimensionen und drei Dimensionen ${Anzeigestil H}$ die Gruppe sein hervorgebracht durch Umkehrung, und ${Anzeigestil G}$ eine Gruppe, die die Inversion nicht enthält. In drei Dimensionen ist ein weiteres Beispiel: ${Anzeigestil G}$ besteht aus Drehungen um eine Achse und möglicherweise Spiegelungen um Ebenen durch diese Achse, und ${Anzeigestil H}$ wird durch Reflexion in einer Ebene senkrecht zur Achse erzeugt.

Dies kann die Struktur der Symmetriegruppe klären; unten ist die notation ${Displaystil S=Goplus H}$ benutzt. Eine Folge dieser Beziehung (nicht dieselbe!) ist, dass die algebraische Struktur von ${Anzeigestil S}$ das produkt ist von dem von ${Anzeigestil G}$ und das von ${Anzeigestil H}$ . Um es zu unterscheiden, das Zeichen ${displaystyle imes }$ benutzt.

Siehe auch direkte Summe, Direktprodukt.

Gleichung der Symmetriegruppen

Bei der Einteilung von Symmetriegruppen in eine Dimension, zwei Dimensionen und drei Dimensionen besteht eine erste Vereinfachung darin, sie "abgesehen von Translation und Rotation" zu betrachten. Mit einem beweglichen physischen Objekt (starrer Körper) ist dies umso offensichtlicher, als die Position oder Orientierung des physischen Objekts eigentlich keine Eigenschaften des Objekts selbst sind. In einer Dimension gibt es keine Drehung, in zwei Dimensionen gibt es nur eine Drehung in der Ebene.

Entsteht Objekt B aus A durch eine direkte Isometrie, dann sind ihre Symmetriegruppen konjugierte Untergruppen des euklidische Gruppe, d. h. die genaue Symmetriegruppe von B ergibt sich aus der von A durch die direkte Isometrie ${displaystyle d}$ auf beliebige Spiegelebenen und Rotationsachsen (einschließlich derjenigen der Helixrotation und Rotationsreflexion) und die Translationsvektoren anzuwenden. Außerdem, wenn ${Anzeigestil s}$ ist eine Symmetrie von A, ${displaystyle d^{-1}sd}$ ist die entsprechende Symmetrie von B.

Wenn es beispielsweise um die Symmetrie einer quadratischen Farbtafel geht, werden die Symmetrie mit seitlich parallelen Spiegeln (s2As) und solchen mit diagonalen Spiegeln (s2Diag) nicht als Untergruppen der Symmetriegruppe des Quadrats als Raum, aber als Untergruppen der Symmetriegruppe der ganzen Ebene, der umgebenden Kreisscheibe oder des umgebenden Achtecks ( ${displaystyle D_{4}}$ ).

Selbst mit dieser Gleichung können verschiedene Symmetriegruppen, sogar eine chirale und eine achirale, algebraisch gleich sein.

Eine weitere Gleichung der Symmetriegruppen besteht darin, sie "außer einheitliche Skalierung". Dies ist bei endlichen Symmetriegruppen nicht der Fall, denn bei gleichmäßiger Skalierung eines Objekts in Bezug auf einen gegebenen Punkt bleibt die geometrische Symmetriegruppe genau gleich, aber es ist der Fall, wenn Translationen und/oder Gleitreflexionen zu Symmetriegruppen gehören. Diese weitere Äquivalenz liegt für die Hand, weil sich die Struktur der geometrischen Symmetriegruppe nicht ändert.

Mit dieser Gleichung gibt es sieben Streifenmustergruppen.

Die ganze Symmetrie eines zweidimensionalen Muster mit mindestens Translationssymmetrie Zweiwege lassen sich in 17 Kategorien einteilen, die Tapetenmustergruppen. Innerhalb einer Kategorie können die Parameter variieren, aber die gesamte Symmetrie ist im Wesentlichen gleich. Bei acht höheren Symmetrietypen sind die vorgenannten Kategorien immer eine eigene Tapetenmustergruppe, während die anderen neun Tapetenmustergruppen auch nach den Gleichungen noch Kategorien mehrerer Symmetriegruppen sind. Dies sind die Fälle mit höchstens Rotationssymmetrie der Ordnung 2, weil das Längenverhältnis zwischen den Translationsvektoren und/oder der Winkel zwischen ihnen nicht festgelegt ist.

Endliche Symmetriegruppen

Siehe auch Punktgruppe

Eine achirale Symmetriegruppe enthält eine gleiche Anzahl von chiralen und achiralen Elementen.

Man kann ein Objekt malen, das eine gewisse Symmetrie in der Form hat (zum Beispiel im Fall von a Polyeder durch Färbung oder Nummerierung der Seiten^[4]) so dass keine Symmetrie mehr besteht. Jede Position des Objekts, in der es den gleichen Raum wie in der ursprünglichen Position einnimmt, entspricht einem Element der Symmetriegruppe des unbemalten Objekts; die Positionen können durch das Gemälde unterschieden werden (siehe Bild). Die Positionen, an denen man das Objekt tatsächlich als physisches Objekt platzieren kann, sind die, an denen man sich nur umdrehen muss; diese entsprechen den Elementen der chiralen Version der Symmetriegruppe. Wenn das Objekt eine achirale Symmetrie hat, können die Positionen, die den anderen Elementen der Symmetriegruppe entsprechen, in einem Spiegel gesehen werden.

