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Das Vektoranalyse (ebenfalls Vektorrechnung bezeichnet) ist eine Unterregion der Mathematik, die sich mit der multivariable Analyse von Vektoren in einem interner Produktraum von zwei oder mehr Maße (einige Ergebnisse — gefällt mir Vektorprodukt — kann nur in drei Dimensionen angewendet werden). Die Vektoranalyse besteht aus einer zusammenhängenden Sammlung von Formeln und Lösungsmethoden, die in der Technik und der Physik. Die Vektoranalyse hat ihren Ursprung in der Analyse von Quaternionen und wurde zuerst von dem amerikanischen Mathematiker entworfen Josiah Willard Gibbs und die Briten IngenieurOliver Heaviside.

Die Vektoranalyse befasst sich mit Skalarfelder, wobei an jedem Punkt im Raum a Skalar wird vergeben, und mit Vektorfelder, wobei mit jedem Punkt im Raum a Vektor ist assoziiert. Das Temperatur des Wassers in a Schwimmbad ist ein Skalarfeld: Jedem Punkt wird ein Skalarwert zugewiesen, in diesem Fall die Temperatur. Das Wasserfluss in diesem Pool ist ein Vektorfeld: mit jedem Punkt verbinden wir a Geschwindigkeitsvektor.

Vektoroperationen

Die Vektoranalyse studiert anders Differentialoperatoren, die auf Skalarfeldern und Vektorfeldern definiert sind. Dieses Betreiber werden in der Regel in Form von nabla-Operator,

${displaystyle mathbf {abla} =left({frac {partial }{partial x}},{frac {partial }{partial y}},{frac {partial }{partial z}}ight)}$.

Die vier Hauptoperatoren in der Vektoranalyse sind:

Operation	Notation	Beschreibung	Domain und Reichweite
Gradient	${Displaystyle-Operatorname {grad} f=abla f}$	Misst den Betrag und die Richtung der Änderung in einem Skalarfeld.	Ordnet Skalarfelder Vektorfeldern zu.
Drehung oder Rotor	${displaystyle operatorname {rot} mathbf {F} }$ oder ${displaystyle operatorname {curl} mathbf {F} =abla imes mathbf {F} }$	Misst die Tendenz, sich um einen Punkt in einem Vektorfeld zu drehen.	Ordnet Vektorfelder Vektorfeldern zu.
Abweichungen	${displaystyle operatorname {div} mathbf {F} =abla cdot mathbf {F} }$	Misst die Größe eines Brunnens oder einer Senke von einem bestimmten Punkt in einem Vektorfeld.	Ordnet Vektorfelder skalaren Feldern zu.
Laplazianer	${displaystyle Delta f=abla ^{2}f=abla cdot abla f}$	Eine Zusammensetzung der Divergenz- und Gradientenoperationen.	Ordnet Skalarfelder Skalarfeldern zu.

Thesen

Auf die gleiche Weise gibt es mehrere wichtige Sätze in Bezug auf diese Operatoren, die Fundamentalsatz der Integralrechnung auf höhere Dimensionen verallgemeinern:

Gestell	Aussage	Beschreibung
Gradientensatz	${displaystyle phi left(mathbf {q} ight)-phi left(mathbf {p} ight)=int _{L}abla phi cdot dmathbf {r} .}$	Das Linienintegral durch einen Gradienten (Vektorfeld) ist gleich der Differenz seines Skalarfeldes in den Endpunkten des Kurve.
Satz von Green Green	${displaystyle int _{C}L,dx M,dy=iint _{D}left({frac {partial M}{partial x}}-{frac {partial L}{partial y}}ight),dA}$	Das skalare Rotorintegral eines Vektorfeldes über einen beliebigen Bereich in der Ebene ist gleich dem Linienintegral des Vektorfeldes über die diesen Bereich begrenzende Kurve.
Satz von Stokes	${displaystyle int _{Sigma }abla imes mathbf {F} cdot dmathbf {Sigma} =oint _{partielles Sigma }mathbf {F} cdot dmathbf {r} ,}$	Das Integral des Rotors eines Vektorfeldes über a Oberfläche gleich dem Linienintegral des Vektorfeldes über die diese Fläche begrenzende Kurve ist.
Divergenzsatz	${displaystyle iiint limit _{V}abla cdot mathbf {F} dV=iint limit _{partial V}mathbf {F} cdot dmathbf {S} ,}$	Das Integral der Divergenz eines Vektorfeldes über einem beliebigen Festkörper ist gleich dem Integral von Fluss durch die diesen Festkörper begrenzende Fläche.

