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Im Zahlentheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein Euler-Produkt ein unendliche Produkterweiterung, bereitgestellt von der Primzahlen, p, von a Dirichlet-Reihe sind indiziert. Der Name stammt aus dem Fall der Riemann-Zeta-Funktion, wo wie Produktdarstellung durch Leonhard Euler wurde bewiesen.

Im Allgemeinen ist eine Dirichletreihe der Form

${Anzeigestilsumme _{n}a(n)n^{-s},}$,

wahr ein) ein multiplikative Funktion von nein ist, geschrieben werden als

${displaystyle prod _{p}P(p,s),}$

wahr p(p,so) das Summe ist von

${displaystyle 1 a(p)p^{-s} a(p^{2})p^{-2s} cdots .}$

Wenn wir diese Formel formal als Generierende Funktionen bedenke, die Existenz eines solchen a formell euler Produkterweiterung a notwendige und ausreichende Bedingung dass die Bedingungen ein(nein) multiplikativ sein; Dies bedeutet, dass ein(nein) das Produkt ist von ein(p^k), wann nein Faktoren als Produkt der Kräftep^k von verschiedenen Primzahlen p

Ein wichtiger Sonderfall ist der, wo ein(nein) total multiplikativ ist, so dass p(p, so) ein geometrische Reihe ist. Dann gilt

${displaystyle P(p,s)={frac {1}{1-a(p)p^{-s}}}}$

wie im Fall der Riemann-Zeta-Funktion, wobei ein(nein) = 1, und allgemeiner auch für die dirichlet-Zeichen.

In der Praxis sind alle wichtigen Fälle so, dass die unendlich Serie und unendliche Produkterweiterungen in jeder Region

Re(so) > C

absolut konvergent vor jedem Gericht Halbebene von dem komplexe Ebene. Dies gibt alle notwendigen Informationen, da es unendliches Produkt, um zu konvergieren, muss einen Wert ungleich Null zurückgeben, daher ist die durch die unendliche Reihe gegebene Funktion in einer solchen Halbebene ungleich Null.

In der Theorie der modulare Formen Es ist typisch, Euler-Produkte mit quadratischen Polynomen in der Nenner haben. die allgemeine Langlands-Programm gibt eine ähnliche Erklärung für den Zusammenhang von Polynomen von Gradich, und der Darstellungstheorie für GL_ich.

Externe Links

• (und) Euler-Produkt auf PlanetMath
• (und) Euler-Produkt auf MathWorld