Für Objekte im euklidischen Raum mit einer endlichen Symmetriegruppe haben alle Isometrien des Raums, die das Objekt auf sich selbst abbilden, einen gemeinsamen Fixpunkt. Diese Isometrien werden weiterhin ausschließlich durch ihre Beschränkung bis zum Einheitskugel für diesen Punkt. Bei einem festen Fixpunkt entsprechen also alle Symmetriegruppen 1 zu 1 denen auf der Einheitskugel: in 1D zwei Punkte, in 2D einem Kreis und in 3D einer Kugelfläche. Die Rotationssymmetrie wird in 2D dann ganz durch ihre Ordnung bestimmt, in 3D teilweise durch die Rotationsachse und damit durch zwei antipodische Punkte auf der Kugeloberfläche.

Eine Dimension

Die Symmetriegruppen sind die triviale Gruppe (keine Symmetrie) und die Gruppe von Auftrag 2 bestehend aus dem identisches Bild und ein Punktreflexion. In der Notation von orthogonale Gruppen sind diese ${displaystyle SO(1)}$ und ${Displaystil O(1)}$ .

Zwei Dimensionen

Bei einer chiralen Figur ist die Symmetriegruppe de zyklische Gruppe ${displaystyle C_{n}}$ außer Betrieb ${displaystyle n}$ , korrespondierend zu Rotationssymmetrie außer Betrieb ${displaystyle n}$ relativ zu einem Punkt ( ${Anzeigestil n=1,2,3,ldots}$ ). Der Fall ${Anzeigestil n=1}$ gilt für eine Figur ohne Symmetrie.

Die Symmetriegruppe der anderen Figuren ist de Diedergruppe ${displaystyle D_{n}}$ außer Betrieb ${Displaystil 2n}$ ( ${Anzeigestil n=1,2,3,ldots}$ ). Es gibt ${displaystyle n}$ Spiegel, die Ecken machen ${displaystyle 180^{circ }/n}$ . wenn ${displaystyle n}$ ungerade ist, erhält man sie aus einem Spiegel, indem man den der Rotationssymmetrie entsprechenden Winkel umdreht: ${displaystyle 360^{circ }/n}$ . wenn ${displaystyle n}$ ist eben, man bekommt auf diese Weise nur die Hälfte der Spiegel, denn ${Anzeigestil n/2}$ Drehungen kehrt zum ursprünglichen Spiegel zurück. Die anderen Spiegel sind dazwischen. Der Fall ${Anzeigestil n=1}$ gilt für eine Figur mit nur einfacher Spiegelsymmetrie.

Beispiele für Figuren mit der Diedergruppe als Symmetriegruppe sind die regelmäßige Vielecke. Beispiele für chirale Figuren sind solche ohne Symmetrie ( ${Anzeigestil n=1}$ ) und solche mit einer S-Form ( ${Anzeigestil n=2}$ ); vor dem ${Anzeigestil n>2}$ sie sind etwas weniger einfach und üblich, Beispiele sind die Verkehrszeichen für a Kreisel, und der Hakenkreuz.

Drei Dimensionen

Die folgenden Isometriearten können in endlichen Symmetriegruppen auftreten:

ohne Änderung von Orientierung (im Sinne von „ohne Reflexion“)
- identisches Bild (immer enthalten)
- Drehung um eine Achse um einen Winkel, der eine rationale Zahl mal 360° . ist
mit Orientierungswechsel:
- Reflexion in einem Flugzeug
- Drehung um eine Achse um einen Winkel, der eine rationale Zahl mal 360° ist, und eine Spiegelung in einer Ebene senkrecht zu dieser Achse

Es gibt sieben Sätze von Symmetriegruppen (mit Indizes ${Anzeigestil n=1,2,3,ldots}$ ) und sieben getrennt.

Die Symmetriegruppen in den sieben Reihen mit ${Anzeigestil n=3,4,5,ldots}$ die Symmetriegruppen mit einer Rotationssymmetrieachse sind von der Ordnung größer als zwei, d. h. der Ordnung n. Die sieben separaten haben mehr, alle sieben haben mehrere Rotationssymmetrieachsen der Ordnung 3, in drei Fällen auch der Ordnung 4 und in zwei Fällen nicht der Ordnung 4, sondern der Ordnung 5. Es gibt auch einige Symmetriegruppen ohne Rotationssymmetrie einer Ordnung größer als zwei, fallen sie unter die sieben Reihen, mit ${Anzeigestil n=1}$ und ${Anzeigestil n=2}$ , aber es ist 10 statt 14, weil 8 gleich zwei mal zwei sind. Es gibt keine Möglichkeiten mehr für endliche Symmetriegruppen, wenn es also beispielsweise eine Rotationssymmetrieachse der Ordnung 6 gibt, dann gibt es keine andere Rotationssymmetrieachse der Ordnung größer als zwei; ferner gibt es beispielsweise keine endliche Symmetriegruppe mit einer Rotationssymmetrieachse der Ordnung 4 und einer anderen der Ordnung 5.

Wie ein Polyeder deren Flächen regelmäßige Polygone sind, dient als Beispiel für eine achirale Symmetrie (Gruppe), dann kann man ein Beispiel für die chirale Version der Symmetriegruppe konstruieren, indem man für einen oder mehrere der anwendbaren Werte von taking nimmt ${displaystyle n}$ jedes Gesicht, das einen Stamm hat ${displaystyle n}$ Winkel kann mit der gleichen chiralen Figur mit Rotationssymmetrie der Ordnung . versehen werden ${displaystyle n}$ , in immer der gleichen Position relativ zum ${displaystyle n}$ -Winkel^[5]. Alle chirale Symmetrie bleibt dann intakt, während alle achiralen zerfallen.

