WikiDer > Zahlentheorie

Wenn einer natürliche Zahlen in einer Spirale mit Betonung auf Primzahlen, entsteht ein faszinierend unerklärliches Muster, das de Spirale von Ulam wird genannt.

Teil einer Artikelserie über Mathematik
Formeln von a stochastischer Prozess
––– Menge –––
komplexe Zahl · Gerade Zahl · Natürliche Zahl · Unendlichkeit · Reelle Zahl · Arithmetik
––– Struktur und Platz –––
Algebra · Funktion · Zahlentheorie · Trigonometrie · Gruppentheorie · Geometrie · Topologie
––– Veränderung –––
Analyse · Infinitesimalrechnung · Chaostheorie · Dynamisches System · Vektoren
––– Angewandte Mathematik –––
Diskrete Mathematik · Graphentheorie · Informationstheorie · Wahrscheinlichkeit · Statistiken · Mathematische Physik
Portal Mathematik

Traditionell ist Zahlentheorie die Filiale der reine Mathematik zeigt die Eigenschaften der ganze Zahlen In der Zahlentheorie sind sowohl rein theoretische Forschungen als auch Anwendungsforschungen beispielsweise in der Kryptographie.

Die Zahlentheorie lässt sich je nach verwendeter Methode und Forschungsfrage in verschiedene Bereiche unterteilen. Diese werden im Folgenden besprochen.

Elementare Zahlentheorie

In dem elementare Zahlentheorie die ganzen Zahlen werden ohne die Techniken anderer Zweige der Mathematik untersucht.Fragen, die darunter fallen, sind die Teilbarkeit von Zahlen, die euklidischer Algorithmus um die größter gemeinsamer Teiler berechnen, Zahlen einrechnen in Primfaktoren, das Hauptsatz der Arithmetik, die Erforschung von perfekte Zahlen und modulare Mathematik.Typische Ansprüche sind die Der kleine Satz von Fermat, das Satz von Euler, das Chinesischer Restsatz und das Gesetz der quadratische Gegenseitigkeit. Die Eigenschaften von multiplikative Funktionen wie Möbius-Funktion und Euler-Funktion werden untersucht. Ebenso werden Folgen von ganzen Zahlen untersucht wie die Fibonaccia-Folge.

Viele Fragen der elementaren Zahlentheorie sind außerordentlich schwierig. Die Beantwortung erfordert einen völlig neuen Ansatz. Zum Beispiel hat es 350 Jahre gedauert, bis der letzte Satz von Fermat im 1994 wurde bewiesen durch Andrew Wiles. Das Der letzte Satz von Fermat (formuliert 1637, bewiesen 1994) betrifft die Unmöglichkeit, drei ganze Zahlen zu finden ${Anzeigestil x,y}$ und ${Anzeigestil z,}$ any ungleich 0, so dass ${Displaystil x^{n} y^{n}=z^{n}}$ gilt für jede ganze Zahl ${displaystyle n}$ größer als 2. Der Beweis dafür ist sehr kompliziert und wird daher in den Lehrbüchern der Zahlentheorie nicht behandelt.

Beispiele für ungelöste Probleme sind:

• es Goldbachs Vermutung: jede gerade Zahl > 2 kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden
• Die Nachfrage nach Zwillingsprimzahlen: Gibt es unendlich viele Primzahlenpaare, bei denen sich die beiden Primzahlen nur um 2 unterscheiden?
• es Vermutung von Collatz, eine einfache Iteration

Im Jahr 2002 wurde eine weitere berühmte Frage bezüglich aufeinanderfolgender ganzzahliger Potenzen, die Vermutung von Katalanisch, gelöst. Dies ist heute als Satz von Mihăilescu bekannt.

Die Theorie von diophantische Gleichungen hat sich bewährt unentscheidbar sein. (Siehe auch Hilberts zehntes Problem.)

