WikiDer > Relative Primzahl

Zweiganze Zahlen relativ zueinander werden relativ prim (ebenfalls coprime) oder gegenseitig unteilbar angerufen, wenn es keine gibt positiv ganze Nummer größer als 1 Existiert es, dass beide Zahlen Anteile. Um zu bestimmen, ob zwei Zahlen relativ prim sind, berechnet man normalerweise ihre größter gemeinsamer Teiler (ggd); zwei Zahlen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ sind relativ prim genau dann, wenn ihre ${displaystyle mathrm {ggd} (a,b)}$ gleich 1. Dies bedeutet auch, dass diese beiden Zahlen keine Gemeinsamkeit haben Primfaktor besitzen.

Während die Zahlen 6 und 35 selbst keine Primzahlen sind, sind sie „relativ prim“; 6 = 2 × 3 und 35 = 5 × 7: Es gibt keinen gemeinsamen Primfaktor.
Die Zahl 1 ist als relativ prim zu jeder anderen ganzen Zahl definiert. Zwei verschiedene Primzahlen sind daher immer relativ prim; 3 = 1 × 3 und 5 = 1 × 5.

Es Euklids Algorithmus ist eine schnelle Methode, um festzustellen, ob zwei ganze Zahlen relativ prim sind. Das Eulersche Totient-Funktion (oder Euler-Phi-Funktion) einer positiven Zahl ${displaystyle n}$ gibt die Anzahl der ganzen Zahlen zwischen 1 und zurück ${displaystyle n}$ die relativ prim bezüglich sind ${displaystyle n}$.

Für ein Sammlung von mehr als zwei Zahlen ist auch das Konzept bekannt paarweise relativ prim, wobei jedes Zahlenpaar in dieser Menge relativ prim ist.

Äquivalente Definitionen

Zwei ganze Zahlen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ sind relativ prim, wenn:

• es gibt ganze Zahlen ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ existieren, so dass ${displaystyle axt by=1}$ (sehen Satz von Bachet-Bézout).
• ${displaystyle b}$ ein multiplikativ inversmodular${Anzeigestil a}$ hat: es existiert eine ganze Zahl ${Anzeigestil y}$ so dass ${displaystyle byequiv 1{pmod {a}}}$. Mit anderen Worten, ${displaystyle b}$ ist ein Einheitselement in dem Ring${displaystyle mathbb {Z} /amathbb {Z} }$ von ganzen Zahlen modulo ${Anzeigestil a}$.

Eine Folge davon ist, dass wenn ${displaystyle b^{a-1}äquivalent 1{pmod {a}}}$, die Zahlen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b^{a-1}}$ copriem, woraus folgt, dass ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ sollte auch coprime sein.

Fraktur

EIN Fraktion können dann und nur dann vereinfacht werden als die Zähler und der Nenner nicht relativ prim sein.

Anwendungen

Wenn zwei Getriebe gegeneinander drehen und die Zähnezahlen der beiden Räder relativ gleich sind, dann treffen sich beim Drehen alle Zähne. Durch die Wahl von zwei Zahnrädern, bei denen die Zähnezahl relativ groß ist, verhindert man einen schnellen Verschleiß bestimmter Zähne, während andere Zähne nie verwendet werden.

Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen relativ prim sind

Gegeben zwei zufällig ausgewählte ganze Zahlen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$, es ist vernünftig, sich zu fragen, wie wahrscheinlich es ist, dass ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ coprime zu sein. Zur Bestimmung dieser Wahrscheinlichkeit kann man sich die Charakterisierung zunutze machen, dass ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$dann und nur dann coprime relativ zueinander als weder prim noch op ${Anzeigestil a}$, noch auf ${displaystyle b}$Anteile, die beiden Zahlen sind gegenseitig unteilbar (siehe auch die Hauptsatz der Arithmetik).

Intuitiv ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl durch eine Primzahl (oder eine ganze Zahl) teilbar ist, ${displaystyle p}$ gleicht ${displaystyle 1/p}$. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen durch diese Primzahl teilbar sind,

${displaystyle 1/p^{2}}$

und ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer von ihnen ungleich ist

${Displaystil 1-1/p^{2}}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen teilerfremd sind, ist also durch ein Produkt über alle Primzahlen gegeben,

${displaystyle prod _{p}^{infty }left(1-{frac {1}{p^{2}}}ight)=left(prod _{p}^{infty }{frac {1}{1- p^{-2}}}ight)^{-1}={frac {1}{zeta (2)}}={frac {6}{pi ^{2}}}}$ ≈ 0{,}607927102 ≈ 61%.

Hier bezieht sich ${Anzeigestil-Zeta}$ zum Riemann-Zeta-Funktion, die Identität, die das Produkt über den Primzahlen p . angibt ${Anzeigestil-Zeta(2)}$ bezieht sich, ist ein Beispiel für a Euler-Produkt und die Auswertung von ${Anzeigestil-Zeta(2)}$ wenn ${displaystyle pi^{2}/6}$ wird es sein Basel-Problem erwähnt. Dieses Problem wurde 1735 von . gelöst Leonhard Euler. Im Allgemeinen ist die Wahrscheinlichkeit, dass ${displaystyle k}$ zufällig gewählte ganze Zahlen sind relativ prim gleich

${displaystyle 1/zeta(k)}$

Es gibt manchmal Verwirrung darüber, was genau mit einer "zufällig gewählten Ganzzahl" gemeint ist. Eine Möglichkeit, dies zu verstehen, besteht darin, anzunehmen, dass diese ganzen Zahlen zufällig aus einer Menge von ganzen Zahlen ausgewählt werden, die bei 1 beginnen und bis gehen ${Displaystil N}$. In diesem Fall gibt es für jede obere Schranke ${Displaystil N}$ eine Chance

${Anzeigestil P_{N}}$

dass zwei zufällig ausgewählte ganze Zahlen relativ prim sind. Das wird nie genau gleich sein

${Displaystil 6/pi ^{2}}$, aber in der Grenze zu ${displaystyle Keine Infty }$ Annäherung ${displaystyle P_{N} oder 6/pi ^{2}}$.^[1]

Siehe auch

• Primzahl
• Satz von Dirichlet über arithmetische Folgen

Verweise