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siebeneckiges Antiprisma

EIN ${displaystyle n}$-seitig Antiprisma ist in der Geometrie ein Polyeder, die aus einer unteren und einer oberen Fläche von zwei gebildet wird parallel Kopien von a ${displaystyle n}$-seitig Polygon, verbunden durch ein Band alternierender Dreiecke. Ober- und Unterseite^[1] können gegeneinander verschoben und gedreht werden. Antiprismen beziehen sich auf gewöhnliche Prismen, mit dem Unterschied, dass bei einem Prisma die Ober- und Unterseite nicht gegeneinander und durch gedreht sind Parallelogramme miteinander verbunden werden.

Ein Antiprisma heißt regulär, wenn das Polygon, das die Ober- und Unterseite bildet, a . ist regelmäßiges Vieleck ist. Ein regelmäßiges Antiprisma wird als gerade bezeichnet, wenn die Zentren der Ober- und Unterseite aufrecht auf beiden Ebenen überlagert.

Zusätzliche Regelmäßigkeit entsteht, wenn die untere und obere Fläche eines geraden Antiprismas etwa auf halbem Weg voneinander entfernt sind Ecke des Polygons werden gedreht, also über ${displaystyle 180^{circ }/n}$. In diesem Fall besteht die Seite eines rechten Antiprismas aus einem Band gleichschenkliger Dreiecke, ein solches rechtes Antiprisma heißt Uniform wenn die Seite aus einem Band von . besteht gleichseitige Dreiecke. EIN regelmäßiges Oktaeder ist das einheitliche Antiprisma mit den wenigsten Gesichtern.

Es Doppelpolyeder eines Antiprismas ist a trapezförmig.

Formeln

• Das Strahl${displaystyle R_{0}}$ der umschriebenen Sphäre eines Rechts ${displaystyle n}$-seitiges Antiprisma mit Seide ${Anzeigestil a}$ und Höhe ${displaystyle h}$ kann berechnet werden als Hypotenuse in einem rechtwinkliges Dreieck mit rechteckigen Seiten ${displaystyle { frac {1}{2}}h}$ und der Radius ${displaystyle R={ frac {1}{2}}acsc left({ frac {pi }{n}}ight)}$ des umschriebener Kreis des Polygons. So:

${displaystyle R_{0}={ frac {1}{2}}{sqrt {h^{2} a^{2}csc ^{2}left({frac {pi }{n}}ight)}}}$

• Das Oberfläche${Anzeigestil A}$ von einem Recht ${displaystyle n}$-seitiges Antiprisma mit Seide ${Anzeigestil a}$ und Höhe ${displaystyle h}$ besteht aus den Oberflächen the ${Displaystil A_{0}}$ von Unter- und Oberseite und die ${Displaystil 2n}$ Oberflächen ${Displaystil A_{z}}$ der gleichschenkligen Dreiecke von der Seite. Es gilt:

${displaystyle A_{0}={ frac {1}{4}}na^{2}cot left({ frac {pi }{n}}ight)}$

und

${displaystyle A_{z}={ frac {1}{4}}a^{2}{sqrt {left({frac {2h}{a}}ight)^{2} an ^{2}left({frac {pi }{2n}}Nacht)}}}$,

so dass ${Anzeigestil A}$ ist durch die Formel gegeben:

${displaystyle A={ frac {1}{2}}na^{2}left(cot left({frac {pi }{n}}ight) {sqrt {left({frac {2h}{a}}ight) ^{2} eine ^{2}left({frac {pi }{2n}}ight)}}ight)}$

• Wenn das Antiprisma einheitlich ist, dann:

${displaystyle {frac {h}{a}}={sqrt {1-{frac {1}{4}}sec ^{2}left({frac {pi }{2n}}ight)}}}$

und

${displaystyle A_{z}={ frac {1}{4}}a^{2}{sqrt {3}}}$,

so dass

${displaystyle A={ frac {1}{2}}na^{2}left(cot left({frac {pi }{n}}ight) {sqrt {3}}ight)}$

• Das Inhalt${Anzeigestil V}$ einer Uniform ${displaystyle n}$-seitiges Antiprisma mit Seide ${Anzeigestil a}$ wird gegeben von:

${displaystyle V={frac {n}{12}}a^{3}links(Kinderbett links({frac {pi }{2n}}Nacht) Kinderbett links({frac {pi }{n}}Nacht) {sqrt {1-{ frac {1}{4}}sec ^{2}left({frac {pi }{2n}}ight)}}}$

In diesem sind ${Anzeigestil Sek.}$ und ${displaystyle csc }$ das Sekant und Kosekan.

Varianten

Das einheitliche Antiprisma kann im weiteren Sinne auf einheitliche Antiprismen mit Scheitelpunktkonfiguration verallgemeinert werden ${displaystyle 3.3.3.p/q}$, mit ${displaystyle q<2p/3}$, wo zum Beispiel ${displaystyle 3.3.3.10/1}$ gleich ${Anzeigestil 3.3.3.10}$, aber ${displaystyle 3.3.3.10/2}$ ist nicht gleich ${Anzeigestil 3.3.3.5}$. Die Basis von ${displaystyle 3.3.3.p/q}$ ist (Stern-)Polygon${displaystyle {p/q}}$, was gleich ist ${Anzeigestil {p/(p-q)}}$. Die obere Fläche ist ${displaystyle qimes 180^{circ }/p}$ gegenüber der Grundebene gedreht, und beim Durchlaufen der Rippen von der unteren zur oberen Ebene erfolgt auch eine Drehung um die Hochachse des Polyeders um diesen Winkel. Die Bedingung ${displaystyle q<2p/3}$ liegt daran, dass die Länge der horizontalen Seite einer dreieckigen Fläche länger sein muss als die horizontale Komponente der anderen beiden Seiten.

• Vor dem ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$relativ prim Ist da das Stern-Antiprisma ${displaystyle 3.3.3.p/q}$ mit ${displaystyle q$

  und das retrograde Stern-Antiprisma ${displaystyle 3.3.3.p/q}$ mit ${Anzeigestil p/2$.

• wenn ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$größter gemeinsamer Teiler${displaystyle r}$ habe ist da mit ${Anzeigestil s=p/r}$ und ${Anzeigestil t=q/r}$ ein zusammengesetztes Polyeder von ${displaystyle r}$ identische einheitliche Antiprismen ${Anzeigestil 3.3.3.s/t}$ vermischt, jeweils mit Base ${displaystyle {s/t}}$, zusammen mit Groundplane ${displaystyle {p/q}}$. Beispiele:
  • ${displaystyle 3.3.3.10/2}$ besteht aus zwei Kopien des Antiprismas ${Anzeigestil 3.3.3.5}$ vermischt.
  • ${displaystyle 3.3.3.10/4}$ besteht aus zwei Kopien des Stern-Antiprismas ${Anzeigestil 3.3.3.5/2}$ vermischt.
  • ${Anzeigestil 3.3.3.10/6}$ besteht aus zwei Kopien des retrograden Stern-Antiprismas ${Anzeigestil 3.3.3.5/3}$ vermischt.

für eine Weile ${Anzeigestil q}$ Hat das Objekt die Symmetrie eines Prismas? d_pha und ansonsten die eines Antiprismas d_pd.