Analytische Zahlentheorie

sehen analytische Zahlentheorie für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die analytische Zahlentheorie verwendet die Werkzeuge der Analyse und Funktionstheorie Eigenschaften von ganzen Zahlen zu untersuchen Primzahlsatz und damit verbunden Riemann-Hypothese sind Beispiele dafür. Viele Probleme der elementaren Zahlentheorie werden mit Methoden der analytischen Zahlentheorie angegangen. Beispiele sind es Warings Problem, die bereits erwähnte Frage der Primzahlzwillinge und die Goldbach-Vermutung π und e (Basis der natürlicher Logarithmus) fallen ebenfalls unter die analytische Zahlentheorie. (Beachten Sie übrigens, dass es im letzten Beispiel nicht mehr um die einfachen natürlichen Zahlen geht.)

Algebraische Zahlentheorie

sehen algebraische Zahlentheorie für den Hauptartikel zu diesem Thema.

In dem algebraische Zahlentheorie der Zahlbegriff wird um die erweitert algebraische Zahlen, das sind die Nullen von Polynome mit rational Koeffizienten.

Viele Fragen der Zahlentheorie lassen sich am besten studieren modular p, für alle Primzahlen p. Dieser Vorgang wird als Lokalisierung bezeichnet und führt zur Konstruktion des p-adische Zahlen. Dieses Gebiet wird lokale Analysis genannt und stammt aus der algebraischen Zahlentheorie.

Geometrische Zahlentheorie

Das Geometrische Zahlentheorie umfasst alle Formen von Geometrie.Es beginnt mit dem Satz von Minkowski über Gitterpunkte in konvex Mit diesen Techniken wurde der berühmte Satz von Fermat bewiesen.

Numerische Zahlentheorie

Schließlich gibt es noch die numerische Zahlentheorie, die schnell untersucht Algorithmen zum Prüfen Primzahlen und Factoring. Diese Studie hat wichtige Anwendungen in der Kryptographie.

Geschichte

Griechische Zahlentheorie

Zahlentheorie war in Alexandria (Ägypten) ein beliebtes Forschungsgebiet unter Antike griechische Mathematiker aus späthellenistischer Zeit (3. Jahrhundert n. Chr.). Sie kannten das Konzept der diophantischen Gleichungen in vielen Spezialfällen. Der erste griechische Mathematiker, der diese Art von Gleichung untersuchte, war Diophant.

Diophantus suchte auch nach einer Methode, um Vinden . zu finden ganze Zahl Lösungen für linearunbestimmte Gleichungen, Gleichungen, denen genügend Informationen fehlen, um einen einzelnen diskreten Satz von Antworten zu erzeugen. Die gleichung ${Anzeigestil x y=5}$ ist so ein Vergleich. Diophantus entdeckte, dass viele unbestimmte Gleichungen auf eine Form reduziert werden können, in der eine bestimmte Antwortkategorie bekannt ist, eine bestimmte Antwort jedoch nicht.

Klassische indische Zahlentheorie

Diophantine Gleichungen wurden dann von Mathematikern im mittelalterlichen Indien ausgiebig studiert. Sie waren die ersten, die systematisch Methoden zur Bestimmung der vollständigen Lösung diophantischer Gleichungen erforschten. aryabhata gab in seiner Abhandlung aryabhatiya (499) die erste explizite Beschreibung der allgemeinen vollständigen Lösung der linearen diophantischen Gleichung ${displaystyle ay bx=c}$. Dieser Kuttaka-Algorithmus gilt als Aryabhatas wichtigster Beitrag zur reinen Mathematik. Aryabhata fand diese Lösungen für diophantische Gleichungen unter Verwendung von Kettenbrüche. Diese Technik wurde von Aryabhata angewendet, um integrale Lösungen für simultane lineare diophantische Gleichungen zu finden, ein Problem mit wichtigen Anwendungen in der Astronomie. Mit dieser Methode fand er auch die allgemeine Lösung für die unbestimmtLineargleichung.