Die Verwendung der Vektoranalyse kann die Berücksichtigung der Orientierung des erfordern Koordinatensystem sehen produktübergreifend und orientierung für mehr Details). Die meisten Analyseergebnisse können auch in einer allgemeineren Form dargestellt werden, wobei Methoden aus der Differentialgeometrie, von denen die Vektoranalyse eine Teilmenge bildet, angegeben.

Identitäten

Addition und Multiplikation

• ${displaystyle mathbf {A} mathbf {B} =mathbf {B} mathbf {A} }$
• ${displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} = mathbf {B} cdot mathbf {A} }$
• ${displaystyle mathbf {A} imes mathbf {B} =mathbf {-B} imes mathbf {A} }$
• ${displaystyle left(mathbf {A} mathbf {B} ight)cdot mathbf {C} =mathbf {A} cdot mathbf {C} mathbf {B} cdot mathbf {C} }$
• ${displaystyle left(mathbf {A} mathbf {B} ight) imes mathbf {C} =mathbf {A} imes mathbf {C} mathbf {B} imes mathbf {C} }$
• ${displaystyle mathbf {A} cdot left(mathbf {B} imes mathbf {C} ight)=mathbf {B} cdot left(mathbf {C} imes mathbf {A} ight)=mathbf {C} cdot left(mathbf {A } imes mathbf {B} ight)}$
• ${displaystyle mathbf {A} imes left(mathbf {B} imes mathbf {C} ight)=left(mathbf {A} cdot mathbf {C} ight)mathbf {B} -left(mathbf {A} cdot mathbf {B} acht)mathbf {C} }$
• ${displaystyle left(mathbf {A} imes mathbf {B} ight) imes mathbf {C} =left(mathbf {A} cdot mathbf {C} ight)mathbf {B} -left(mathbf {B} cdot mathbf {C} ight)mathbf {A} }$
• ${displaystyle left(mathbf {A} imes mathbf {B} ight)cdot left(mathbf {C} imes mathbf {D} ight)=left(mathbf {A} cdot mathbf {C} ight)left(mathbf {B} cdot mathbf {D} ight)-left(mathbf {B} cdot mathbf {C} ight)left(mathbf {A} cdot mathbf {D} ight)}$
• ${displaystyle left(mathbf {A} cdot left(mathbf {B} imes mathbf {C} ight)ight)mathbf {D} =left(mathbf {A} cdot mathbf {D} ight)left(mathbf {B} imes mathbf {C} ight) left(mathbf {B} cdot mathbf {D} ight)left(mathbf {C} imes mathbf {A} ight) left(mathbf {C} cdot mathbf {D} ight)left(mathbf {A} imes mathbf {B} ight)}$
• ${displaystyle left(mathbf {A} imes mathbf {B} ight) imes left(mathbf {C} imes mathbf {D} ight)=left(mathbf {A} cdot left(mathbf {B} imes mathbf {D} ight) ight)mathbf {C} -left(mathbf {A} cdot left(mathbf {B} imes mathbf {C} ight)ight)mathbf {D} }$