Die sieben Serien

Beispiele für

{Anzeigestil n=6}

^[6]

Die Symmetriegruppen in den sieben Reihen beziehen sich auf die sieben Streifenmustergruppen, mit Rotation statt Translation. In der gleichen Reihenfolge wie die Streifenmustergruppen sind dies (mit Beispielen):

Mit chiraler Version ${displaystyle C_{n}}$ $C_{n}$ :
- ${displaystyle C_{n}}$ ^[7] (Auftrag ${displaystyle n}$ ): eine runde Platte mit auf einer Seite eine Figur mit Rotationssymmetrie der Ordnung ${displaystyle n}$ ; der rotierende Teil von a Windkraftanlage / Propeller / Schiffsschraube / Ventilator usw. mit n Blättern hat oft diese Symmetrie (keine zusätzliche Symmetrie)
- ${displaystyle S_{2n}}$ (Auftrag ${Displaystil 2n}$ )^[8]^[9]: eine runde Platte mit auf einer Seite eine Figur mit Rotationssymmetrie der Ordnung ${displaystyle n}$ und auf der anderen Seite, von derselben Seite gesehen, die gleiche Figur, aber dann ${displaystyle 180^{circ }/n}$ gedreht; für ungerade ${displaystyle n}$ gilt ${displaystyle S_{2n}=C_{n}oplus C_{i}}$ ; die Gruppe ist zyklisch und wird erzeugt durch a Rotationsreflexion; die notation ${displaystyle S_{2n}}$ bedeutet nicht, dass ein gerader Index als Sonderfall gilt: ${displaystyle S_{n}}$ mit ungerade ${displaystyle n}$ existiert mit der hier verwendeten Notationskonvention nicht
- ${displaystyle C_{nh}=C_{n}oplus C_{s}}$ ^[10] (Auftrag ${Displaystil 2n}$ ): eine runde Platte mit durch und durch eine Figur mit Rotationssymmetrie der Ordnung ${displaystyle n}$ ;^[11] für eine Weile ${displaystyle n}$ gilt auch ${displaystyle C_{nh}=C_{n}oplus C_{i}}$
- ${displaystyle C_{nv}}$ (Auftrag ${Displaystil 2n}$ ): eine runde Platte mit einer Figur mit Symmetrie auf einer Seite ${displaystyle D_{n}}$ ; ein Stammkunde Pyramide (Reihenfolge wie bei Figur / Grundfläche; es gibt keine zusätzliche Symmetrie)
Mit chiraler Version ${displaystyle D_{n}}$ ${displaystyle D_{n}}$ ^[12]:
- ${displaystyle D_{n}}$ (Auftrag ${Displaystil 2n}$ ): eine runde Platte mit der gleichen Figur auf beiden Seiten mit Rotationssymmetrie der Ordnung ${displaystyle n}$
- ${displaystyle D_{nd}}$ (Auftrag ${Displaystil 4n}$ ): eine runde Platte mit einer Figur mit Symmetrie auf einer Seite ${displaystyle D_{n}}$ und auf der anderen Seite die gleiche Figur aber dann but ${displaystyle 180^{circ }/n}$ gedreht; ein Stammkunde Antiprisma; für ungerade ${displaystyle n}$ gilt ${displaystyle D_{nd}=D_{n}oplus C_{i}}$
- ${displaystyle D_{nh}=C_{nv}oplus C_{i}}$ (Auftrag ${Displaystil 4n}$ ): ein runder Teller mit einer durch und durch symmetrischen Figur ${displaystyle D_{n}}$ ; ein Stammkunde Prisma; ein Stammkunde bipyramide; für eine Weile ${displaystyle n}$ gilt auch ${displaystyle D_{nh}=D_{n}oplus C_{i}}$ .

Von allen Johnson Körper ist die Symmetriegruppe in diesen Kategorien mit ${Anzeigestil n=1,2,3,4,5}$ .

Die Symmetriegruppen ohne Rotationssymmetrie einer Ordnung größer als zwei

Vor dem ${Anzeigestil n=1}$ und ${Anzeigestil n=2}$ das obige gibt 14 Fälle an, von denen 8 zwei mal zwei gleich sind, also 10 verschieden, wie folgt. Bei zwei Gleichen wird pro Notation ein Beispiel angegeben, das dem oben angegebenen Beispiel entspricht.

Mit chiraler Version ${Displaystil C_{1}}$ :

${Displaystil C_{1}}$ (Bestellung 1) eine runde Platte mit einer asymmetrischen Figur auf einer Seite (chiral)
${displaystyle C_{i}}$ (= ${displaystyle S_{2}}$ ) (Reihenfolge 2): eine runde Platte mit einer asymmetrischen Figur auf der einen und der gleichen Figur auf der anderen Seite, von der gleichen Seite gesehen, aber um 180° gedreht (Punktsymmetrie, die Gruppe hervorgebracht von Punktreflexion)
${displaystyle C_{s}}$ ${displaystyle C_{s}}$ (= ${Displaystil C_{1h}=C_{1v}}$ ${displaystyle C_{1h}=C_{1v}}$ ) (Ordnung 2), Spiegelsymmetrie; zwei Beispiele für diese Symmetrie:
- ${displaystyle C_{1h}}$ : ein runder Teller mit durch und durch asymmetrischer Figur
- ${displaystyle C_{1v}}$ : eine runde Platte mit einer spiegelsymmetrischen Figur auf einer Seite

Mit chiraler Version ${Displaystil C_{2}}$ :