In 628. behandelt Brahmagupta schwierigere diophantische Gleichungen. Er benutzte die Chakravala-Methode, um quadratisch um diophantische Gleichungen zu lösen, einschließlich der Formen der Pell-Vergleich, wie

${displaystyle 61x^{2} 1=y^{2}}$.

Sein Brahmasphuta-siddhanta wurde 773 im in gebaut Arabisch übersetzt. 1126 folgte eine Übersetzung ins Latein. Gleiche Gleichung ${displaystyle 61x^{2} 1=y^{2}}$ wurde einige tausend Jahre später, 1657, von der Französisch Mathematiker Pierre de Fermat.

Die allgemeine Lösung dieser speziellen Form der Pell-Gleichung wurde mehr als 70 Jahre später von . gefunden Leonhard Euler, während die allgemeine Lösung der Pell-Gleichung im Jahr 1767 ist Joseph-Louis Lagrange wurde gefunden. Inzwischen war die allgemeine Lösung der Pell-Gleichung bereits in 1150 gefunden von Bhāskara II. Dieser indische Mathematiker verwendete eine modifizierte Version der Chakravala-Methode von Brahmagupta. Er verwendete diese Methode auch, um die allgemeine Lösung für andere unbestimmte quadratische Gleichungen und quadratische diophantische Gleichungen zu finden.

Bhaskaras Chakravala-Methode zum Finden der allgemeinen Lösung der Pell-Gleichung war viel einfacher als die von Lagrange 600 Jahre später verwendete Methode. Bhaskara fand auch Lösungen für andere unbestimmte quadratisch, dritter Grad, quadratische Gleichungen. Die Chakravala-Methode wurde weiter verbessert durch Narayana Pandit.

Islamische Zahlentheorie

Ab dem 9. Jahrhundert islamisch Mathematiker haben ein großes Interesse an der Zahlentheorie. Der erste dieser Mathematiker war Thabit ibn Qurra, Das hier Algorithmus entdeckt, was zu Paaren von führt freundliche Nummern das sind zwei Zahlen, so dass jede Zahl die Summe der reellen Teiler der anderen Zahl ist. Im 10. Jahrhundert angesehen Ibn Tahir al-Baghdadi eine etwas andere Variante der Methode von Thabit ibn Qurra.

Im 10. Jahrhundert scheint es alhazen der erste gewesen zu sein, der es versucht hat perfekte Zahlen (Zahlen gleich der Summe ihrer reellen Teiler) als diejenigen der Form

${Displaystil 2^{k-1}(2^{k}-1)}$, wahr ${Displaystil 2^{k}-1}$ ist eine Primzahl.

Alhazen ist auch die erste Person, die die Satz von Wilson festgestellt, dass wenn p prim ist, dann ${Anzeigestil 1(p-1)!}$ ist teilbar durch p. Dieser Satz wird wegen einer Bemerkung von 1770 von Wilsons Satz genannt Edward Waringdass John Wilson das Ergebnis bemerkt hatte. Es gibt jedoch keine Beweise dafür, dass Wilson diese Aussage beweisen konnte. 1771 war Lagrange der erste, der den Beweis erbrachte.

Freundliche Zahlen haben in der islamischen Mathematik eine große Rolle gespielt. Im 13. Jahrhundert wurde die persisch Mathematiker al-Farisi einen neuen Beweis des Satzes von Thabit ibn Qurra. Dabei führte er wichtige neue Ideen zur Faktorisierung von Zahlen in Primfaktoren und kombinatorische Methoden ein. Er gab auch das Paar freundschaftlicher Nummern 17296, 18416, die zugeschrieben wurden Euler, aber wir wissen, dass dieses Paar vor al-Farisi bekannt war, vielleicht sogar Thabit ibn Qurra selbst. Im 17. Jahrhundert, lange vor Euler, gab Mohammed Baqir Yazdi das Paar der befreundeten Zahlen 9.363.584 und 9.437.056.