Unterscheiden

Gradient

• ${displaystyle abla (psi phi) = abla psi abla phi }$
• ${displaystyle abla (psi,phi)=phi,abla psi psi,abla phi}$
• ${displaystyle abla left(mathbf {A} cdot mathbf {B} ight)=left(mathbf {A} cdot abla ight)mathbf {B} left(mathbf {B} cdot abla ight)mathbf {A} mathbf {A} imes left(abla imes mathbf {B} ight) mathbf {B} imes left(abla imes mathbf {A} ight)}$

Abweichungen

• ${displaystyle abla cdot (mathbf {A} mathbf {B} ) = abla cdot mathbf {A} abla cdot mathbf {B} }$
• ${displaystyle abla cdot left(psi mathbf {A} ight)=psi abla cdot mathbf {A} mathbf {A} cdot abla psi }$
• ${displaystyle abla cdot left(mathbf {A} imes mathbf {B} ight)=mathbf {B} cdot (abla imes mathbf {A} )-mathbf {A} cdot (abla imes mathbf {B} )}$

Drehung

• ${displaystyle abla imes (mathbf {A} mathbf {B} )=abla imes mathbf {A} abla imes mathbf {B} }$
• ${displaystyle abla imes left(psi mathbf {A} ight)=psi abla imes mathbf {A} abla psi imes mathbf {A}}$
• ${displaystyle abla imes left(mathbf {A} imes mathbf {B} ight)=mathbf {A} left(abla cdot mathbf {B} ight)-mathbf {B} left(abla cdot mathbf {A} ight) left(mathbf {B} cdot abla ight)mathbf {A} -left(mathbf {A} cdot abla ight)mathbf {B} }$

Zweite Ableitungen

• ${displaystyle abla cdot (abla imes mathbf {A} )=0}$
• ${displaystyle abla imes (abla psi )=mathbf {0} }$
• ${displaystyle abla cdot (abla psi ) = abla ^{2}psi }$ (Laplazianer)
• ${displaystyle abla left(abla cdot mathbf {A} ight)-abla imes left(abla imes mathbf {A} ight)=abla ^{2}mathbf {A} }$
• ${displaystyle abla cdot (phi abla psi ) = phi abla ^{2}psi abla phi cdot abla psi }$
• ${displaystyle psi abla ^{2}phi -phi abla ^{2}psi = abla cdot left(psi abla phi -phi abla psi ight)}$
• ${displaystyle abla ^{2}(phi psi)=phi abla ^{2}psi 2abla phi cdot abla psi psi abla ^{2}phi }$
• ${displaystyle abla ^{2}(psi mathbf {A} )=mathbf {A} abla ^{2}psi 2(abla psi cdot abla)mathbf {A} psi abla ^{2}mathbf {A} }$
• ${displaystyle abla ^{2}(mathbf {A} cdot mathbf {B} )=mathbf {A} cdot abla ^{2}mathbf {B} -mathbf {B} cdot abla ^{2}mathbf {A} 2abla cdot ((mathbf {B} cdot abla )mathbf {A} mathbf {B} imes abla imes mathbf {A} )}$

Dritte Ableitungen

• ${displaystyle abla ^{2}(abla psi)=abla (abla cdot (abla psi))=abla (abla ^{2}psi)}$
• ${displaystyle abla ^{2}(abla cdot mathbf {A} )=abla cdot (abla (abla cdot mathbf {A} ))=abla cdot (abla ^{2}mathbf {A} )}$
• ${displaystyle abla ^{2}(abla imes mathbf {A} )=-abla imes (abla imes (abla imes mathbf {A} ))=abla imes (abla ^{2}mathbf {A} )}$

Anwendungen

Eine wichtige Anwendung der Vektoranalyse ist die resultierende Potenzialtheorie. Beide Bereiche, Vektoranalyse und Potentialtheorie, werden intensiv in der mathematische Physik.

Externer Link

• Vektoranalyse: Ein Lehrbuch für Mathematik- und Physikstudenten (basierend auf den Vorlesungen von Willard Gibbs) von Edwin Bidwell Wilson, veröffentlicht 1902.