${Displaystil C_{2}}$ ${displaystyle C_{2}}$ (= ${displaystyle D_{1}}$ $D_{1}$ ) (Ordnung 2): Rotationssymmetrie der Ordnung 2; zwei Beispiele für diese Symmetrie:
- ${Displaystil C_{2}}$ : eine runde Platte mit auf einer Seite einer Figur mit Rotationssymmetrie der Ordnung 2
- ${displaystyle D_{1}}$ : eine runde Platte mit der gleichen asymmetrischen Figur auf beiden Seiten
${displaystyle S_{4}}$ (Ordnung 4): eine runde Platte mit auf der einen Seite eine Figur mit Rotationssymmetrie der Ordnung 2 und auf der anderen Seite, von derselben Seite gesehen dieselbe Figur, aber um 90° gedreht^[13]
${Displaystil C_{2v}/D_{1h}}$ ${displaystyle C_{2v}/D_{1h}}$ (Ordnung 4): zwei senkrechte Spiegel, was bedeutet, dass die Schnittlinie eine Rotationsachse der Ordnung 2 ist, zwei davon:
- ${displaystyle C_{2v}}$ : eine runde Platte mit einer Figur mit Symmetrie auf einer Seite ${displaystyle D_{2n}}$
- ${displaystyle D_{1h}}$ : ein runder Teller mit einer durch und durch spiegelsymmetrischen Figur
${displaystyle C_{2h}=C_{2}oplus C_{i}}$ ${displaystyle C_{2h}=C_{2}oplus C_{i}}$ (= ${displaystyle D_{1d}}$ ${displaystyle D_{1d}}$ ) (Ordnung 4): eine Rotationsachse der Ordnung 2 senkrecht zu einem Spiegel, zwei davon:
- ${displaystyle C_{2h}}$ : eine runde Platte mit durch und durch eine Figur mit Rotationssymmetrie der Ordnung 2
- ${displaystyle D_{1d}}$ : eine runde Platte mit einer spiegelsymmetrischen Figur auf der einen Seite und der gleichen Figur auf der anderen Seite, aber um 180° gedreht

Mit chiraler Version ${displaystyle D_{2}}$ :

${displaystyle D_{2}=C_{2}oplus C_{2}}$ (Ordnung 4): eine runde Platte mit der gleichen Figur auf beiden Seiten mit Rotationssymmetrie der Ordnung 2 (chiral)
${displaystyle D_{2d}}$ (Reihenfolge 8): eine runde Platte mit einem Rechteck auf der einen Seite und dem gleichen Rechteck auf der anderen Seite, aber um 90° gedreht 90°
${displaystyle D_{2h}=C_{s}oplus C_{s}oplus C_{s}=D_{2}oplus C_{i}}$ (Reihenfolge 8): a rechteckige Platte

Polyedrische Symmetrie

Siehe auch Tetraeder- und Oktaedersymmetrie und Ikosaedrische Symmetrie

Es gibt sieben Symmetriegruppen mit mehr als einer Rotationssymmetrieachse einer Ordnung größer als zwei. Diese entsprechen Symmetrien, die manchmal zusammenfassend als bezeichnet werden polyedrische Symmetrie.

Von den drei Symmetriegruppen mit Rotationssymmetrieachsen der Ordnung 3 ohne Achsen höherer Ordnung entsprechen zwei tetraedrische Symmetrie (Vollversion ${displaystyle T_{d}}$ und chirale Version ${Anzeigestil T}$ ). Die Bestellung ist 24, bzw. 12. ${displaystyle T_{d}}$ ist die Symmetrie der Tetraeder und ein Archimedischer Körper, das abgeschnittenes Tetraeder. ${displaystyle T_{d}}$ ist algebraisch de symmetrische Gruppe ${displaystyle S_{4}}$ , weil die Elemente von ${displaystyle T_{d}}$ entsprechen 1-zu-1 den Permutationen der 4 Knoten. ${Anzeigestil T}$ ist algebraisch de alternierende Gruppe ${Displaystil A_{4}}$ , weil die Elemente von ${Anzeigestil T}$ entsprechen 1-zu-1 den geraden Permutationen der 4 Knoten. Der dritte, ${displaystyle T_{h}}$ , ist Pyritoedrische Symmetrie, dies ist die Symmetrie eines Würfels mit auf jeder Seite ein Liniensegment, das die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten verbindet, so dass sich diese Segmente nicht berühren. Die Bestellung ist 24. ${displaystyle T_{h}=Toplus C_{i}}$ und daher algebraisch ${displaystyle A_{4}imes C_{2}}$ . Die Gruppe ${Anzeigestil T}$ ist nicht nur die chirale Version von ${displaystyle T_{d}}$ aber auch von ${displaystyle T_{h}}$ .

Die beiden Symmetriegruppen mit Rotationssymmetrieachsen 3. Ordnung und Achsen 4. Ordnung entsprechen Oktaedersymmetrie (Vollversion ${displaystyle O_{h}}$ und chirale Version ${Anzeigestil O}$ ; siehe auch Symmetriegruppe des Würfels). Die Reihenfolge beträgt 48, bzw. 24. ${displaystyle O_{h}}$ ist die Symmetrie der Würfel, das Oktaeder und fünf Archimedische Körper. Zwei archimedische Körper, nämlich die beiden Versionen des stumpfer Würfel, sind chiral mit ${Anzeigestil O}$ als totale Symmetriegruppe. ${Anzeigestil O}$ ist algebraisch de symmetrische Gruppe ${displaystyle S_{4}}$ , wobei die 1-zu-1-Elemente den Permutationen der Körperdiagonalen des Würfels entsprechen, .^[14] ${displaystyle O_{h}=Ooplus C_{i}}$ und daher algebraisch ${displaystyle S_{4} imes S_{2}}$ . Nächster ${Anzeigestil O}$ sind auch ${displaystyle T_{d}}$ und ${displaystyle T_{h}}$ (und somit ${Anzeigestil T}$ ) Untergruppen von ${displaystyle O_{h}}$ . Die Gruppe ${Anzeigestil T}$ ist eine Untergruppe von O. Die Gruppen ${displaystyle O_{h}}$ , ${Anzeigestil O}$ , ${displaystyle T_{d}}$ , ${displaystyle T_{h}}$ und ${Anzeigestil T}$ sind die Symmetriegruppen des Würfels mit:

vor dem ${displaystyle O_{h}}$ leere Seiten
vor dem ${Anzeigestil O}$ auf jeder Seite die gleiche chirale Figur mit Rotationssymmetrie der Ordnung 4
vor dem ${displaystyle T_{d}}$ auf jeder Seite eine Diagonale, so dass sie zusammen ein Tetraeder bilden
vor dem ${displaystyle T_{h}}$ auf jeder Seite ein Liniensegment, das die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten so verbindet, dass sich diese Segmente nicht berühren
vor dem ${Anzeigestil T}$ sowohl die Biene ${displaystyle T_{d}}$ wenn ${displaystyle T_{d}}$ genannt

Die beiden Symmetriegruppen mit Rotationssymmetrieachsen der Ordnung 3 und Achsen der Ordnung 5 entsprechen ikosaedrische Symmetrie (Vollversion ${displaystyle I_{h}}$ und chirale Version ${Anzeigestil I}$ ). Die Reihenfolge beträgt 120 bzw. 60. ${displaystyle I_{h}}$ ist die Symmetrie der Dodekaeder, Ikosaeder, fünf Archimedische Körper darunter der Fußball sehr bekannt abgeschnittenes Ikosaeder, und alle vier Kepler Poinsot Körper. Zwei archimedische Körper, nämlich die beiden Versionen des stumpfes Dodekaeder, sind chiral mit ${Anzeigestil I}$ als totale Symmetriegruppe. ${Anzeigestil I}$ ist algebraisch ${Displaystil A_{5}}$ (die geraden Permutationen von 5 Elementen). Die 20 Eckpunkte eines Dodekaeders können (auf zwei Arten) in 5 Gruppen von 4 aufgeteilt werden, von denen jede die Eckpunkte eines Tetraeders bildet. Die Elemente von ${Anzeigestil I}$ entsprechen 1 zu 1 den geraden Permutationen der 5 Tetraeder. ${displaystyle I_{h}=Ioplus C_{i}}$ und daher algebraisch ${displaystyle A_{5}imes C_{2}}$ .

Funktionen und Zahlen

Die Anzahl der Symmetriegruppen der Ordnung ${displaystyle k}$ ist, wie aus dem Obigen folgt, 7 für ${displaystyle k}$ ein Vierer, 1 für ${displaystyle k}$ ein Vierfaches plus 1,5 für ${displaystyle k}$ ein Vierfaches plus 2 und 1 für ${displaystyle k}$ ein Vierfaches plus 3, mit Ausnahme von ${displaystyle k}$ = 2, 4, 12, 24, 48, 60. 120 bzw. 3, 5, 8, 10, 8, 8, 8 (davon chiral 2, 1, 2, 1 bzw. 1, 2, 3, 3, 2, 3, 2).

Zyklisch (und deshalb abels) sein ${Anzeigestil C_{n},S_{2n}}$ , und ${displaystyle C_{nh}}$ für ungerade ${displaystyle n}$ . Auch Abels sind ${displaystyle C_{nh}}$ für eine Weile ${displaystyle n}$ ${displaystyle C_{n}oplus C_{s}, D_{2}(C_{2}oplus C_{2}), C_{2v}/D_{1h}(C_{s}oplus C_{s})}$ und ${displaystyle D_{2h}(C_{s}oplus C_{s}oplus C_{s})}$ .

Vor dem ${displaystyle k}$ ein Quadrupel plus 0, 1, 2 oder 3 ist die Anzahl der zyklischen Symmetriegruppen der Ordnung ${displaystyle k}$ also jeweils 2, 1, 3 oder 1 und die Anzahl der abelschen Symmetriegruppen der Ordnung ${displaystyle k}$ bzw. 3, 1, 3 oder 1, mit Ausnahme von ${Anzeigestil k=4,8}$ bzw. 5, 4.

Anders angeordnet:

für ungerade ${displaystyle k}$ gibt es eine Symmetriegruppe; es ist zyklisch, also abelsch, und chiral.
Vor dem ${displaystyle k}$ $k$ ein Vierfach plus 2 gibt es fünf Symmetriegruppen (drei für ${Anzeigestil k=2}$ ${displaystyle k=2}$ ):
- einer ist zyklisch und chiral
- zwei sind zyklisch und achiral
- einer ist nicht-abelsch und chiral (nicht für ${Anzeigestil k=2}$ )
- einer ist nichtabelisch und achiral (nicht für ${Anzeigestil k=2}$ )
Für k a Quadrupel gibt es sieben Symmetriegruppen (fünf für ${Anzeigestil k=4}$ ${displaystyle k=4}$ , acht für ${Anzeigestil k=12,48,60,120}$ ${displaystyle k=12,48,60,120}$ , zehn vor ${Anzeigestil k=24}$ ${displaystyle k=24}$ ):
- einer ist zyklisch und chiral
- einer ist zyklisch und achiral
- einer ist nichtabelsch und chiral (für ${Anzeigestil k=12,24,60}$ , zwei; vor dem ${Anzeigestil k=4}$ ist die Gruppe nicht zyklisch, aber abelsch)
- einer ist nicht zyklisch, aber abelsch und achiral (zwei für ${Anzeigestil k=4,8}$ )
- drei sind non-abel und achiral (nicht für ${Anzeigestil k=4}$ , zwei für ${Anzeigestil k=8}$ , vier für ${Anzeigestil k=48,120}$ , fünf für ${Anzeigestil k=24}$ )