Frühe europäische Zahlentheorie

Im 13. Jahrhundert wurde Leonardo de Pisa (besser bekannt als Fibonaccia) das Liber Quadratorum. In dieser Arbeit behandelte er die pythagoräischer Dreier. Er stellte fest, dass quadratische Zahlen als Summen ungerader Zahlen konstruiert werden können. Er definierte den Begriff eines Kongruums, eine Zahl der Form ab(a b)(a - b), wenn a b gerade ist und 4-mal so viel wie a b ungerade ist. Fibonacci bewies, dass ein Kongruum durch 24 teilbar sein muss und zeigte, dass für x, c so dass x2 c und x2-c beide Flächen sind, dann c ein Kongruum ist. Er bewies auch, dass ein Quadrat kein Kongruum sein kann. Seine Beiträge zur Zahlentheorie waren so groß, dass man sagt, dass

das Liber quadratorum an sich macht Fibonacci zum wichtigsten Beitrag zur Zahlentheorie zwischen Diophantus und dem französischen Mathematiker des 17. Jahrhunderts Pierre de Fermat.^[1]

Weitere Fortschritte in der Zahlentheorie fanden im 16. und 17. Jahrhundert durch Mathematiker wie Viete, Bachet de Meziriac, und insbesondere Pierre de Fermat, dessen Methode des unendlichen Abstiegs der erste allgemeine Beweis der diophantischen Fragen war. Fermats letzter Satz wurde von ihm 1637 als Problem vorgestellt, ein Beweis für diesen Satz wurde erst 1994 gefunden. Fermat stellte auch die Gleichung ${displaystyle 61x^{2} 1=y^{2}}$ als Problem im Jahr 1657.

Im 18. Jahrhundert leisteten Euler und Lagrange wichtige Beiträge zur Zahlentheorie. Euler hat an dem gearbeitet analytische Zahlentheorie und fand eine allgemeine Lösung der Gleichung ${displaystyle 61x^{2} 1=y^{2}}$. Euler und Lagrange lösten diese allgemeineren Pell-Gleichungen mit Kettenbrüche.

Beginn der modernen Zahlentheorie

Um den Anfang des neunzehnten Jahrhunderts, legendre (1798) und Gauss in ihren beiden Büchern die ersten systematischen Theorien in Europa. sei Gauss Disquisitiones arithmeticae (1801) gilt als Ausgangspunkt der modernen Zahlentheorie.

Die Theorie der Kongruenzen beginnt mit Gauss' Erkundigungen. Er führte die Notation ein

${displaystyle aequiv b{pmod {c}}}$

und bildete einen Großteil des Forschungsgebietes ab. Tschebyschevi veröffentlichte 1847 ein Werk zu diesem Thema in russischer Sprache, das von Gewächshaus in Frankreich in den Vordergrund gerückt.

Neben einer Zusammenfassung früherer Arbeiten formulierte Legendre das Gesetz der quadratischen Reziprozität. Dieses Gesetz wurde bereits von Euler erwähnt. Legendre bewies diesen Spezialfallsatz zum ersten Mal in seinem Theorie des Nombres (1798). Gauß entdeckte dieses Gesetz unabhängig von Euler und Legendre um 1795. Er war auch der erste, der einen allgemeinen Beweis erbrachte.

Folgende Mathematiker haben ebenfalls zum Thema beigetragen: Cauchy, dirichlet, deren Vorlesungen über Zahlentheorie ist ein Klassiker; Jakobisch , dass es Jacobi-Symbol eingeführt, Liouville, Zeller, Eisenstein, Kummer und Kronecker. Dank Gauß, Jacobi, der als erster das Gesetz der kubischen Reziprozität bewies, erweiterte die Zahlentheorie um dritter Grad und Gegenseitigkeit vierten Grades.

Von Gauß haben wir auch die Zahlendarstellung als binäre quadratische Formen danken.

Primzahlentheorie

Ein wiederkehrendes und produktives Thema in der Zahlentheorie ist das Studium der Verteilung von Primzahlen. Gauß, noch im Teenageralter, postulierte a asymptotisch Regel für eine solche Aufteilung (die sogenannte Primzahlsatz).

dirichlet bewies 1837, dass jede qualifizierende arithmetische Folge unendlich viele Primzahlen enthält. Tschebyschew gab 1850 nützliche Grenzen für die Anzahl der Primzahlen zwischen zwei gegebenen Grenzen. Riemann stellte die komplexe Analyse in seiner Theorie der Riemann-Zeta-Funktion. Dies führte zu einer Beziehung zwischen den Nullstellen der Zetafunktion und der Verteilung der Primzahlen und führte schließlich 1896 zu einem unabhängigen Beweis des Primzahlensatzes durch beide Hadamard wenn de la Vallée Poussin. Ein elementarer Beweis wurde 1949 von Erds und Selberg. Elementar bedeutet in diesem Zusammenhang, die Techniken der komplexen Analyse nicht zu verwenden, aber der Beweis ist dennoch sehr genial und schwierig. Die Riemannsche Hypothese, die viele definitive Antworten liefern könnte, bleibt noch offen.

Entwicklungen des 19. Jahrhunderts

bissig, Weihnachtsstern (1845) und insbesondere Einsiedler hat im 19. Jahrhundert viel zur Zahlentheorie beigetragen. In der Theorie der ternären Formen Eisenstein führt und zu ihm und H.J.S. Schmied ist auch ein bemerkenswerter Fortschritt in der Theorie der Formen im Allgemeinen. Smith gab eine vollständige Klassifikation der ternären quadratischen Formen und erweiterte Gauß' Untersuchungen auf reelle quadratische Formen hin zu komplexen Formen. Die Untersuchungen zur Darstellung von Zahlen durch Summen von 4, 5, 6, 7 oder 8 Quadraten wurden von Eisenstein erweitert und die Theorie von Smith vervollständigt.

dirichlet war der erste, der das Thema an einer deutschen Universität lehrte. Unter seinen Beiträgen ist der Beweis für die Der letzte Satz von Fermat:

${displaystyle x^{n} y^{n}eq z^{n},(x,y,zeq 0,n>2)}$

für die Fälle nein = 5 und nein = 14. Euler und Legendre hatten die Fälle nein = 3 und nein = 4 und damit alles Vielfaches von 3 und 4 bereits nachgewiesen.

In den Niederlanden trug Stieltjes Beitrag zur Zahlentheorie. Zu den späteren französischen Schriftstellern gehörten Borel, poincare, deren Abhandlungen zahlreich und wertvoll sind und Gerberei. Zu den führenden Beitragszahlern in Deutschland gehörten Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann und Dedekind. In Österreich Stolz' Vorlesungen über allgemeine Arithmetik (1885–1886) und Mathews' England Zahlentheorie (Teil I, 1892) wissenschaftliche allgemeine Werke. Genocchi, Sylvester und Glaisher trug in dieser Zeit auch zur Zahlentheorie bei.

Entwicklungen im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert

Dies war eine Zeit großer Fortschritte in der Zahlentheorie. Auffallende Dinge waren das Werk von Thue Über diophantische Gleichungen, die Arbeit von Hilbert in dem algebraische Zahlentheorie, die Lösung der Warings Problem, die Konstruktion der geometrischen Zahlentheorie durch Minkowski; Darüber hinaus war der Fortschritt auch auf Hurwitz, Voronoi, Sierpinski, Lehmer und viele andere.