Die kleinsten abstrakten Gruppen, die nicht die abstrakte Struktur einer Symmetriegruppe sind, sind ${displaystyle C_{3} imes C_{3}}$ und der dicyclische Gruppen ${displaystyle mathrm {Dic} _{2}}$ (Quaternionengruppe) und ${displaystyle mathrm {Dic} _{3}}$ .

Es gibt zwei Symmetriegruppen mit gerader Elementanzahl ohne Untergruppe mit halber Elementanzahl: ${Anzeigestil T}$ und ${Anzeigestil I}$ .

Siehe auch die Liste der Kleingruppen.

Algebraische Gruppen mit eindeutiger Symmetriegruppe

Algebraische Gruppen endlicher Symmetriegruppen in einer Dimension, zwei Dimensionen und drei Dimensionen sind die pro Dimension einer eindeutigen Symmetriegruppe, mit Ausnahme von Translation und Rotation, für alle Symmetriegruppen in einer Dimension und zwei Dimensionen und für die nächste in drei Dimensionen ( in Klammern stehen die abstrakten Gruppen):

${Displaystil C_{2n 1}}$ ( ${displaystyle Z_{2n 1}}$ , Auftrag ${Anzeigestil 2n 1}$ )
${displaystyle C_{2nh}=C_{2n}oplus C_{s}}$ ${displaystyle C_{2nh}=C_{2n}oplus C_{s}}$ von ${Anzeigestil n=2}$ $n=2$ ( ${displaystyle Z_{2n} imes Z_{2}}$ ${displaystyle Z_{2n} imes Z_{2}}$ , Auftrag ${Displaystil 4n}$ ${displaystyle 4n}$ ):
- ${displaystyle C_{4nh}=C_{4n}oplus C_{s}}$ ( ${displaystyle Z_{4n} imes Z_{2}}$ , Auftrag ${Anzeigestil 8n}$ )
- ${Anzeigestil C_{(4n 2)h}=C_{4n 2}oplus C_{s}}$ von ${Anzeigestil n=1}$ ( ${displaystyle Z_{4n 2} imes Z_{2}=Z_{2n 1} imes Z_{2}^{2}}$ , Auftrag ${Anzeigestil 8n 4}$ )
${displaystyle D_{2nh}=C_{2nv}oplus C_{s}}$ ${displaystyle D_{2nh}=C_{2nv}oplus C_{s}}$ ( ${displaystyle mathrm {Dih} _{2n} imes Z_{2}}$ ${displaystyle mathrm {Dih} _{2n} imes Z_{2}}$ , Auftrag ${Anzeigestil 8n}$ ${displaystyle 8n}$ ):
- ${displaystyle D_{4nh}=C_{4nv}oplus C_{s}}$ ( ${displaystyle mathrm {Dih} _{4n} imes Z_{2}}$ , Auftrag ${Anzeigestil 16n}$ )
- ${Anzeigestil D_{(4n 2)h}=C_{4n 2}oplus C_{s}}$ ( ${displaystyle mathrm {Dih} _{4n 2} imes Z_{2}=mathrm {Dih} _{2n 1} imes Z_{2}^{2}}$ , Auftrag ${Anzeigestil 16n 8}$ )
${Anzeigestil T}$ (alternierende Gruppe ${Displaystil A_{4}}$ , Bestellung 12)
${displaystyle T_{h}=Toplus C_{i}}$ ( ${displaystyle A_{4}imes Z_{2}}$ , Bestellung 24)
${displaystyle O_{h}=Ooplus C_{i}}$ ( ${displaystyle S_{4}}$ ${displaystyle imes Z_{2}}$ , bestellen 48)
${Anzeigestil I}$ (abwechselnde Gruppe ${Displaystil A_{5}}$ , Bestellung 60)
${displaystyle I_{h}=Ioplus C_{i}}$ ( ${displaystyle A_{5}imes Z_{2}}$ , 120 bestellen)

Für die anderen endlichen Symmetriegruppen impliziert die abstrakte Gruppe nicht eindeutig die Symmetriegruppe.

Unendliche Symmetriegruppen

Eine Symmetriegruppe hat abzählbar unendlich viele Elemente, auch wenn es Übersetzungen mit sein, siehe auch Streifenmustergruppe und Tapetenmustergruppe.

Eine Symmetriegruppe mit unzählig vielen Elementen ist in zwei Dimensionen, zum Beispiel die Symmetriegruppe entsprechend Kreissymmetrie, das orthogonale Gruppe ${Anzeigestil O(2)}$ . Ein weiteres Beispiel ist, dass sich nichts in eine Richtung ändert.

Symmetriegruppen mit unzähligen Elementen sind zum Beispiel dreidimensional Zylindersymmetrie und Kugelsymmetrie.

Ein weiteres Beispiel ist die Symmetriegruppe, die eine Schraubendrehung um eine gegebene Achse enthält, nämlich von einem gegebenen Punkt auf der Achse aus gesehen eine Drehung im Uhrzeigersinn um einen Winkel ${displaystyle alpha }$ , in Kombination mit einer Translation weg vom Beobachter über eine Distanz ${displaystyle talpha }$ , und das für alle ${displaystyle alpha }$ . Mit positiv ${displaystyle t}$ ist das Rechtshändig Schraubensymmetrie, bei negativ ${displaystyle t}$ linkshändig. Es ist die Symmetrie von a Wendel und von einem unendlichen Zylinder Schraube (ohne Kopf). Bei senkrecht gehaltener Rechtsschraube verlaufen die Nuten bei seitlicher Betrachtung von links unten nach rechts oben, bei waagerechter Haltung von rechts unten nach links oben. Bij een linksdraaiende schroef is dit andersom. Een fundamenteel domein van de symmetrie is een willekeurig vlak loodrecht op de as.

In de aftelbare variant van deze symmetrie neemt ${displaystyle alpha }$ als waarden alleen veelvouden van een vaste hoek tussen 0° en 180° aan.

Tussenvormen tussen discrete en continue symmetrie

Als het gaat om visuele symmetrie kunnen bepaalde tussenvormen tussen discrete en continue symmetrie buiten beschouwing worden gelaten, zoals met een symmetriegroep die in een bepaalde richting willekeurig kleine, maar niet alle translaties bevat, of ten opzichte van een bepaald punt willekeurig kleine, maar niet alle rotaties. Voor een symmetriegroep ${displaystyle G}$ kan men daarbij formeel het criterium hanteren of voor elk punt ${displaystyle x}$ de verzameling ${displaystyle {gcdot xmid gin G}}$ een gesloten verzameling is. Bij de "tussenvormen" is dat niet het geval. Als deze buiten beschouwing worden gelaten worden overzichten van alle symmetriegroepen voor een bepaalde ruimte eenvoudiger.

Een voorbeeld van een "tussenvorm" voor de eendimensionale ruimte ${displaystyle mathbb {R} }$ is de translatiegroep voortgebracht door translaties met afstand 1 en √2. De verzameling translatie-afstanden is aftelbaar, maar ligt dicht in ${displaystyle mathbb {R} }$ . Deze verzameling is dus niet gesloten. Deze translatiegroep is bijvoorbeeld de symmetriegroep van ${displaystyle {m n{sqrt {2}} p{sqrt {3}}mid m,nin mathbb {Z} ,pin {0,1,3}}}$ .

De symmetriegroepen in één dimensie en twee dimensies, uitgezonderd de tussenvormen

Als de tussenvormen buiten beschouwing worden gelaten blijven voor de eendimensionale ruimte ${displaystyle mathbb {R} }$ de volgende symmetriegroepen over:

de triviale groep
de groep isomorf met de cyclische groep ${displaystyle mathbb {Z} /2mathbb {Z} }$
de groepen isomorf met ${displaystyle mathbb {Z} }$ (een voor elke positieve translatie-afstand)
de groepen isomorf met de symmetriegroep van ${displaystyle mathbb {Z} }$ (oneindige dihedrale groep), met als parameter de positieve translatie-afstand (de spiegelpunten hebben een onderlinge afstand van de halve translatie-afstand)
de isometriegroep van ${displaystyle mathbb {R} }$

De groep van alle translaties is van geen enkel object de symmetriegroep.

Voor het vlak ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ blijven de volgende symmetriegroepen over (zie ook boven):

de triviale groep
de groepen isomorf met de cyclische groep ${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }$ , met als parameter ${displaystyle n=2,3,ldots }$ (rotatiesymmetrie van orde n).
de groepen isomorf met de dihedrale groep van orde ${displaystyle 2n}$ , met als parameter ${displaystyle n=2,3,ldots }$ (de spiegels gaan door het draaipunt en maken een onderlinge hoek van 180 graden gedeeld door ${displaystyle n}$ )
de groep van alle rotaties om een punt en alle spiegelingen met een spiegel door dat punt (het is de symmetriegroep van cirkelsymmetrie ten opzichte van dat punt)
de groepen van het type strookpatroongroep, met per strookpatroongroep als parameter de translatieafstand
de groepen van het type behangpatroongroep, met afhankelijk van de behangpatroongroep nog een of meer parameters
de groepen die de directe som zijn van de symmetriegroep van ${displaystyle mathbb {R} }$ (voor één richting) en een van de bovengenoemde symmetriegroepen voor ${displaystyle mathbb {R} }$ (voor de richting loodrecht daarop)

Onder meer de groep van alle rotaties om een punt is van geen enkel object de symmetriegroep.

Objecten met minder dimensies dan de euclidische ruimte

De symmetriegroep van een object dat zich uitstrekt over een verzameling van twee of meer punten op een rechte lijn hangt volgens bovenstaande definitie ervan af of het een object in bijvoorbeeld de een-, twee- of driedimensionale euclidische ruimte is. Vergeleken met de symmetrie van het object als object in de eendimensionale euclidische ruimte komt er als object in de tweedimensionale euclidische ruimte spiegelsymmetrie in de betreffende lijn bij, en als object in de driedimensionale euclidische ruimte meer spiegelsymmetrie en ook rotatiesymmetrie met de betreffende lijn als as. De symmetriegroep van het object op zich is de symmetriegroep van dit object in de verzameling waarover dit object zich uitstrekt, met de geïnduceerde metriek. Deze symmetriegroep komt in het voorbeeld in essentie overeen met die van het object in de eendimensionale euclidische ruimte (niet alleen algebraïsch isomorf, maar ook qua meetkundige aspecten).