Entwicklungen des 20. Jahrhunderts

Wichtige Figuren der Zahlentheorie des 20. Jahrhunderts eingeschlossen weyl, Tschebotarjow, Artin, hecke, Hass, Gelfond, linnik, Erds, Faltungen, winterhart, Landauer, Mordell, Littlewood, nive, Srinivasa Ramanujan, Weil, Vinogradov, Selberg, Siegel, Schafarevich, Tate, Langlands, shimura, Iwasawa, Gewächshaus, Deligne, Bombieri, Bäcker, Swinnerton-Dyer, Birke, Drinfel'd, Lafforgue, List und Taylor.

Zu den Meilensteinen der Zahlentheorie des 20. Jahrhunderts gehören:

• Die Entwicklung der Klasse Feldtheorie und seine Fertigstellung durch Teiji Takagi, Artin, Furtwängler in den 1920er Jahren und Erweiterungen und Neuformulierungen der Klassenkörpertheorie durch Hass und Chevalley in den 1930ern.
• Das Weil Vermutungen Vorgestellt von Weil in den 1940er Jahren und belegen dies unter anderem in der Arbeit von Dwork, Grothendieck, Deligne.
• Barbans Theorem im Jahr 1961 und seine Verfeinerung im Jahr 1965, der Bombieri–Vinogradov .theorem.
• Die Formulierung der Langlands-Programm durch Robert Langlands in den späten 1960er Jahren und der anschließenden Weiterentwicklung durch viele Mathematiker.
• Das Theorem von Chen wurde 1966 formuliert und 1973 bewiesen.
• Der Beweis des letzten Satzes von Fermat durch Andrew Wiles und nachweis voll Der Satz von Shimura-Taniyama im Jahr 1999 von Breuil, Konrad, Diamant und Taylor.

Bemerkenswerte zeitgenössische Arbeiten, neue Ergebnisse, die im ersten Jahrzehnt des 21. Jahrhunderts bewiesen wurden, kamen von Clozel, Taylor, Harris, Shepherd-Barron und anderen über die Sato-Tate-Vermutung, die Ergebnisse von Green, Tao, Ziegler und vielen anderen lineare Formen in den Primzahlen, basierend auf der Arbeit von gowers und auch das Theorem von Goldston, Pintz und Yildirim über geringfügige Unterschiede zwischen Primzahlen.

Angewandte Zahlentheorie

Im Buch Zahlentheorie für das Rechnen^[2] stellt fest, dass die Zahlentheorie in den Bereichen "Physik, Chemie, Biologie, Informatik, Ingenieurwesen, Codierung und Kryptographie, Zufallszahlenerzeugung, Akustik, Kommunikation, Grafikdesign und sogar Musik und Wirtschaft" angewendet wird. Es heißt auch, dass Shiing-Shen Chern betrachtet die "Zahlentheorie wegen ihrer starken Anwendbarkeit auf andere Gebiete als einen Zweig der angewandten Mathematik".

Kryptografie mit öffentlichen Schlüsseln

Viele Kryptographie-Schemata mit öffentlichen Schlüsseln verwenden die Zahlentheorie, zum Beispiel die RSA-Kryptosystem und der elliptische Kurven.

Rückstandsnummernsysteme

Ein Restzahlensystem (RGS) stellt eine große ganze Zahl dar, indem ein Satz kleinerer Zahlen verwendet wird, so dass die Berechnung effizienter durchgeführt werden kann. Die RGS verwendet die Chinesischer Restsatz von dem modulare Mathematik. Die RGS hat Anwendungen im Bereich der digitalen Datenverarbeitung. Durch Zerlegen einer großen ganzen Zahl in einen Satz kleinerer ganzer Zahlen kann eine große Berechnung als eine Reihe kleinerer Berechnungen durchgeführt werden, die unabhängig und parallel durchgeführt werden können.

Siehe auch

• ABC-Verdacht
• aliquot

Fußnoten

Siehe die Kategorie Zahlentheorie von Wikimedia Commons für Mediendateien zu diesem Thema.