In plaats van rechtstreeks kan de symmetriegroep van een object in een euclidische ruimte ook worden gedefinieerd uitgaande van de genoemde definitie van de symmetriegroep van een object op zich, en wel door het geheel van het object en de rest van de ruimte als nieuw object te beschouwen (zoals bij een afbeelding een egale achtergrond wel of niet tot de afbeelding gerekend kan worden).

Scheikunde

Zie Moleculaire symmetrie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In de scheikunde is de symmetriegroep van een molecuul of van een rooster van belang; als deze alleen directe isometrieën bevat heet het molecuul of rooster chiraal. In een chiraal molecuul of rooster komen dus geen spiegelingen voor die het molecuul of rooster hetzelfde laten.

Zie ook

Bronnen, noten en/of referenties

↑Het woord spiegel wordt hier kortweg gebruikt voor een punt in één dimensie, een lijn in twee dimensies of een vlak in drie dimensies ten opzichte waarvan er spiegelsymmetrie is.
↑Bij cyclische groepen wordt dezelfde notatie gebruikt voor de groep en een bepaald element dat de groep voortbrengt.
↑Waar een isometrie gelijkgesteld wordt met een isometrieënpaar wordt bedoeld dat de isometrie de samenstelling van de twee is. Dit wordt alleen toegepast als het resultaat niet afhangt van de volgorde.
↑Met nummeren wordt hier bedoeld het coderen van een eigenschap zoals kleur, niet het op het zijvlak plaatsen van een getal als figuur.
↑Anders gezegd: de figuur bestaande uit de ${displaystyle n}$ -hoek en de chirale figuur is steeds hetzelfde.
↑Voor de groep van orde ${displaystyle 2n}$ wordt soms (ook in de figuur) de notatie Sn gebruikt in plaats van ${displaystyle S_{2n}}$ .
↑De notaties ${displaystyle C_{n}}$ en ${displaystyle D_{n}}$ worden zowel voor de symmetriegroep als voor de algebraïsche groep gebruikt (en in het geval van ${displaystyle C_{n}}$ soms ook nog voor één voortbrengende isometrie, een draaiing over ${displaystyle 360^{circ }/n}$ ). Uit de context blijkt welke betekenis wordt bedoeld.
↑In het artikel Puntgroep aangeduid als S_n
↑De notatie ${displaystyle S_{n}}$ wordt ook gebruikt voor de symmetrische groep.
↑Voor de notatie ${displaystyle C_{s}}$ zie verderop. De oriëntatie van de spiegel blijkt uit het verband.
↑Een alternatief voor "een ronde plaat met door en door een figuur met rotatiesymmetrie van orde ${displaystyle n}$ " is "een 2D-figuur met rotatiesymmetrie van orde ${displaystyle n}$ , in de driedimensionale ruimte".
↑Voor het geval ${displaystyle n=1}$ is er nog een achirale symmetriegroep met chirale versie ${displaystyle D_{n}}$ , namelijk ${displaystyle S_{4}}$ , ingedeeld bij ${displaystyle n=2}$ .
↑Voor het geval n = 1 zijn er dus niet twee maar drie achirale symmetriegroepen met chirale versie D_n.
↑https://math.stackexchange.com/questions/2292346/find-a-group-of-rotation-of-a-cube

[1] Het woord spiegel wordt hier kortweg gebruikt voor een punt in één dimensie, een lijn in twee dimensies of een vlak in drie dimensies ten opzichte waarvan er spiegelsymmetrie is.

[2] Bij cyclische groepen wordt dezelfde notatie gebruikt voor de groep en een bepaald element dat de groep voortbrengt.

[3] Waar een isometrie gelijkgesteld wordt met een isometrieënpaar wordt bedoeld dat de isometrie de samenstelling van de twee is. Dit wordt alleen toegepast als het resultaat niet afhangt van de volgorde.

[4] Met nummeren wordt hier bedoeld het coderen van een eigenschap zoals kleur, niet het op het zijvlak plaatsen van een getal als figuur.

[5] Anders gezegd: de figuur bestaande uit de ${displaystyle n}$ -hoek en de chirale figuur is steeds hetzelfde.

[6] Voor de groep van orde ${displaystyle 2n}$ wordt soms (ook in de figuur) de notatie Sn gebruikt in plaats van ${displaystyle S_{2n}}$ .

[7] De notaties ${displaystyle C_{n}}$ en ${displaystyle D_{n}}$ worden zowel voor de symmetriegroep als voor de algebraïsche groep gebruikt (en in het geval van ${displaystyle C_{n}}$ soms ook nog voor één voortbrengende isometrie, een draaiing over ${displaystyle 360^{circ }/n}$ ). Uit de context blijkt welke betekenis wordt bedoeld.

[8] In het artikel Puntgroep aangeduid als S_n

[9] De notatie ${displaystyle S_{n}}$ wordt ook gebruikt voor de symmetrische groep.

[10] Voor de notatie ${displaystyle C_{s}}$ zie verderop. De oriëntatie van de spiegel blijkt uit het verband.

[11] Een alternatief voor "een ronde plaat met door en door een figuur met rotatiesymmetrie van orde ${displaystyle n}$ " is "een 2D-figuur met rotatiesymmetrie van orde ${displaystyle n}$ , in de driedimensionale ruimte".

[12] Voor het geval ${displaystyle n=1}$ is er nog een achirale symmetriegroep met chirale versie ${displaystyle D_{n}}$ , namelijk ${displaystyle S_{4}}$ , ingedeeld bij ${displaystyle n=2}$ .

[13] Voor het geval n = 1 zijn er dus niet twee maar drie achirale symmetriegroepen met chirale versie D_n.

[14] ttps://math.stackexchange.com/questions/2292346/find-a-group-of-rotation-of-a-cube

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